<< Предыдущая

стр. 19
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

A(?) =
Закрыть
Заметим, что
?
· [a(?) ? ib(?)] ,
f (?) =
2 Выход
откуда
2
· |f (?)| .
A(?) =
?
Величина A(?) служит мерой вклада частоты ? в функцию f (x).
На рисунке 6 можно видеть примеры непрерывных частотных спектров. Ряды Фурье
Интегралы Фурье
f (x) Предметный указатель
2 sin ? Литература
·
A(?) =
? ?
Веб – страница
0 1
x ?
0 ?
Титульный лист




1 1
·
f (x) = e?x H(x) A(?) =
? 1 + ?2
0 Страница 115 из 127
x 0 ?
Назад



Полный экран
Рис. 6: Примеры непрерывных частотных спектров

Закрыть



Выход
A. Дополнение. Сходимость в среднеквадратичном
Мы докажем в этом параграфе, что для произвольной кусочно непрерывной и квад-
ратично интегрируемой функции f интеграл
+? +? Ряды Фурье
sin N (x ? t)
1
f (t)DN (x ? t) dt =
fN (x) = f (t) dt , Интегралы Фурье
x?t
?
Предметный указатель
?? ??
Литература
называемый простым интегралом Фурье функции f , в среднеквадратичном схо-
дится к функции f , т.е.
Веб – страница
+?

|f (x)|2 dx .
f ? fN > 0, f=
N >? Титульный лист
??

Если определить функцию v
DN (x) = 2? DN (x) ,
то интеграл fN (x) можно записать как свертку
fN (x) = f ? DN (x) .
Страница 116 из 127
Введем срезающий оператор ?N . Если f — произвольная функция на оси, то

g(x) , x ? [?N, N ] ,
?N f (x) = Назад
x ? [?N, N ] .
0, /

Тогда, если преобразование Фурье f = F f функции f существует и как несоб- Полный экран

ственный интеграл сходится равномерно, то простой интеграл Фурье запишется в
виде Закрыть
fN = F ? ?N F f .
Нам будут полезны следующие две леммы. Выход
Лемма A.1 (Интегральное неравенство Минковского). Пусть функция f (x, y)
непрерывна. Тогда

b d d b
2
|f (x, y)|2 dx .
dx f (x, y) dy dy Ряды Фурье
a c c a Интегралы Фурье
Предметный указатель
(Пределы интегрирования могут быть бесконечными).
Литература
Доказательство. Положим
Веб – страница
d

g(x) = f (x, y) dy .
Титульный лист
c

По неравенству Шварца

b b b

|f (x, y)|2 dx |g(x)|2 dx .
|f (x, y)g(x)| dx
a a a
Страница 117 из 127
Заметим, что
b d b
2
|g(x)|2 dx . Назад
dx f (x, y) dy =
a c a
Полный экран



Закрыть



Выход
При этом

b b d

|g(x)|2 dx |f (x, y)| dy
dx|g(x)|
a a c Ряды Фурье
Интегралы Фурье
d b d b b

|f (x, y)|2 dx |g(x)|2 dx , Предметный указатель
|f (x, y)g(x)| dx
= dy dy
Литература
c a c a a

откуда Веб – страница
b d b

|g(x)|2 dx |f (x, y)|2 dx ,
dy
Титульный лист
a c a

что и требовалось доказать.
Лемма A.2 (Равенство Парсеваля). Пусть f — финитная непрерывная (кусочно–
непрерывная) функция и f — ее преобразование Фурье. Тогда

f=f,
Страница 118 из 127

т.е.
+? +?
Назад
|f (?)|2 d? = |f (x)|2 dx .
?? ??
Полный экран
Доказательство. Напомним, что функция называется финитной, если она обраща-
ется в ноль на внешности некоторого интервала. Предположим вначале, что f (x)
Закрыть
обращается в ноль вне интервала [??, ?]. Переопределим ее как 2?-периодическую,

Выход
продолжая ее с интервала [??, ?] на всю ось как периодическую. Для разложения
таким образом переопределенной функции f (x) в ряд Фурье
?
+?
1
f (x)e?inx dx ,
cn einx ,
f (x) ? cn =
2? Ряды Фурье
n=?? ??
Интегралы Фурье
выполняется равенство Парсеваля для рядов: Предметный указатель
Литература
? +?
|f (x)|2 dx = 2? |cn |2 .
Веб – страница
n=??
??


Пусть ? ? [0, 1). Тогда замещая f (x) функцией e?i?x f (x), находим Титульный лист

? ?
+?
1
f (x)e?i(n+?)x dx .
|f (x)|2 dx = 2? |cn (?)|2 , cn (?) =
2?
n=??
?? ??

Заметим, что v
f (n + ?) = 2? cn (?) ,
Страница 119 из 127
откуда
? +?
2
|f (n + ?)|2 .
|f (x)| dx = Назад
n=??
??
Полный экран
Остается проинтегрировать полученное равенство по ? в пределах от 0 до 1, замечая,
что
1 n+1
Закрыть
|f (n + ?)|2 d? = |f (?)|2 d? .
n
0
Выход
В силу аддитивности интеграла
? n+1 +?
+?
|f (x)|2 dx = |f (?)|2 d? = |f (?)|2 d? .
n=?? n
?? ??
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Рассмотрим теперь общий случай, считая, что функция f (x) обращается в ноль вне
l
интервала [?l, l]. Тогда функция g(x) = f (ax), где a = ? , обращается в ноль вне Предметный указатель
интервала [??, ?] и для нее верно равенство Литература

+? ? +?
Веб – страница
|g(x)|2 dx = |g(x)|2 dx = |g(?)|2 d? .
?? ?? ??
Титульный лист
Но
+? +? +?
2
|f (x)|2 dx = |g(x)|2 dx
f (at) a dt = a
?? ?? ??

и, согласно теореме подобия,
1 Страница 120 из 127
g(?) = bf (b?) , b= ,
a
откуда Назад
+? +? +?

|f (?)|2 d? = |f (b?)|2 b d? = a |g(?)|2 d? .
Полный экран
?? ?? ??


Закрыть
Перейдем к основному исследованию.
Выход
Если g(x) — финитная гладкая функция, то по теореме Фурье 5.2 интеграл
N
1
g(?)ei?x d? = g ? DN (x) = F ? ?N g (x) = F ? ?N F g (x)
v
2?
?N

<< Предыдущая

стр. 19
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>