<< Предыдущая

стр. 5
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Интегралы Фурье
1 1
g(u)h(x ? s ? u) du = g(u)h(x ? s ? u) du
= ds f (s) ds f (s) Предметный указатель
4? 2 4? 2
?s
0 0 0 Литература
2?
1
f (s)g ? h (x ? s) ds = f ? (g ? h) (x) .
= Веб – страница
2?
0

Титульный лист


Для приложений важность понятия свертки определяется следующим свойством,
которое также объясняет свойства, описанные в предыдущей теореме.
Теорема 2.12. Пусть f и g — произвольные непрерывные периодические с перио-
дом 2? функции. Тогда
cn (f ? g) = cn (f ) · cn (g) ,
Страница 27 из 127
где cn — коэффициент Фурье соответствующей функции относительно орто-
нормированной системы экспонент en .
Назад
Доказательство. Заметим, сначала, что
2? 2?
Полный экран
1 1 ?int
f (t)ein(x?t) dt = einx
f ? en (x) = f (t)e dt = cn (f )en (x) ,
2? 2?
0 0 Закрыть
так что
f ? en = cn (f )en . (2.12) Выход
Тогда

cn (f ?g) = (f ?g)?en (0) = f ?(g?en ) (0) = f ?[cn (g)en ] (0) = cn (g)f ?en (0) = cn (g)cn (f ) .


Ряды Фурье
В приложениях отображение f > f ? g описывает прохождение сигнала f через Интегралы Фурье
фильтр g. В результате амплитуда cn (f ) n-ой гармоники сигнала умножается на Предметный указатель
cn (g). Заметим, что в силу теоремы Римана-Лебега, не может существовать идеаль- Литература
ного фильтра, не искажающего сигнал:

?g : f ?g =f. Веб – страница


Но вернемся к теореме 2.9. Она позволяет установить одно важное для дальней-
Титульный лист
шего свойство.
1
Обозначим через C2? множество непрерывно дифференцируемых периодических
с периодом 2? функций. Это подмножество в C2? .
1 1
Теорема 2.13 (Плотность C2? в C2? ). Множество функций C2? плотно в C2? ,
1
т.е. ?f ? C2? и ?? > 0 ?g ? C2? :
def
f ?g max |f (x) ? g(x)| < ? .
= Страница 28 из 127
?
0 x 2?


Назад
Доказательство. Функция f — равномерно непрерывна и, следовательно, для

?? > 0 ?? > 0 : |x2 ? x1 | < ? ? |f (x2 ) ? f (x1 )| < ? . Полный экран

1
Пусть ? > 0 фиксировано и ? найдено. Возьмем произвольно функцию ? ? C2? ,
удовлетворяющую следующим условиям: Закрыть


1. ?(x) 0,
Выход
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература


Веб – страница

0
?2? 2?
?
Титульный лист




Рис. 2: Сглаживающая функция



2. ? — четная функция,
Страница 29 из 127
3. ?(x) = 0 при x ? [?, ?] ,
Назад
2?
1
4. ?(x) dx = 1 ,
2?
0
Полный экран
см. рис. 2.
Подобрать такую функцию нетрудно. Например, можно взять функцию k(cos ?x +?
1), ограничить ее сначала на интервал (??, ?), затем продолжить нулем на оставшу- Закрыть
юся часть интервала [??, ?] и далее продолжить периодически на всю ось. Константу
k следует выбрать так, чтобы выполнялось условие нормировки (4). Выход
Мы покажем (со ссылкой на теорему 2.9), что свертка f ? ? годится на роль
функции g. Заметим прежде всего, что в силу четности и периодичности,
2? 2? 2?
1 1 1
?(x ? t) dt = 1 .
?(t) dt = ?(?t) dt =
2? 2? 2? Ряды Фурье
0 0 0
Интегралы Фурье
Тогда, Предметный указатель
Литература
2? 2?
1 1
|f (x) ? g(x)| = f (x) ?(x ? t) dt ? f (t)?(x ? t) dt Веб – страница
2? 2?
0 0
2?
1 1 Титульный лист
|f (x) ? f (t)|?(x ? t) dt = |f (x) ? f (t)|?(x ? t) dt
2? 2?
0 |x?t| ?
?
?(x ? t) dt = ? .
2?
|x?t| ?



