<< Предыдущая

стр. 14
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Для доказательства (5.8) достаточно установить равенство (при N > 0)
+?
1 sin N t Титульный лист
dt = 1 .
? t
??

Отметим сначала независимость интеграла от N при положительных N , что стано-
вится очевидным при замене ? = N t , d? = N dt:
+? +?
1 sin N t 1 sin ?
dt = d? . Страница 84 из 127
? t ? ?
?? ??
Назад
Рассмотрим тогда интеграл
+?
e?xt sin t Полный экран
2
?(x) = dt , x 0.
? t
0
Закрыть

Заметим, прежде всего, что он сходится равномерно по x 0. Действительно,
Выход
при T > 0

+? +? +?
e?xt sin t e(?x+i)t e(?x?i)t
dt ?
2i dt = dt
t t t
T T T Ряды Фурье
+? +?
Интегралы Фурье
1 e(?x+i)t 1 e(?x?i)t
?
= d d Предметный указатель
t ?x + i t ?x ? i
Литература
t=T t=T
+?
+?
1 e(?x+i)t 1 e(?x?i)t e(?x+i)t e(?x?i)t dt
? ?
= + Веб – страница
?x ? i t2
t ?x + i t ?x ? i ?x + i
t=T
T
+?
Титульный лист
1 e(?x+i)T e(?x?i)T e(?x+i)t e(?x?i)t dt
=? ? ?
+ ,
?x ? i t2
T ?x + i ?x ? i ?x + i
T

откуда
+? +?
e?xt sin t 1 dt 2
>
dt + = 0.
t2
t T T T >+?
T T
Страница 85 из 127
Вычислим производную от ?(x) (при x > 0 можно воспользоваться теоремой о
дифференцировании интеграла по параметру):
Назад
+? +?
2 1
e?xt sin t dt = ? [e(?x+i)t ? e(?x?i)t ] dt
? (x) = ? Полный экран
? ?i
0 0
+?
1 e(?x+i)t e(?x?i)t 1 1 1 2 1 Закрыть
=? ? ? =? · 2
= .
?i ?x + i ?x ? i ?i ?x + i ?x ? i ? x +1
t=0
Выход
Заметим, далее, что
+?
+?
2 e?xt
2 2
?xt
|?(x)| dt = ? > = 0.
e =
? ?x ?x x>+?
t=0
0
Ряды Фурье
Тогда согласно формуле Ньютона–Лейбница для несобственного интеграла Интегралы Фурье
Предметный указатель
+?
2 +? Литература
??(0+) = lim ?(x) ? ?(0+) = ? (x) dx = ? arctg x ?1 .
=
0
?
x>+?
0
Веб – страница
Но ввиду равномерной по x сходимости интеграла ?(x)
+? +?
Титульный лист
2 sin t 1 sin t
?(0+) = dt = dt ,
? t ? t
??
0

т.е.
+?
1 sin t
dt = 1 .
? t
??
Страница 86 из 127


Теорема 5.2 (Фурье). Пусть функция f непрерывна и абсолютно интегрируема
Назад
на вещественной оси и пусть она дифференцируема в точке x. Тогда
+? N
Полный экран
1 1
f (?)ei?x d? ? v i?x
f (x) = v v.p. lim f (?)e d? .
2? 2? N >+?
?? ?N
Закрыть
Замечание 5.3. Сокращение v.p. перед знаком интеграла читается как «главное
значение» интеграла. Выход
Доказательство. Положим
+N N +?
1 1
Опр.
f (?)ei?x d? = f (t)ei?(x?t) dt .
fN (x) = v (5.9)
d?
2?
2?
??
?N ?N
Ряды Фурье

Используя теорему об интегрировании несобственного интеграла по параметру и Интегралы Фурье

свойства четности, найдем Предметный указатель
Литература
N +? N +?
1 i
f (t) cos ?(x ? t) dt + f (t) sin ?(x ? t) dt
fN (x) = d? d?
2? 2? Веб – страница
?? ??
?N ?N
+? N +?
sin N (x ? t)
1 1 Титульный лист
cos ?(x ? t) d? =
= dt f (t) f (t) dt .
x?t
? ?
?? ??
0

Тогда
+? +?
sin N (x ? t) sin N (x ? t)
1 1
f (x) ? fN (x) = dt ?
f (x) f (t) dt
x?t x?t
? ?
Страница 87 из 127
?? ??
+?
f (x) ? f (t)
1
· sin N (x ? t) dt .
= Назад
x?t
?
??

Полный экран
Последний интеграл разобьем на три части:
?T
+? T +?
Закрыть
(5.10)
= + + ,
?? ?? ?T T
Выход
считая, что T достаточно велико, так что |x| < T . Величину T можно выбрать столь
большой, что первый и последний интегралы в правой части будут сколь угодно
малы независимо от величины N при N 1. Действительно, например,
+?
f (x) ? f (t) Ряды Фурье
· sin N (x ? t) dt = I1 + I2 ,
x?t Интегралы Фурье
T
Предметный указатель
где Литература
+?
sin N (x ? t)
I1 = f (x) dt
x?t Веб – страница
T
и
+? Титульный лист
f (t) sin N (x ? t)
I2 = ? dt ,
x?t
T

откуда (как было установлено при доказательстве предыдущей леммы)

2|f (x)|
|I1 | > 0
T ?x T >+?
Страница 88 из 127
и (в силу абсолютной интегрируемости функции f )
+? Назад
1
|I2 | |f (t)| dt > 0.
T ?x T >+?
T Полный экран

Если T уже выбрано так, что
?T +? Закрыть
?
+ <,
2
?? T Выход
где ? — произвольное наперед заданное положительное число, оставшийся средний
интеграл в правой части равенства (5.10) может быть сделан сколь угодно малым
при N > +? в силу леммы Римана–Лебега:
T
f (x) ? f (t) Ряды Фурье
· sin N (x ? t) dt > 0 .
x?t N >+? Интегралы Фурье
?T
Предметный указатель
Использование леммы Римана–Лебега оправдано ввиду того, что функцию перемен- Литература
ной t
f (x) ? f (t)
t> Веб – страница
x?t
можно доопределить как непрерывную всюду на интервале [?T, T ], поскольку в
точке t = x она имеет устранимый разрыв: Титульный лист

f (x) ? f (t)
? lim = f (x) .
x?t
t>x

Выберем N столь большим, чтобы
T
?
< ,
2 Страница 89 из 127
?T

<< Предыдущая

стр. 14
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>