<< Предыдущая

стр. 13
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

1 1 Страница 78 из 127
f (x) = d? cos ?x f (t) cos ?t dt + d? sin ?x f (t) sin ?t dt .
? ?
?? ??
0 0
Назад
Если функция f (x) — четная, то
Полный экран
+?

f (t) sin ?t dt = 0
Закрыть
??

(как интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу) и интеграл Фурье
Выход
приводится к виду
+? +?
2
(5.6)
f (x) = d? cos ?x f (t) cos ?t dt .
?
0 0
Ряды Фурье

Аналогично, если f (x) — нечетная, то Интегралы Фурье
Предметный указатель
+? +?
Литература
2
(5.7)
f (x) = d? sin ?x f (t) sin ?t dt .
?
0 0 Веб – страница

Если функция f (x) изначально задана на полуоси [0, +?), то она может быть
продолжена как четная или нечетная на всю вещественную ось. Это позволяет пред- Титульный лист
ставить функцию на полуоси любой из формул (5.6), (5.7).
Операторы
+?
2
f (x) > fc (?) =
Fc : f (x) cos ?x dx ,
?
0
+?
Страница 79 из 127
2
f (x) > fs (?) =
Fs : f (x) sin ?x dx ,
?
0
Назад

называются, соответственно, косинус- и синус-преобразованиями Фурье. Согласно
формулам (5.6), (5.7), повторное применение любого из этих двух преобразований Полный экран
возвращает нас к исходной функции, т.е.
2 2
Fc = I , Fs = I , Закрыть


где I — тождественное преобразование.
Выход
5.2. Преобразование Фурье абсолютно интегрируемой функции
Пусть функция f (x) — непрерывная (кусочно–непрерывная) и абсолютно интегри-
руемая на вещественной оси:
+?
Ряды Фурье
|f (x)| dx < +? . Интегралы Фурье
?? Предметный указатель
Литература
Тогда определено отображение
+? Веб – страница
1
f (x)e?i?x dx ,
f (x) = v
f > f = Ff ,
F:
2?
?? Титульный лист

называемое преобразованием (оператором) Фурье. Оператор Фурье F является
линейным (ввиду линейности интеграла):

?f + µg = F (?f + µg) = ?F f + µF g = ?f + µg ,

здесь ?, µ ? C — константы. Отметим также следующие очевидные свойства преоб-
разования Фурье функции f . Страница 80 из 127


1. f (?) — ограниченная функция, причем
Назад
1
v
f f ,
? 1
2? Полный экран

где
+?
Закрыть
= sup |f (?)| , |f (x)| dx .
f f =
? 1
??
Выход
2. f (?) — равномерно непрерывная функция.
Действительно,
x(? ? ?)
?+? ??? ??? ?+?
e?i?x ? e?i?x = e?ix (e?ix ? e?ix ) = ?2ie?ix sin ,
2 2 2 2
2
Ряды Фурье
т.е.
Интегралы Фурье
x(? ? ?)
|e?i?x ? e?i?x | = 2 sin . Предметный указатель
2
Литература
Тогда
+? +?
x(? ? ?)
1 2 Веб – страница
(e?i?x ? e?i?x )f (x) dx
|f (?) ? f (?)| = v · |f (x)| dx
sin
? 2
2?
?? ??
Титульный лист
= I1 + I2 ,

где
x(? ? ?)
2 2
· |f (x)| dx |f (x)| dx
I1 = sin
? 2 ?
|x|>N |x|>N
и
x(? ? ?)
2 Страница 81 из 127
· |f (x)| dx .
I2 = sin
? 2
|x| N
Назад
Выберем N так, чтобы
?
I1 <
,
2 Полный экран
где ? — произвольное положительное число. После этого выберем ? > 0 так,
чтобы
Закрыть
N? ? N? 2 ?
· |f (x)| dx < .
и
<
2 2 2 ? 2
|x| N Выход
Тогда при |? ? ?| < ? и |x| N
x(? ? ?) N?
sin <
2 2
и как следствие
? Ряды Фурье
I2 < .
2 Интегралы Фурье
Тем самым Предметный указатель
|? ? ?| < ? ? |f (?) ? f (?)| < ? . Литература

3. f (?) > 0 при ? > ?.
Веб – страница
Действительно,
+?
Титульный лист
1
f (x)e?i?x dx = I1 + I2 ,
f (?) = v
2?
??

где
1 1
f (x)e?i?x dx ,
I1 = v v
|I1 | |f (x)| dx ,
2? 2?
|x|>N |x|>N
и Страница 82 из 127
1 ?i?x
I2 = v f (x)e dx .
2?
|x| N
Назад
Выберем N настолько большим, чтобы
? Полный экран
|I1 | < ,
2
где ? — произвольное положительное число. После этого ? будем считать столь Закрыть
большим, чтобы
?
|I2 | < .
2 Выход
Последнее возможно в силу леммы Римана–Лебега:

1
f (x)e?i?x dx > 0 .
I2 = v
2? ?>?
|x| N
Ряды Фурье
Таким образом, при достаточно больших ? Интегралы Фурье
Предметный указатель
|f (?)| < ? .
Литература


5.3. Формула обращения Веб – страница

Для доказательства теоремы Фурье нам понадобится следующее свойство ядра Ди-
рихле, которое в случае интеграла Фурье определяется равенством Титульный лист

1 sin N (x ? t)
DN (x ? t) = · .
x?t
?
Лемма 5.1. При N > 0 и при любом x ? R
+?
sin N (x ? t)
1
(5.8)
dt = 1 ,
x?t Страница 83 из 127
?
??

причем интеграл сходится равномерно по N при N 1. Назад

Доказательство. Установим сначала равномерность. Пусть T — достаточно боль-
Полный экран
шое положительное число, так что |x| < T . Тогда
+? +? +?
sin N (x ? t) d cos N (x ? t) cos N (x ? T ) cos N (x ? t) Закрыть
=? ?
dt = dt
N (x ? t)2
x?t N (x ? t) N (x ? T )
T t=T T
Выход
откуда
+? +?
sin N (x ? t) 1 dt 2
>
dt + = 0.
(t ? x)2
x?t T ?x T ?x T >+?
T T

Аналогично оценивается интеграл Ряды Фурье
Интегралы Фурье
?T
sin N (x ? t) Предметный указатель
dt . Литература
x?t
??

Веб – страница

<< Предыдущая

стр. 13
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>