<< Предыдущая

стр. 15
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


тогда Назад
|f (x) ? fN (x)| < ? .

Полный экран


5.4. Обратное преобразование Фурье Закрыть
Как следует из доказанной выше теоремы Фурье, если функция f (x) — является
дифференцируемой и абсолютно интегрируемой на вещественной оси, то преобразо- Выход
вание Фурье
+?
1
f (x)e?i?x dx ,
f (?) = v
f > f = Ff ,
F:
2?
??
Ряды Фурье
имеет обратное преобразование Интегралы Фурье
+? Предметный указатель
1
F ?1 : f > f = F ?1 f , f (?)ei?x d? .
f (x) = v v.p. Литература
2?
??
Веб – страница
Заметим, что если функция f является абсолютно интегрируемой, то обратное пре-
образование Фурье F ?1 можно описать равенством
Титульный лист
?1
F = PF ,
где оператор P является оператором «отражения»
f (x) > f (?x) .
P:
Отметим также коммутационное соотношение
FP = PF , Страница 90 из 127


которое легко оправдывается заменой переменной в интеграле:
Назад
??
+?
1 1
f (?x)e?i?x dx = ? v f (t)ei?t dt
F P f (?) = v Полный экран
2? 2?
?? +?
+?
1 Закрыть
f (t)ei?t dt = P F f (?) .
=v
2?
??
Выход
5.5. Гладкость преобразований Фурье быстро убывающих функ-
ций и скорость убывания преобразований Фурье гладких
функций
Если функция f (x) непрерывна и сходится интеграл
Ряды Фурье
+? Интегралы Фурье

|xf (x)| dx , Предметный указатель
Литература
??


то преобразование Фурье f (?) является непрерывно дифференцируемой функцией, Веб – страница
d
причем производная d? f (?) является преобразованием Фурье функции ?ixf (x):
Титульный лист
+?
df (?) 1
(?ix)f (x)e?i?x dx .
=v
d? 2?
??

Это сразу вытекает из теоремы о дифференцировании несобственного интеграла
по параметру, поскольку здесь интеграл справа, полученный формальным диффе-
ренцированием преобразования Фурье функции f под знаком интеграла, сходится
равномерно по ?. Страница 91 из 127
Как следствие получаем, если функция f (x) непрерывна и абсолютно интегри-
руема со степенью |x|n , ее образ Фурье f (?) является n раз непрерывно дифферен- Назад
цируемой функцией, причем

dn Полный экран
F
n
?>
(?ix) f (x) f (?) .
d? n
Закрыть
Рассмотрим теперь вопрос о скорости убывания преобразования Фурье гладкой
функции.
Выход
Теорема 5.4. Пусть теперь функция f — непрерывно дифференцируема, причем
f и f — абсолютно интегрируемы:
+? +?

|f (x)| dx < +? , |f (x)| dx < +? .
Ряды Фурье
?? ??
Интегралы Фурье

Тогда имеет место соотношение Предметный указатель
Литература
f (?) = i? f (?) ,
Веб – страница
в частности
1
f (?) = o .
|?|
?>?
Титульный лист

Доказательство. Согласно формуле Ньютона–Лейбница
b

f (b) ? f (a) = f (x) dx
a

и абсолютной интегрируемости функции f , существуют пределы Страница 92 из 127

lim f (a) , lim f (b) .
a>?? b>+?
Назад

Если любой из этих пределов не равен нулю, функция f не может быть абсолютно
интегрируемой на R, таким образом Полный экран

lim f (a) = 0 , lim f (b) = 0 .
a>?? b>+?
Закрыть



Выход
Тогда, интегрируя по частям, находим

+? +?
f (x)e?i?x +?
1 1
?i?x
f (x)(?i?)e?i?x dx
f (?) = v v ?v
f (x)e dx =
2? 2? 2?
??
?? ?? Ряды Фурье
+?
Интегралы Фурье
(i?) ?i?x
=v f (x)e dx = (i?)f (?) . Предметный указатель
2?
Литература
??


Веб – страница
Как следствие, если функция f непрерывно дифференцируема n раз и абсолютно
интегрируема на R вместе со своими производными, то ее образ убывает на беско- Титульный лист
нечности быстрее чем |?|?n :
1
f (?) = o ,
|?|n
причем
dn F
f (x) ?> (i?)n f (?) .
n
dx
Таким образом, при преобразовании Фурье операция умножения на независимую Страница 93 из 127
переменную x переходит в операцию дифференцирования (по ?) с точностью до
множителя i, а операция дифференцирования по x переходит в операцию умножения
на независимую переменную ? с точность до того же множителя i: Назад


d
F
x i Полный экран
d?
d F
i? . Закрыть
dx

Выход
5.6. Пространство Шварца
В теории интеграла Фурье важную роль играет пространство Шварца S(R) гладких
быстро убывающих функций. Это пространство функций состоит из бесконечно диф-
ференцируемых функций, которые вместе со всеми своими производными убывают
на бесконечности быстрее любой степени |x|: Ряды Фурье
Интегралы Фурье
dn f (x)
Ck Cn,k Предметный указатель
|f (x)| ?n, k ? N .
,
1 + |x|k dxn 1 + |x|k Литература

Согласно предыдущему пункту оператор Фурье F функцию класса Шварца пере-
водит снова в функцию класса Шварца. Поскольку обратный оператор Фурье с Веб – страница

точностью до отражения P совпадает с преобразованием Фурье, то заключаем, что
оператор Фурье отображает пространство Шварца на все пространство Шварца вза- Титульный лист
имно однозначно:

S(R) > S(R) ,
F:
F ?1 : S(R) > S(R) .

Превратим пространство Шварца в унитарное пространство, задавая в нем ска-
лярное произведение равенством
Страница 94 из 127
+?

f |g = f (x)g(x) dx . Назад
??

При этом Полный экран
+?
2
|f (x)|2 dx .
f = Закрыть
??

Выход
Напомним, что в абстрактном унитарном пространстве V оператор A? называется
сопряженным к оператору A, если
Aa|b = a|A? b .
?a , b ? V :
Оператор A называется при этом унитарным, если Ряды Фурье

AA? = A? A = I , т.е. A? = A?1 . Интегралы Фурье
Предметный указатель
Унитарное преобразование сохраняет скалярное произведение и, в частности, норму
Литература
вектора:
Aa|Ab = a|A? Ab = a|b , Aa = a .
Веб – страница
Теорема 5.5. Оператор Фурье унитарен на пространстве Шварца:
F ? = F ?1 . Титульный лист

Доказательство. Пусть f, g ? S(R). Тогда
+? +? +? +?
1 1
dx f (x)e?i?x g(?) = v
d? v d? f (x)ei?x g(?)
F f |g = dx
2? 2?
?? ?? ?? ??
+? +?
1
ei?x g(?) d? = f |F ?1 g . Страница 95 из 127
dx f (x) v
=
2?
?? ??
Назад
Перестановка порядков интегрирования возможна ввиду равномерной сходимости
интегралов.
Полный экран
Следствие 5.6 (Равенство Парсеваля).
+? +?
Закрыть
|f (?)|2 d? = |f (x)|2 dx .
?? ??
Выход
В дальнейшем вообще через F ? будет обозначаться оператор
+?
1

<< Предыдущая

стр. 15
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>