<< Предыдущая

стр. 3
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2?
0
Веб – страница
2?
1
(2.2)
a0 = f (x) dx ,
? Титульный лист
0
2?
1
n ? N, (2.3)
an = f (x) cos nx dx ,
?
0
2?
1
n ? N, (2.4)
bn = f (x) sin nx dx ,
?
Страница 14 из 127
0

см., также, замечание 1.5. Эти коэффициенты называются коэффициентами Фурье
функции f (x). Формулы перехода между комплексными и вещественными коэффи- Назад
циентами определяется равенствами
a0 Полный экран
(2.5)
c0 =
,
2
an ? ibn an + ibn
, n ? N, (2.6) Закрыть
cn = , c?n =
2 2
an = cn + c?n , bn = i(cn ? c?n ) , n ? N . (2.7)
Выход
(Отметим отличие от предыдущей нормировки при n = 0).
Сопоставим функции f (x) тригонометрический ряд
? ?
a0
inx
f (x) ? x ? R.
cn e = + (an cos nx + bn sin nx) ,
2
n=?? n=1 Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Он называется [тригонометрическим] рядом Фурье функции f .
Предметный указатель
Что можно сказать о сходимости этого ряда? Если ряд сходится, что собой пред-
ставляет его сумма, какое отношение она имеет к функции f ? Что будет происходить Литература
со всеми этими соотношениями, если функцию f выбирать более гладкой или, на-
оборот, менее гладкой? Веб – страница
Таковы, в общих чертах, вопросы, которые нас будут интересовать в дальнейшем.
Однако для ответов на поставленные вопросы полезно сделать маленький
Титульный лист


2.2. Экскурс в теорию унитарных пространств
Напомним, что унитарное пространство — это комплексное векторное пространство
V со скалярным произведением a|b , a, b ? V . Напомним свойства комплексного
скалярного произведения:
1. ?a + µb|c = ? a|c + µ b|c ,
Страница 15 из 127

2. b|a = a|b ,
Назад
3. a|a 0,
4. a|a = 0 ?? a = 0 .
Полный экран
Заметим, что
a|?b + µc = ? a|b + µ a|c . Закрыть
Неотрицательное число
a= a|a Выход
называется [эрмитовой] нормой вектора a. Как и всякая норма, эрмитова удовле-
творяет свойствам
1. ?a = |?| a ,
2. a + b a+b, Ряды Фурье
Интегралы Фурье
3. a = 0 ?? a = 0 .
Предметный указатель
Теорема 2.1 (Неравенство Шварца). Литература

| a|b | a·b.
Веб – страница
Доказательство. Положим ? = ? arg a|b , так что a|b = | a|b |e?i? . Тогда ?x ? R

xei? a + b|xei? a + b = x2 a|a + xei? a|b + xe?i? b|a + b|b Титульный лист

= x2 a 2 2
+ 2x| a|b | + b 0,

откуда (условие неотрицательности дискриминанта) и вытекает неравенство Швар-
ца.
Функция
d(a, b) = a ? b
Страница 16 из 127
имеет смысл [эрмитова] расстояния между векторами a и b.
Векторы a и b называются ортогональными, если их скалярное произведение
Назад
равно нулю:
a ? b ?? a|b = 0 .
Полный экран
Последовательность векторов e1 , e2 , . . . называется ортонормированной, если эти
векторы взаимно ортогональны и имеют длину равную единице:
Закрыть
0, m = n,
em |en = ?mn =
1, m = n. Выход
Для произвольного вектора a ? V числа

cn (a) = a|en

называются коэффициентами Фурье вектора a относительно ортонормированной
системы (en ). Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Теорема 2.2 (О проекции). Пусть a — произвольный вектор из V . Положим Предметный указатель
Литература
n
b= ck ek ,
k=1 Веб – страница

где ck = ck (a) — коэффициенты Фурье вектора a относительно ортонормиро-
ванной системы (ek ). Тогда Титульный лист
a ? b ? b.
Доказательство. Заметим, что при k n

ck (b) = ck (a) ,

так что при k n
Страница 17 из 127
a ? b|ek = a|ek ? b|ek = ck ? ck = 0 .

