<< Предыдущая

стр. 4
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?(c1 , . . . cn , cn+1 ) ?(c1 , . . . cn , 0) = ?(c1 , . . . cn ) .
Выход
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
?
>
a
Веб – страница



Титульный лист




?
>
e2



?1 ? + ?2 ?
> >
e1 e2 Страница 21 из 127



Назад
c1 ? + c2 ?
> >
e1 e2
?
>
e1
Полный экран

Рис. 1: Перпендикуляр — наименьшее расстояние до подпространства
Закрыть



Выход
2.3. Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2??периодических
функций
Очевидно, пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с пери-
одом 2? функций является комплексным векторным пространством: такие функции
Ряды Фурье
можно складывать и умножать на комплексные числа не выходя за рамки этого мно-
жества функций. Превратим это пространство в унитарное, введя в нем скалярное Интегралы Фурье

произведение Предметный указатель
2? Литература
1
f |g = (2.10)
f (x)g(x) dx .
2?
0 Веб – страница

Свойства 1)–3) скалярного произведения очевидны. Четвертое свойство является
следствием непрерывности рассматриваемых функций. Действительно, если Титульный лист

2?
1
2
|f (x)|2 dx = 0 ,
f =
2?
0

то f (x) ? 0 именно благодаря своей непрерывности. 6
Обозначим это унитарное пространство [комплекснозначных] непрерывных пе-
Страница 22 из 127
риодических с периодом 2? функций через C2? . Через en , n ? Z, будем обозначать
функции x > einx . Покажем, что функции en образуют ортонормированную систему
в C2? . Назад
2? 2?
1 1
einx e?imx dx = ei(n?m)x dx = ?nm ,
en |em =
2? 2? Полный экран
0 0

см. (1.2).
Закрыть
6 Для разрывных функций такого заключения сделать уже нельзя

Выход
Если f — произвольная непрерывная периодическая с периодом 2? функция, то
ее коэффициенты Фурье относительно ортонормированной системы (en ) равны
2?
1
f (x)e?inx dx . (2.11)
cn (f ) =
2? Ряды Фурье
0
Интегралы Фурье

Заметим, что в силу леммы Римана-Лебега Предметный указатель
Литература
2?

f (x)einx dx > 0 .
Веб – страница
n>?
0

Неравенство Бесселя принимает вид Титульный лист

2?
+?
1
|cn |2 |f (x)|2 dx ,
2?
n=?? 0

где cn = cn (f ) и
2?
1
2
|f (x)|2 dx , Страница 23 из 127
f =
2?
0
Назад
Далее мы покажем, что для f ? C2? неравенство Бесселя превращается в равен-
ство
2?
+? Полный экран
1
|cn |2 = 2
|f (x)| dx
2?
n=?? 0
Закрыть
и называется равенством Парсеваля или уравнением замкнутости.
Выход
Функции вида
n
?k eikx
Tn (x) =
k=?n

называются тригонометрическими полиномами. Среди всех тригонометрических по-
Ряды Фурье
линомов степени не выше n наилучшей аппроксимацией (в смысле среднеквадра-
Интегралы Фурье
тичной нормы) функции f (x) является частичная сумма ряда Фурье этой функции
Предметный указатель
n Литература
ck (f )eikx .
f (x) ?
k=?n
Веб – страница

2.4. Свертка периодических функций
Титульный лист
Определение 2.8. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с пе-
риодом 2? функции. Их сверткой f ? g называется функция
2?
1
f ? g (x) = f (t)g(x ? t) dt , x ? R.
2?
0

Очевидно, свертка f ? g — периодическая с периодом 2? и непрерывная функция: Страница 24 из 127

2? 2?
1 1 Назад
f ? g (x + 2?) = f (t)g(x + 2? ? t) dt = f (t)g(x ? t) dt = f ? g (x) ,
2? 2?
0 0
Полный экран
поскольку g периодична. Чтобы показать непрерывность, заметим, что g — равно-
мерно непрерывна, т.е.
Закрыть

?? > 0 ?? > 0 : |x2 ? x1 | < ? ? |g(x2 ) ? g(x1 )| < ? .
Выход
?
где M = max |f (t)|. Тогда при
Фиксируем ? > 0 и выберем такое ? по числу M, 0 t 2?
|x ? x0 | < ?
2?
1
|f ? g (x) ? f ? g (x0 )| = f (t)[g(x ? t) ? g(x0 ? t)] dt Ряды Фурье
2?
0 Интегралы Фурье
2? Предметный указатель
1
|f (t)||g(x ? t) ? g(x0 ? t)| dt Литература
2?
0
2? Веб – страница
? 1 ?
· |f (t)| dt · M = ?.
M 2? M
0 Титульный лист

Теорема 2.9. Пусть f — периодическая с периодом 2? и непрерывная функ-
ция. Если функция g является непрерывно дифференцируемой периодической с
периодом 2?, то свертка f ? g также является непрерывно дифференцируемой
периодической с периодом 2? и
2?
1
(f ? g) (x) = f (t)g (x ? t) dt . Страница 25 из 127
2?
0

Назад
Доказательство. Следствие теоремы о дифференцировании интеграла по парамет-
ру: в данном случае частная производная подынтегральной функции
Полный экран
?
[f (t)g(x ? t)] = f (t)g (x ? t)
?x
Закрыть
является непрерывной функцией обеих переменных.
Выход
Следствие 2.10. Если g непрерывно дифференцируема k раз, то свертка f ? g (где
f — непрерывна) — тоже k раз непрерывно дифференцируема и

(f ? g)(k) = f ? g (k) .

Интересны также следующие свойства свертки. Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Теорема 2.11. Свертка функций является билинейной, коммутативной и ассо- Предметный указатель
циативной операцией, т.е. Литература

1. (?f + µg) ? h = ?f ? h + µg ? h ,
Веб – страница
2. f ? g = g ? f ,
3. f ? (g ? h) = (f ? g) ? h . Титульный лист

Доказательство. Линейность по первому аргументу очевидна в силу линейности
интеграла. Линейность по второму аргументу может быть установлена аналогично,
но она также является следствием коммутативности. Докажем коммутативность.

2?
1
f ? g (x) = f (t)g(x ? t) dt = [x ? t = u, dt = ?du]
2? Страница 26 из 127
0
x?2? x
1 1 Назад
=? f (x ? u)g(u) du = g(u)f (x ? u) du
2? 2?
x x?2?
2? Полный экран
1
g(u)f (x ? u) du = g ? f (x) .
=
2?
Закрыть
0



Выход
Докажем теперь ассоциативность.

2? 2? 2?
1 1
(f ? g) ? h (x) = f ? g (t)h(x ? t) dt = f (s)g(t ? s)h(x ? t) dsdt
4? 2
2?
0 0 0 Ряды Фурье
2? 2??s 2? 2?

<< Предыдущая

стр. 4
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>