<< Предыдущая

стр. 16
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

F? = PF , F? : f (x)ei?x dx ,
f (?) = v
f >f,
2?
??
Ряды Фурье

и называться сопряженным преобразованием Фурье. Интегралы Фурье
Предметный указатель
Замечание 5.7. Как легко видеть, формула
Литература
?
F f |g = f |F g
Веб – страница
будет верна для значительно более широкого класса функций, нежели класс Швар-
ца. Достаточно, чтобы f и g были непрерывными (кусочно непрерывными), абсо-
лютно интегрируемыми функциями. Как следствие, будем иметь равенство Титульный лист


f |g = f |g ,

если f — непрерывная, абсолютно интегрируемая функция, а g — абсолютно инте-
грируемый образ Фурье дифференцируемой и абсолютно интегрируемой функции g.
Действительно, в этом случае, в силу формулы обращения, g = F ?1 g и тогда

f |g = F f |g = f |F ?1 g = f |g . Страница 96 из 127


В частности, равенство Парсеваля Назад

f=f
Полный экран
сохраняет силу, когда f — абсолютно интегрируемый образ Фурье дифференцируе-
мой и абсолютно интегрируемой функции f . В действительности, методами функци- Закрыть
онального анализа можно показать, что для равенства Парсеваля достаточно лишь
одной квадратичной интегрируемости функций!
Выход
6. Свертка функций
Сверткой функций f и g на вещественной оси называется интеграл
+?
1
f ? g(x) = v Ряды Фурье
f (t)g(x ? t) dt . (6.1)
2? Интегралы Фурье
??
Предметный указатель
В отличие от периодического случая мы должны позаботиться о сходимости инте- Литература
грала (6.1). Например, достаточно потребовать непрерывности и абсолютной инте-
грируемости функции f и непрерывности и ограниченности функции g или наоборот,
Веб – страница
непрерывности и абсолютной интегрируемости функции g и непрерывности и огра-
ниченности функции f . Как и в периодическом случае, легко показать, что свертка
коммутативна: Титульный лист
f ?g =g?f.
Свертка на бесконечном интервале, как и свертка периодическая, часто исполь-
зуется для сглаживания функции. Пусть f — равномерно непрерывная функция на
вещественной оси. Пусть ? > 0 фиксировано и ? таково, что

|x ? y| < ? ? |f (x) ? f (y)| < ? .
Страница 97 из 127
Возьмем произвольно гладкую (непрерывно дифференцируемую или даже бесконеч-
но дифференцируемую) функцию ?, удовлетворяющую условиям:
Назад
1. ?(x) 0,
2. ? — четная функция, Полный экран


3. ?(x) = 0 при |x| ?,
Закрыть
+?
v1
4. ?(x) dx = 1 .
2?
?? Выход
Напомним, что в силу этих свойств
+?
1
v ?(x ? t) dt = 1 .
2?
??
Ряды Фурье

Рассмотрим свертку g = f ? ?: Интегралы Фурье
Предметный указатель
+?
Литература
1
g(x) = v f (t)?(x ? t) dt .
2?
?? Веб – страница

Здесь интеграл практически не является несобственным — интегрирование реально
ведется по интервалу |x ? t| ?. Функция g является, очевидно, гладкой, причем Титульный лист

+?
1
g (x) = v f (t)? (x ? t) dt .
2?
??

Вместе с тем функция g является равномерной аппроксимацией функции f :
Страница 98 из 127
+?
1
|f (x) ? g(x)| = v [f (x) ? f (t)]?(x ? t) dt
2? Назад
??
1 ?
v v
|f (x) ? f (t)|?(x ? t) dt ?(x ? t) dt = ? .
2? 2? Полный экран
|x?t| ? |x?t| ?