Тогда Назад
n n
a ? b|b = a ? b| ck a ? b|ek = 0 .
ck ek =
Полный экран
k=1 k=1


Закрыть
Напомним теорему Пифагора

Выход
Теорема 2.3 (Пифагор).
2 2 2
a?b ? a+b =a +b .

Доказательство.
Ряды Фурье
2 2 2
a+b = a + b|a + b = a|a + a|b + b|a + b|b = a +b . Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература

Следствие 2.4. Если (ek ) — ортонормированная система, то
Веб – страница
n n
2
|ck |2 .
ck ek =
Титульный лист
k=1 k=1

Доказательство. Достаточно (n ? 1) раз применить теорему Пифагора и учесть,
что ck ek = |ck | ek = |ck | .
Теорема 2.5 (Неравенство Бесселя). Пусть ck = ck (a) — последовательность
коэффициентов Фурье произвольного вектора a относительно некоторой орто-
нормированной системы векторов (ek ). Тогда
Страница 18 из 127
?
|ck |2 2
a .
Назад
k=1

n
ck ek . Тогда в силу a = (a ? b) + b и теорем 2.2
Доказательство. Пусть b = Полный экран
k=1
и 2.3
2 2 2 Закрыть
= a?b
a +b ,

Выход
2
a 2 , или что то же
Откуда b
n
|ck |2 2
a .
k=1
Ряды Фурье
Последнее неравенство в силу произвольности n (и положительности членов ряда)
Интегралы Фурье
приводит к утверждению теоремы.
Предметный указатель
Следствие 2.6 (лемма Римана-Лебега). Пусть a — произвольный вектор и cn (a) Литература
— соответствующие коэффициенты Фурье относительно произвольной орто-
нормированной системы (en ). Тогда Веб – страница

cn (a) > 0 .
n>?
Титульный лист
Доказательство. Применить необходимый признак сходимости ряда.
Следующая теорема устанавливает основное геометрическое свойство коэффи-
циентов Фурье.
Теорема 2.7 (Минимизирующее свойство коэффициентов Фурье). Пусть
e1 , . . . en — произвольная ортонормированная система и a — произвольный век-
тор из V . Функция Страница 19 из 127

n
?(?1 , . . . ?n ) = a ? ? 1 , . . . ?n ? C ,
?k ek , Назад
k=1

достигает своего наименьшего значения при условии Полный экран


?1 = c1 (a) , . . . ?n = cn (a) ,
Закрыть
т.е. на коэффициентах Фурье вектора a относительно данной ортонормирован-
ной системы. Выход
n
ck ek . Вектор a ? b
Доказательство. Положим ck = ck (a) , k = 1, . . . n и b =
k=1
ортогонален векторам ek при 1 n. Тогда по теореме Пифагора
k
n n n
2 2 2
|?k ? ck |2 .
a? = a?b? (?k ? ck )ek = a?b
?k ek + Ряды Фурье
k=1 k=1 k=1 Интегралы Фурье

Наименьшее значение, очевидно, достигается, если ?k = ck , k = 1, . . . n: Предметный указатель
Литература
n n
2 2 2
a? ? |ck | , (2.8)
min ?k ek =a
?1 ,...?n
k=1 k=1 Веб – страница
где мы воспользовались равенством
n Титульный лист
2 2 2 2
|ck |2 .
a?b ?b ?
=a =a
k=1

Но наименьшее значение величины ? и наименьшее значение величины ?2 дости-
гаются одновременно.
Геометрический смысл теоремы вполне прозрачен, см. рис. 1. Рассмотренную
задачу можно охарактеризовать как задачу об аппроксимации вектора a линейными
Страница 20 из 127
комбинациями фиксированной ортонормированной системы векторов e1 , . . . en :
n
a? ?k ek . Назад
k=1

Наилучшая (в смысле эрмитовой нормы) аппроксимация получается на коэффици- Полный экран
ентах Фурье. Заметим, также, что расширение ортонормированной системы (т.е.
увеличение n) может привести только к улучшению аппроксимации (т.е. уменьше-
Закрыть
нию ?):
(2.9)

<< Предыдущая

стр. 3
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>