<< Предыдущая

стр. 18
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


f (?)e?i?b
f (x ? b)


dn f (x)
(i?)n f (?)
dxn

Страница 108 из 127
n
d f (?)
xn f (x) in
d? n Назад

+?
1 f (?) · g(?) Полный экран
v f (t)g(x ? t) dt
2?
??
Закрыть



Выход
1 ? i?
1
e?x H(x) v·
2? 1 + ? 2


2 1
e?|x| Ряды Фурье
·
? 1 + ?2 Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
2 ?
e?|x| sgnx ?i ·
? 1 + ?2
Веб – страница


1 ? ?|?|
e Титульный лист
1 + x2 2

x ? ?|?|
?i e sgn?
1 + x2 2


2 sin ?
H(x + 1) ? H(x ? 1) Страница 109 из 127
·
? ?
Назад
sin x ?
[H(? + 1) ? H(? ? 1)]
x 2 Полный экран



Закрыть



Выход
?2
e? 4
?x2
e v
2

Ряды Фурье
Здесь H(x):
Интегралы Фурье
1, x 0,
H(x) = Предметный указатель
0, x < 0.
Литература
— так называемая функция Хевисайда.
В качестве иллюстрации вычислим преобразование Фурье функции fN , введен- Веб – страница
ной при доказательстве теоремы Фурье. Напомним, что ядро Дирихле было опреде-
лено равенством
sin N x N sin(N x) Титульный лист
·
DN (x) = = .
?x ? Nx
Его Фурье-образ, согласно теореме подобия, равен

1 ? ? ? 1
=v
+1 ?H ?1 H(? + N ) ? H(? ? N ) .
DN (?) = H
? 2 N N 2?
Функция fN совпадает со сверткой, см. стр. 87: Страница 110 из 127
v
fN = 2?f ? DN .
Назад
Тогда
f (?) , ? ? [?N, N ] ,
fN (?) = f (?) H(? + N ) ? H(? ? N ) = Полный экран
? ? [?N, N ] .
0, /
Закрыть



Выход
7.2. Распространение тепла в бесконечном стержне
Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном стержне, если задана
начальная температура u(x, 0) = ?(x). Эту задачу принято называть задачей Коши
для уравнения теплопроводности
Ряды Фурье
?2u
?
? ?u Интегралы Фурье
= a2 2 , x ? R, t ? [0, +?) ,
?t ?x Предметный указатель
?u(x, 0) = ?(x) , x ? R .
Литература

Фиксируя t, подвергнем функцию u(x, t) преобразованию Фурье:
Веб – страница
U (?, t) = (F u)(?, t) .
Титульный лист
Тогда рассматриваемая задача Коши будет иметь следующий образ Фурье:
?
? ?U
= ?a2 ? 2 U, ? ? R, t ? [0, +?) ,
?t
?U (?, 0) = ?(?) , ? ? R .

Здесь ? = F ?. Фиксируя ?, решим полученное дифференциальное уравнение:
Страница 111 из 127
22
U (?, t) = ?(?)e?a ?t
.

Решение исходной задачи находится по формуле Назад


u(x, t) = (F ?1 U )(x, t) .
Полный экран

Здесь полезно воспользоваться теоремой о свертке в форме 6.2:
Закрыть
22 22
F ? [e?a ] ? ? = F ? (e?a
?t ?t
· F ?) .
Выход
Заметим, что в силу четности (по ?) и теоремы подобия (роль множителя играет
v
a t)
1 x2
? ?a2 ? 2 t ?a2 ? 2 t
v e? 4a2 t .
F [e ] = F [e ]=
a 2t
(Здесь также поменялись ролями переменные x и ?). Тогда Ряды Фурье
+? Интегралы Фурье
1 (x?y)2
?
u(x, t) = v ?(y)e dy .
4a2 t Предметный указатель
2a ?t Литература
??

Отметим, что в отличие от волнового уравнения, параметр a не играет роль
Веб – страница
скорости распространения тепла. Как видно из полученного решения, скорость рас-
пространения тепла бесконечна (с точки зрения данной модели): в любой сколь
угодно малый момент времени t > 0 изменение температуры u(x, t) происходит на Титульный лист
всем протяжении бесконечного стержня (для всех x)!

7.3. Частотный спектр
В связи с предельным переходом, описанным в параграфе 5.1, полезно познакомиться
с понятием частотного спектра.
Пусть f — вещественная периодическая функция с периодом 2l. Ее разложение
Страница 112 из 127
в ряд Фурье имеет вид
?
a0 Назад
f (x) = + (an cos ?n x + bn sin ?n x) ,
2 n=1
где Полный экран
?n
?n = .
l
Величины ?n имеют смысл частот колебаний и называются гармониками, причем Закрыть
гармоника ?1 называется основной частотой, остальные гармоники ?n = n?1 , крат-
ные основной, называются обертонами. Выход
Введем величины
a0
a2 + b2 ,
A0 = , An = n 1.
n n
2
Разложение в ряд Фурье может быть переписано в виде
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
f (x) ? A0 + An sin(?n x + ?n ) ,
Предметный указатель
n=1
Литература
где фазы колебаний ?n определяются равенствами
an bn Веб – страница
sin ?n = , cos ?n = .
An An
Титульный лист
Последовательность амплитуд колебаний An , отнесенных к соответствующим
гармоникам, и носит название дискретного частотного спектра.
Найдем, например, частотный спектр пилообразной 2l-периодической функции,
заданной на периоде равенством

x ? [?l, l] .
f (x) = x ,

Ее разложение в ряд Фурье имеет вид
Страница 113 из 127
+?
(?1)n+1 2l
f (x) = sin ?n x ,
?n Назад
n=1

откуда
Полный экран
2l
An = ,
?n
см. рис. 5. Закрыть
Следует подчеркнуть, что частотный спектр не определяет функцию f (x) одно-
значно. Выход
An



f (x)
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
0 l
x ?n
?1 ?2 ?3 ?4 Литература
0

Веб – страница
Рис. 5: Дискретный частотный спектр
Титульный лист


Совершая предельный переход l > ?, мы получаем интеграл Фурье функции
f (x):
?

f (x) = [a(?) cos ?x + b(?) sin ?x] d? ,
0
где Страница 114 из 127
+? +?
1 1
a(?) = f (x) cos x? dx , b(?) = f (x) sin x? dx .
? ? Назад
?? ??

По аналогии с дискретным случаем, вводится непрерывный частотный спектр
Полный экран
a2 (?) + b2 (?) .

<< Предыдущая

стр. 18
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>