<< Предыдущая

стр. 6
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

причем
2?
1
(2.13)
Dn (x) dx = 1 .
2?
0

Доказательство.
Страница 33 из 127
n 2n i(2n+1)x
?inx 1 ? e
?inx
eikx ix j
Dn (x) = =e (e ) = e
1 ? eix
j=0
k=?n Назад
sin (2n+1)x
i 2n+1 x ?i 2n+1 x i 2n+1 x
?e
e e
2 2 2
= e?inx 2
· = ,
x
ix
? ix ix
sin 2
?e2
e e
2 2 Полный экран

откуда вытекает, также, свойство четности. Равенство (2.13) вытекает из (1.2).
Закрыть
Ядро Дирихле замечательно тем, что частичная сумма Фурье функции f являет-
ся сверткой функции f с ядром Дирихле, как сразу следует из (2.12) и билинейности
Выход
свертки
n n n
f ? Dn = f ? f ? ek =
ek = ck (f )ek .
k=?n k=?n k=?n

Теорема 2.17 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и пери-
Ряды Фурье
одична с периодом 2?, то ряд Фурье сходится к функции f поточечно:
Интегралы Фурье
2? Предметный указатель
+?
1 ?inx
1 inx
f? ? x ? R,
C2? f (x) = cn e , cn = f (x)e dx . Литература
2?
n=?? 0
Веб – страница
Доказательство.
2? 2?
1 1 Титульный лист
f (x) ? f ? Dn (x) = f (x) Dn (x ? t) dt ? f (t)Dn (x ? t) dt
2? 2?
0 0
2?
1
[f (x) ? f (t)]Dn (x ? t) dt
=
2?
0
2?
f (x) ? f (t) x ? t (2n + 1)(x ? t)
1
· x?t · sin dt > 0 .
= Страница 34 из 127
x?t
2? 2
sin 2 n>+?
0

Назад
Последнее вытекает из леммы Римана-Лебега и непрерывности (по t) функций
1
f (x) ? f (t) Полный экран
f (t + (x ? t)?) d?
=
x?t
0
Закрыть
и
x?t
sin x?t Выход
2
(элементарно).


Теорема 2.18 (Дирихле). Если функция f непрерывно дифференцируема и пери-
одична с периодом 2?, то ряд Фурье сходится к функции f равномерно.
Ряды Фурье
Доказательство. Здесь все дело в скорости убывания коэффициентов Фурье. Пусть Интегралы Фурье
1
f ? C2? . Тогда Предметный указатель
Литература
2? 2? 2?
?inx
1 1 e 1 cn (f )
f (x)e?inx dx = f (x)e?inx dx =
cn (f ) = f (x) d = .
?in
2? 2? 2?in in Веб – страница
0 0 0

Но
Титульный лист
cn (f ) 11
+ |cn (f )|2 .
|cn (f )|
2 n2
n
+?
|cn (f )|2 сходится. Также сходится и ряд
В силу неравенства Бесселя, ряд
n=??
+?
1
|cn (f )| . В силу теоремы 1.4,
. И тогда заключаем, что сходится ряд
n2 n=??
n=0 Страница 35 из 127
ряд Фурье функции f сходится к своей сумме равномерно. Но в силу предыдущей
теоремы, его суммой является функция f (x).
Назад
Теорема 2.19 (Основная). Если функция f непрерывна и периодична с периодом
2?, то ряд Фурье сходится к функции f в среднеквадратичном, т.е.
Полный экран
n
f? > 0,
cn en
n>? Закрыть
k=?n


Выход
где

en (x) = einx ,
2?
1
f (x)e?inx dx ,
cn =
2? Ряды Фурье
0 Интегралы Фурье
2? Предметный указатель
1
|f (x)|2 dx .
f= Литература
2?
0
Веб – страница
Доказательство. Фиксируем произвольно ? > 0. Аппроксимируем функцию f рав-
?
1
номерно функцией g ? C2? так, чтобы f ? g ? < . В силу теоремы Дирихле, если
2 Титульный лист
n
?
n достаточно велико g ? . Из этих оценок и минимизирующего
ck (g)ek ?
2
k=?n
свойства коэффициентов Фурье находим
n n n
f? f? f ?g + g?
ck (f )ek ck (g)ek ck (g)ek
k=?n k=?n k=?n
Страница 36 из 127
n
??
f ?g + g? ck (g)ek = + = ?.
? ?
22
k=?n Назад



Полный экран
Замечание 2.20. Этот же результат может быть получен как следствие плотности
тригонометрических полиномов в C2? (теорема Стоуна – Вейершрасса). Аналогич-
ный конструктивный подход основан на теореме Фейера, где тригонометрический Закрыть
полином, являющийся равномерным приближением данной непрерывной функции,
строится явно (как среднее арифметическое частичных сумм Фурье). Выход
Следствие 2.21 (Равенство Парсеваля). Если функция f непрерывна и периодич-
на с периодом 2?, то
2?
+?
1
|cn |2 = |f (x)|2 dx ,
2?
n=?? 0 Ряды Фурье
где cn = cn (f ). Интегралы Фурье
Предметный указатель
Доказательство. Воспользуемся (2.8):
Литература
n n
2 2
|ck |2 .
f? ?
ck ek =f
Веб – страница
k=?n k=?n

По доказанному в теореме, левая часть стремится к нулю. Значит, стремится к нулю
и правая, что ведет к равенству Парсеваля. Титульный лист

Вещественная форма равенства Парсеваля имеет вид
2?
?
|a0 |2 1 1
(|an |2 + |bn |2 ) = |f (x)|2 dx ,
+
4 2 n=1 2?
0

так как из формул (2.6) следует
Страница 37 из 127
2 2
|an | + |bn |
|cn |2 + |c?n |2 = n ? N.
,
2 Назад

2.6. Понятие о полноте и замкнутости ортонормированной си-
Полный экран
стемы
Вернемся к абстрактным обозначениям. Пусть e1 , e2 , . . . — ортонормированная си-
Закрыть
стема в унитарном пространстве V . Она называется полной, если
a ? en ?
(?n) a = 0. Выход
(Полнота понимается в том смысле, что систему нельзя расширить, добавляя к ней
новые векторы). Она называется замкнутой , если
?
2
|cn (a)|2 ,
?a ? V : a =
n=1 Ряды Фурье
Интегралы Фурье
т.е. для произвольного вектора выполнено равенство Парсеваля (уравнение замкну-
Предметный указатель
тости). Как мы знаем, замкнутость означает возможность аппроксимировать (в
Литература
смысле эрмитовой нормы) произвольный вектор a частичными суммами Фурье с
любой степенью точности, т.е.
Веб – страница
n
?a ? V : a? > 0.
ck (a)ek
n>?
k=1 Титульный лист

Легко видеть, что полнота ортонормированной системы является следствием ее
замкнутости. Действительно, если вектор ортогонален всем векторам замкнутой си-
стемы, то в силу уравнения замкнутости, норма такого вектора равна нулю, а, сле-
довательно, и сам вектор равен нулю.
Можно показать (методами теории гильбертовых пространств), что в действи-
тельности понятия замкнутости и полноты равносильны.
Страница 38 из 127
В предыдущем пункте было, таким образом, доказано, что система экспонент
en (x) = einx (n ? Z) является полной и замкнутой системой в унитарном простран-
стве непрерывных периодических с периодом 2? функций. Назад

<< Предыдущая

стр. 6
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>