<< Предыдущая

стр. 2
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Отметим, что это периодическая функция с периодом 2? и

|eit | = 1 (t ? R) .

Когда аргумент t пробегает отрезок [0, 2?), точка eit пробегает на комплексной плос-
кости единичную окружность в направлении против часовой стрелки. Как и веще- Ряды Фурье

ственная экспонента, комплексная обладает свойством Интегралы Фурье
Предметный указатель
is it i(s+t)
e e =e . Литература

2?
Заметим, что eint , n ? Z, также периодична с наименьшим периодом |n| (n = 0), так
Веб – страница
что число 2? является общим периодом для все этих экспонент. Если n = 0, то eint
eint
является производной функции , которая также имеет период 2?, так что
in Титульный лист

2?
2? , n = 0
eint dt = (1.2)
n = ±1, ±2, . . .
0,
0

Напомним также формулы Эйлера

eit + e?it eit ? e?it Страница 8 из 127
cos t = , sin t = .
2 2i
Отметим, наконец, одно важное свойство периодических функций. Назад


Лемма 1.1 (об интегрировании периодических функций). Пусть f (t) — непре-
Полный экран
рывная комплекснозначная периодическая функция с периодом T . Тогда ?a ? R
a+T T
Закрыть
f (t) dt = f (t) dt .
a 0
Выход
Доказательство. В силу аддитивности интеграла
a+T 0 T a+T

f (t) dt = f (t) dt + f (t) dt + f (t) dt
a a 0 T
Ряды Фурье
0 T a
Интегралы Фурье
= f (t) dt + f (t) dt + f (s + T ) ds Предметный указатель
a 0 0 Литература
0 T a T

= f (t) dt + f (t) dt + f (s) ds = f (t) dt . Веб – страница
a 0 0 0

Титульный лист



1.3. Определения
Определение 1.2 (Вещественная форма). Пусть an и bn — две последовательности
комплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется ряд
?
x ? R. Страница 9 из 127
a0 + (an cos nx + bn sin nx) ,
n=1

Назад
Заметим, что при n ? N

einx + e?inx einx ? e?inx
= cn einx + c?n e?inx , Полный экран
an cos nx + bn sin nx = an + bn
2 2i
где Закрыть
an ? ibn an + ibn
cn = , c?n = .
2 2
Выход
И наоборот,

cn einx +c?n e?inx = cn (cos nx+i sin nx)+c?n (cos nx?i sin nx) = an cos nx+bn sin nx ,

где
bn = i(cn ? c?n ) . Ряды Фурье
an = cn + c?n ,
Интегралы Фурье
Отсюда
Предметный указатель

Определение 1.3 (Комплексная форма). Пусть cn , n ? Z — последовательность Литература
комплексных чисел. Тригонометрическим рядом называется ряд
Веб – страница
? +?
(cn einx + c?n e?inx ) ? cn einx , x ? R.
c0 +
n=??
n=1 Титульный лист

Переход от вещественной формы к комплексной и наоборот осуществляется пе-
ресчетом коэффициентов

c0 = a0
an ? ibn an + ibn
n?N
cn = , c?n = ,
2 2
Страница 10 из 127
an = cn + c?n , bn = i(cn ? c?n ) , n ? N. (1.3)

Назад
1.4. Случай равномерной сходимости
Теорема 1.4. Пусть тригонометрический ряд удовлетворяет любому из следую-
Полный экран
щих эквивалентных условий
? ?
Закрыть
• ряды |an | и |bn | сходятся,
n=1 n=1
Выход
? ?
• ряды |cn | и |c?n | сходятся.
n=1 n=1

Тогда тригонометрический ряд сходится равномерно на R к непрерывной пери-
одической с периодом 2? функции f , причем
Ряды Фурье
2? Интегралы Фурье
1
f (x)e?inx dx , n ? Z,
cn = Предметный указатель
2? Литература
0
2?
1
n ? N, Веб – страница
an = f (x) cos nx dx ,
?
0
2? Титульный лист
1
n ? N.
bn = f (x) sin nx dx ,
?
0

Доказательство. Эквивалентность условий теоремы следует из неравенств

|an | |cn | + |c?n | , |bn | |cn | + |c?n | ,
|an | + |bn | |an | + |bn | Страница 11 из 127
|cn | |c?n |
, .
2 2
Далее, в силу Назад
?inx
inx
|cn e | |cn | + |c?n | ,
+ c?n e
(|cn | + |c?n |), не
тригонометрический ряд имеет мажорантный сходящийся ряд Полный экран
n1
зависящий от x. В силу признака Вейерштрасса, тригонометрический ряд сходится
Закрыть
равномерно на R. Поскольку члены тригонометрического ряда являются непрерыв-
ными периодическими функциями с периодом 2?, таковой будет и сумма ряда (в
Выход
силу равномерной сходимости). Обозначим сумму ряда через f (x):
?
(cn einx + c?n e?inx ) , x ? R.
f (x) = c0 +
n=1
Ряды Фурье
В силу неравенства
Интегралы Фурье

|(cn einx + c?n e?inx )e?ikx | Предметный указатель
|cn | + |c?n | ,
Литература
ряд
?
?ikx
(cn einx + c?n e?inx )e?ikx , Веб – страница
x ? R,
c0 e +
n=1

равномерно сходится к функции f (x)e?ikx , и этот ряд можно почленно интегриро- Титульный лист

вать. В силу (1.2) все члены ряда при интегрировании по интервалу [0, 2?] обраща-
ются в ноль, за исключением слагаемого с номером n = k:
2? 2?
+?
1 cn
f (x)e?ikx dx = ei(n?k)x dx = ck , k ? Z.
2? 2?
n=??
0 0
Страница 12 из 127
Соотношения для ak и bk вытекают из (1.3) и формул Эйлера.

Назад
Замечание 1.5. Формулы для коэффициентов an , bn , cn в силу леммы 1.1 могут быть
Полный экран



Закрыть



Выход
переписаны, например, в виде
?
1
f (x)e?inx dx , n ? Z,
cn =
2?
??
Ряды Фурье
?
1 Интегралы Фурье
n ? N,
an = f (x) cos nx dx ,
? Предметный указатель
??
Литература
?
1
n ? N.
bn = f (x) sin nx dx ,
? Веб – страница
??


Титульный лист




Страница 13 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
2. Тригонометрические ряды Фурье
2.1. Постановка вопроса
Посмотрим на проблему с другой стороны. Пусть теперь f (x) — произвольная непре-
рывная периодическая с периодом 2? функция. Определим по ней последовательно- Ряды Фурье

сти чисел an , bn , cn согласно формулам Интегралы Фурье
Предметный указатель
2?
1 Литература
f (x)e?inx dx , n ? Z, (2.1)
cn =

<< Предыдущая

стр. 2
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>