<< Предыдущая

стр. 17
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



Полный экран



Закрыть



Выход
7. Примеры и приложения
7.1. Сводка формул
Вычислим образы Фурье для некоторых функций.
Ряды Фурье
1. Интегралы Фурье
e?x , x 0, Предметный указатель
f1 (x) =
0, x < 0. Литература

Тогда
Веб – страница
+?
x(?1?i?) +?
1 1 ? i?
1 1e 1 1
ex(?1?i?) dx = v ·
f1 (?) = v =v · =v · .
2? 1 + ? 2
2? ?1 ? i? 2? 1 + i?
2? Титульный лист
0
0


2.
0 , x > 0,
f2 (x) =
ex , x 0.

Тогда f2 = P f1 , откуда f2 = P f1 , т.е.
Страница 103 из 127
1 1 + i?
f2 (?) = v · .
2? 1 + ? 2
Назад

3.
f3 (x) = e?|x| . Полный экран

В силу f3 = f1 + f2 находим
Закрыть
2 1
·
f3 (?) = .
? 1 + ?2
Выход
4.
f4 (x) = sgnx · e?|x| .
В силу f4 = f1 ? f2 находим

2 ? Ряды Фурье
f4 (?) = ?i · .
? 1 + ?2 Интегралы Фурье
Предметный указатель
5. Литература
1
f5 (x) = .
1 + x2
Веб – страница
? ?|?|
Заметим, что F ? f5 (?) = . Тогда в силу F = P F ?
e
2
Титульный лист

? ?|?|
f5 (?) = e .
2

6.
x
f6 (x) = .
1 + x2
? Страница 104 из 127
Заметим, что F ? f6 (?) = i sgn? · e?|?| . Тогда, аналогично с предыдущим,
2
Назад
?
sgn? · e?|?| .
f6 (?) = ?i
2
Полный экран
7.
1 , x ? [?1, 1], Закрыть
f7 (x) =
0 x ? [?1, 1].
/
Выход
Тогда
1
e?i? ? ei?
1 1 2 sin ?
?i?x
f7 (?) = v dx = v · ·
e = .
?i? ? ?
2? 2?
?1

Ряды Фурье
8.
sin x Интегралы Фурье
f8 (x) = .
x Предметный указатель
Литература
?
Заметим, что F ? f8 (?) = f7 (?) . Тогда (в силу четности)
2
Веб – страница
?
f8 (?) = f7 (?) .
2
Титульный лист

Выпишем для этого случая равенство Парсеваля:
+? 1
2
sin x ?
dx = dx = ? .
x 2
?? ?1


9. Страница 105 из 127
?x2
f9 (x) = e .
Заметим, что Назад

+? +?
1 1
2 2
e?x e?ix? dx = v e?x cos(x?) dx . Полный экран
f9 (?) = v
2? 2?
?? ??
Закрыть



Выход
При этом

+? +? 2
de?x
d 1 1
2
?x
f9 (?) = ? v sin(x?) dx = v
xe sin(x?)
d? 2
2? 2?
?? ?? Ряды Фурье
+?
Интегралы Фурье
? ?
?x2
=? v cos(x?) dx = ? f9 (?) .
e Предметный указатель
2
2 2?
Литература
??

Решая полученное дифференциальное уравнение, находим
Веб – страница
?2
f9 (?) = Ce? ,
4

Титульный лист
константа определяется из начального условия
+?
1 1
2
e?x dx = v .
f9 (0) = v
2? 2
??

Окончательно,
?2 Страница 106 из 127
e? 4
f9 (?) = v .
2
Назад
Отметим, что в примерах 6 и 8 функции f6 и f8 не являются абсолютно интегриру-
емыми.
Полный экран
На практике часто бывают полезны следующие простые свойства преобразования
Фурье. Пусть
F Закрыть
f (x) f (?) .
Тогда
Выход
1?
F
1. f (ax) , — так называемая «терема подобия»,
f
aa
F
2. f (x)ei?x f (? ? ?) , — так называемая «теорема смещения»,
F
f (?)e?i?b , — так называемая «теорема запаздывания». Ряды Фурье
3. f (x ? b)
Интегралы Фурье
Доказательство этих свойств элементарно: Предметный указатель
Литература
+? +?
du
?
f (ax)e?i?x dx = f (u)e?i a u ,
a Веб – страница
?? ??
+? +?

f (x)ei?x e?i?x dx = f (x)e?i(???)x dx , Титульный лист

?? ??
+? +?

f (x ? b)e?i?x dx = f (u)e?i?(u+b) du .
?? ??

Дополним эту сводку формул доказанными ранее теоремами о дифференцировании
«оригинала», о дифференцировании «изображения», о свертке и таблицей примеров: Страница 107 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
Таблица 1: Таблица преобразований Фурье


f (x) f (?)
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
1?
f (ax) f Предметный указатель
aa
Литература



f (x)ei?x f (? ? ?) Веб – страница



Титульный лист

<< Предыдущая

стр. 17
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>