Однако свертка функций не улучшает, вообще говоря, их убывания. Нас свертка Закрыть
будет интересовать с точки зрения преобразования Фурье.
Выход
Теорема 6.1. Пусть функции f и g — непрерывны и абсолютно интегрируемы на
вещественной оси:
+? +?

|f (x)| dx < +? , |g(x)| dx < +? .
Ряды Фурье
?? ??
Интегралы Фурье
Тогда Предметный указатель
(F f ) ? g = F (f · F ? g) ,
Литература
или что то же
g = F ?g .
f ?g = f ·g,
Веб – страница
Доказательство. Существование свертки очевидно ввиду ограниченности функции
f . Формула вытекает из преобразований Титульный лист

+? +? +?
1 1 1
f (x)e?ix(???) dx
v f (? ? ?)g(?) d? = v d? g(?) v
2? 2? 2?
?? ?? ??
+? +? +?
1 1 1
dx f (x)e?ix? v f (x)g(x)e?ix? dx
g(?)eix? d? = v
=v
2? 2? 2?
?? ?? ?? Страница 99 из 127



Назад
Следствие 6.2. В предположениях предыдущей теоремы верна также формула
(F ? f ) ? g = F ? (f · F g)
Полный экран
Доказательство. Заметим, что
+? +? Закрыть
f (t)g(?x ? t) dt = f (?u)g(?x + u) du ,
?? ?? Выход
откуда
P (f ? g) = (P f ) ? (P g) .
Тогда
P (F f ? g) = F ? f ? P g и P F (f · F ? g) = F ? (f · F P g) .
Ряды Фурье
Отсюда в силу теоремы
Интегралы Фурье
F ? f ? P g = F ? (f · F P g) .
Предметный указатель
Остается заменить P g на g . Литература

Теорема 6.3. Если функции f и g — непрерывны, абсолютно и квадратично
интегрируемы: Веб – страница

+? +?
Титульный лист
|f (x)| dx < +? , |g(x)| dx < +? ,
?? ??
+? +?

|f (x)|2 dx < +? , |g(x)|2 dx < +? ,
?? ??

то свертка f ? g является абсолютно интегрируемой функцией и
Страница 100 из 127

f ?g = f ·g.
Назад
Доказательство. Заметим, что в силу неравенства Шварца свертка f ?g существует,
причем интеграл сходится равномерно по x:
Полный экран
+?
2
|f (t)|2 dt |g(x ? t)|2 dt = |f (t)|2 dt |g(s)|2 ds .
f (t)g(x ? t) dt Закрыть
??
|t|>T |t|>T |t|>T |t|>T

Выход
Отсюда, согласно теореме об интегрировании несобственного интеграла по парамет-
ру, свертка также является абсолютно интегрируемой функцией:
+? +? +? +?

f (t)g(x ? t) dt |f (t)g(x ? t)| dt
dx dx
Ряды Фурье
?? ?? ?? ??
Интегралы Фурье
+? +? +? +?
Предметный указатель
dt |f (t)| |g(x ? t)| dx = |f (t)| dt |g(s)| ds .
=
Литература
?? ?? ?? ??

Тогда опять с использованием теоремы об интегрировании несобственного интеграла Веб – страница
по параметру находим
+? +? Титульный лист
1 1
dx e?i?x v
v f (t)g(x ? t) dt
2? 2?
?? ??
+? +?
1 1
dt e?i?t f (t) v e?i?(x?t) g(x ? t) dx
=v
2? 2?
?? ??
+? +?
Страница 101 из 127
1 1
dt e?i?t f (t) v e?i?u g(u) du .
=v
2? 2?
?? ??
Назад



Замечание 6.4. В действительности, в условиях последней теоремы можно показать, Полный экран
что
f ? g = F ? (f · g) , Закрыть
причем произведение f · g является абсолютно интегрируемой функцией, откуда,
в частности, вытекает непрерывность и убывание на бесконечности свертки f ? g Выход
(ввиду соответствующих свойств преобразований Фурье абсолютно интегрируемых
функций).



Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература


Веб – страница



Титульный лист




Страница 102 из 127



Назад

<< Предыдущая

стр. 16
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>