Страница 30 из 127

2.5. Сходимость рядов Фурье
Назад
Далее нам понадобится чуть более общий вариант леммы Римана-Лебега.

Теорема 2.14 (Лемма Римана-Лебега). Если f — непрерывная функция на [a, b], Полный экран
то
b
Закрыть
f (x)ei?x dx > 0 .
?>?
a
Выход
Доказательство 1. Рассмотрим сначала непрерывно дифференцируемую на [a, b]
функцию g. Тогда
b b b
ei?x g(b)ei?b g(a)ei?a 1
g(x)ei?x dx = g (x)ei?x dx > 0 .
? ?
g(x)d =
i? i? i? i? ?>? Ряды Фурье
a a a
Интегралы Фурье

Фиксируем произвольно ? > 0. Функция f может быть равномерно аппроксимиро- Предметный указатель
вана непрерывно дифференцируемой функцией g. Литература
Например, можно использовать конструкцию типа f ? ?. Именно, продолжим f непрерывно на всю ось так, чтобы
вне интервала [a ? 1, b + 1] она обращалась в ноль (например, можно соединить прямыми точки (a, f (a)) и (a ? 1, 0) с
одной стороны и точки (b, f (b)) и (b + 1, 0) с другой, а далее считать функцию f нулем. Такая продолженная функция Веб – страница
f равномерно непрерывна и, фиксировав произвольно ? > 0, можно выбрать ? > 0 такое, что |x2 ? x1 | < ? ?
|f (x2 )?f (x1 )| < ?. Выберем далее функцию ?(x) так, чтобы она была положительной непрерывно дифференцируемой
+?
четной функцией равной нулю при |x| > ? и такой, чтобы ?? ?(x) dx = 1 . Разумеется, последний интеграл не
Титульный лист
является несобственным, в действительности интегрирование ведется только по интервалу [??, ?]. Составим далее
свертку
+?

f (t)?(x ? t) dt ,
g(x) =
??

где под f понимается продолженная функция. Заметим, что

+? +? +?

?(x ? t) dt = 1
?(t) dt = ?(?t) dt =
Страница 31 из 127
?? ?? ??


и, как и ранее (в периодическом случае), получаем оценку |f (x) ? g(x)| < ? для всех x, в частности, для исходной
функции f , если a x b. Назад
?
Выберем g так, чтобы f ? g = max |f (x) ? g(x)| < . Пусть, далее, ?
?
2(b ? a)
axb
таково, что Полный экран
b
?
g(x)ei?x dx .
2 Закрыть
a


Выход
Тогда
b b b
?
f (x)ei?x dx (f (x)?g(x))ei?x dx + g(x)ei?x dx (b?a) f ?g ?+ = ?.
2
a a a
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Доказательство 2. Будем считать, что f продолжена непрерывно как константа за
границы [a, b]. Литература

b b+h b+h
Веб – страница
f (t ? h)ei?(t?h) dt = e?i?h
f (x)ei?x dx = f (t ? h)ei?t dt .
a a+h a+h
Титульный лист
?
Выберем h = . Тогда
?
b b+h

f (x)ei?x dx = ? f (t ? h)ei?t dt .
a a+h

b Страница 32 из 127
f (x)ei?x dx и используя аддитив-
Прибавляя к обеим частям равенства интеграл
a
ность интеграла, находим
Назад
b b a b+h

f (x)ei?x dx = [f (t) ? f (t ? h)]ei?t dt ? f (t ? h)ei?t dt ? f (t ? h)ei?t dt .
2 Полный экран
a a a+h b

Первый интеграл справа мал при ? > ? в связи с равномерной непрерывностью Закрыть
функции f . Малость двух остальных — тривиальна: они оцениваются через M |h|,
где M — наибольшее значение модуля функции f на интервале. Выход
Теперь, чтобы сформулировать основную теорему о сходимости, нам потребуется
провести одно предварительное вычисление.
Определение 2.15. Ядром Дирихле называется функция
n
Ряды Фурье
eikx .
Dn (x) = Интегралы Фурье
k=?n
Предметный указатель

Лемма 2.16. Ядро Дирихле Dn является непрерывной периодической с периодом Литература
2? четной функцией равной
Веб – страница
sin (2n+1)x
2
Dn (x) = ,
sin x
2 Титульный лист

<< Предыдущая

стр. 5
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>