<< Предыдущая

стр. 20
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
сходится к функции g(x) при N > ?. Ревизия доказательства теоремы Фурье пока-
зывает, что эта сходимость для финитной бесконечно дифференцируемой функции Предметный указатель

является равномерной по x на любом конечном интервале. Литература
Пусть функция g обращается в ноль вне интервала [a, b] и пусть K достаточно
велико, так что [a, b] ? (?K, K). Тогда утверждение о равномерной сходимости Веб – страница
примет вид
max |g(x) ? g ? DN (x)| > 0 .
N >?
x?[?K,K] Титульный лист

Воспользуемся неравенством

v
|g ? DN (x)|2 dx .
g ? g ? DN |g(x) ? g ? DN (x)| +
2K max
x?[?K,K]
|x|>K


Напомним, что
Страница 121 из 127
b
2
sin N (x ? t)
1
2
|g ? DN (x)| dx = dx g(t) dt Назад
x?t
?
a
|x|>K |x|>K

Полный экран
и в силу неравенства Минковского

b b
2 Закрыть
sin2 N (x ? t)
sin N (x ? t)
1 1
dt |g(t)|
dx g(t) dt dx
(x ? t)2
x?t
? ?
a a
|x|>K |x|>K Выход
Интеграл по x в правой части неравенства сходится равномерно относительно N
и t ? [a, b] и, если K достаточно велико, может быть сделан сколь угодно малым
независимо от N . Пусть ? > 0 произвольно. Согласно сделанной оценке можно
выбрать K столь большим, что независимо от N
Ряды Фурье
?
|g ? DN (x)|2 dx < , Интегралы Фурье
2
Предметный указатель
|x|>K
Литература
Фиксировав K, выберем N столь большим, чтобы
v ? Веб – страница
|g(x) ? g ? DN (x)| <
2K max ,
2
x?[?K,K]

Титульный лист
откуда заключаем, что при N > ? для финитной гладкой функции g

g ? g ? DN > 0 .

Пусть теперь f — финитная непрерывная функция. Мы можем аппроксимировать
ее равномерно финитной гладкой функцией, см. пункт 6. В силу финитности отсюда
вытекает, что функция f может быть аппроксимирована финитной гладкой функцией
g (с любой степенью точности) в среднеквадратичном. Фиксируем ? > 0 и пусть Страница 122 из 127
?
f ?g < .
3 Назад

Заметим, что в силу неравенства треугольника
Полный экран
f ? f ? DN f ? g + g ? g ? DN + g ? DN ? f ? DN .

Выберем N столь большим, чтобы Закрыть

?
g ? g ? DN .
3 Выход
Заметим далее, что

g ? DN ? f ? DN = h ? DN = F ? ?N F h, , h=g?f,

и в силу леммы A.2
Ряды Фурье
?
F ?N F h = ?N F h Fh = h . Интегралы Фурье
Предметный указатель
(здесь лемма была использована в обоих равенствах). Как следствие Литература

f ? f ? DN < ? ,
Веб – страница
т.е.
f ? f ? DN > 0.
Титульный лист
N >?

Полученное соотношение будет выполняться и для кусочно непрерывных финит-
ных функций, т.к. такие функции могут быть аппроксимированы в среднеквадра-
тичном с любой степенью точности непрерывными финитными функциями, после
чего предыдущая аргументация повторяется дословно.
Пусть, наконец, f (x) — кусочно непрерывная квадратично интегрируемая функ-
ция. Заметим, что опять с использованием леммы A.2
Страница 123 из 127
B +?
2 2
f (t)DN (x ? t) dt f (t)DN (x ? t) dt
dx dx Назад
??
A K |t| L K |t| L

= F ? ?N F (?L f ? ?K f ) = ?N F (?L f ? ?K f ) F (?L f ? ?K f ) Полный экран


|f (x)|2 dx .
= ?L f ? ?K f =
Закрыть
K |x| L

Выход
Переходя к пределу по L при L > ? получаем
B
2
|f (x)|2 dx .
f (t)DN (x ? t) dt
dx
A K |t| K |x|
Ряды Фурье

Отсюда Интегралы Фурье
+? Предметный указатель
2
|f (x)|2 dx .
f (t)DN (x ? t) dt
dx Литература

?? K |t| K |x|
Веб – страница
Тогда
f ? ?K f + ?K f ? F ? ?N F ?K f + F ? ?N F ?K f ? F ? ?N F f ,
f ? f ? DN
Титульный лист
т.е.
+? +?
2
|f (x)|2 dx
dx f (x) ? f (t)DN (x ? t) dt
?? ?? K |x|

+? +K +?
2 2 Страница 124 из 127
dx ?K f (x) ? f (t)DN (x ? t) dt f (t)DN (x ? t) dt .
+ + dx
?? ??
?K K |t|
Назад
В этом неравенстве справа первое и третье слагаемые могут быть сделаны сколь
угодно малыми при достаточно большом K независимо от N . Среднее слагаемое Полный экран
при фиксированном K может быть сделано сколь угодно малым за счет выбора
достаточно большого N (функция ?K f является финитной). Таким образом, и в
этом случае Закрыть
f ? f ? DN > 0.
N >?
Выход
Предметный указатель
вариационный принцип, 70 оператор Штурма–Лиувилля
Ряды Фурье
регулярный, 66
Интегралы Фурье
граничные условия, 61 ортогональность векторов, 16
Предметный указатель
ортонормированная система, 16
задача Штурма–Лиувилля, 66 Литература
замкнутость, 38
регулярная, 66
полнота, 37
Веб – страница
интеграл Фурье, 77 1
плотность C в C, 28
преобразование Фурье, 77, 80
коэффициенты Фурье, 23 Титульный лист
обратное, 89
в задаче Штурма–Лиувилля, 68
пространство Шварца, 94
вектора, 17
тригонометрические, 14
равенство Парсеваля, 23, 37, 118
краевые условия, 61
для интеграла Фурье, 95
однородные, 61
ряд Фурье
в задаче Штурма–Лиувилля, 69
лемма Римана–Лебега, 19, 30
тригонометрический, 15, 48 Страница 125 из 127
минимизирующее свойство коэффици-
свертка
ентов Фурье, 19
на оси, 97 Назад

периодическая, 24
неравенство
скалярное произведение, 15, 22, 48
Бесселя, 18, 23 Полный экран
Минковского(интегральное), 117
теорема
Шварца, 16
Дирихле, 34, 35, 39 Закрыть
норма вектора, 16
Пифагора, 17
оператор Фурье, 80 Фурье, 77, 86 Выход
унитарность оператора, 95
уравнение замкнутости, 23
условия Дирихле, 64
условия Неймана, 64
Ряды Фурье
функция Хевисайда, 110
Интегралы Фурье
частотный спектр, 112 Предметный указатель
Литература
Штурма–Лиувилля
задача, 64
Веб – страница
оператор, 64

явление Гиббса, 40 Титульный лист
ядро Дирихле, 33
для интеграла Фурье, 83




Страница 126 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
Список литературы
[1] Бари Н.К. Тригонометрические ряды. ФМ, М., 1961.
[2] Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его применения. ФМ, М., 1963.
Ряды Фурье
[3] Джексон Д. Ряды Фурье и ортогональные полиномы. ИЛ, М., 1948. Интегралы Фурье
Предметный указатель
[4] Дороговцев А.Я. Математический анализ. Вища школа, Киев, 1985.
Литература
[5] Зигмунд К. Тригонометрические ряды, т.1–2. Мир, М., 1965.
Веб – страница

<< Предыдущая

стр. 20
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>