<< Предыдущая

стр. 7
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


2.7. Замечания по поводу сходимости Полный экран

Следует заметить, что ряд Фурье просто непрерывной (периодической) функции, не
обладающей каким-либо дополнительным свойством гладкости, может расходится в Закрыть
бесконечном (даже — несчетном) множестве точек, см. [1]. Если функцию еще ухуд-
шить, но так, что она останется интегрируемой по Лебегу, ряд Фурье вообще может
Выход
расходится всюду, см. [5]. Эти примеры говорят о том, что вопрос о поточечной
сходимости рядов Фурье является неадекватным. Тем не менее отметим, что если
функция непрерывна и имеет на периоде ограниченную вариацию (то есть является
разностью двух монотонных функций), то поточечная сходимость имеет место.
Со сходимостью в среднеквадратичном дела обстоят намного лучше. Например,
Ряды Фурье
если функция f интегрируема и интеграл
Интегралы Фурье
2? Предметный указатель

|f (x)|2 dx Литература

0
Веб – страница
существует как несобственный с конечным числом особенностей, то ряд Фурье
функции f сходится к ней в среднеквадратичном. Принципиальным здесь яв-
Титульный лист
ляется тот факт, что любую такую функцию с любой степенью точности мож-
но в среднеквадратичном аппроксимировать непрерывной функцией. Действитель-
но, пусть ? > 0 фиксировано и g — непрерывная периодическая с периодом 2?
функция, являющаяся аппроксимацией функции f в среднеквадратичном, так что
?
f ?g . Возьмем достаточно длинный отрезок ряда Фурье функции g так,
2
n
?
чтобы g ? . Тогда
ck (g)ek
2 Страница 39 из 127
k=?n

n n n
f? f? f ?g + g?
ck (f )ek ck (g)ek ck (g)ek ?. Назад
k=?n k=?n k=?n

Полный экран
Может все-таки вызвать некоторый интерес следующий вопрос. Пусть функция
гладкая, за исключением нескольких точек (на периоде), где она имеет скачки. Как
ведет себя ряд Фурье в точках разрыва? (В среднеквадратичном ряд, конечно, схо- Закрыть
дится). Имеет место следующая теорема
Выход
Теорема 2.22 (Дирихле). Пусть функция f кусочно непрерывно дифференцируе-
ма и периодична с периодом 2?. Тогда ряд Фурье при ?x сходится к
f (x ? 0) + f (x + 0)
,
2
Ряды Фурье
т.е. в точке непрерывности ряд Фурье сходится к значению функции, а в точке
Интегралы Фурье
разрыва — к полусумме предельных значений.
Предметный указатель
Напомним, что кусочная непрерывность 2?-периодической функции означает, что Литература
на периоде функция имеет лишь конечное число разрывов первого рода (скачков).
Кусочная непрерывная дифференцируемость будет, таким образом, означать, что Веб – страница
производная функции имеет на периоде не более чем конечное число скачков (при
этом непрерывность самой функции, вообще говоря, не предполагается и при необ-
ходимости должна оговариваться отдельно). Титульный лист

В точках разрыва функции f ряд Фурье сходится к функции очень неравномерно.
Именно, если x0 — точка разрыва первого рода функции f и, для определенности,
f (x0 ? 0) < f (x0 + 0), то

lim sn (x) < f (x0 ? 0) ,
lim sn (x) > f (x0 + 0) ,
n>? n>?
x>x0 x>x0

n Страница 40 из 127
где sn = ck ek , т.е. предельная флуктуация частичной суммы Фурье больше,
k=?n
чем скачок самой функции в точке разрыва. Такое поведение суммы Фурье в точках Назад

разрыва носит название явления Гиббса, см. рис. 3.
Полный экран
2.7.1. Пример.
Рассмотрим функцию f , заданную на интервале (0, 2?) равенством f (x) = x и далее Закрыть
продолженную периодически на всю ось. Эта функция кусочно непрерывно диф-
ференцируема. Именно, в точках x = 2?n , n ? Z она имеет разрывы-скачки, в Выход
Ряды Фурье
?
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература

?2? 0 2?
Веб – страница



Титульный лист
Рис. 3: Пример с явлением Гиббса



остальных точках она бесконечно дифференцируема. Как мы уже знаем, ряд Фу-
рье будет сходится к этой функции в каждой точке x = 2?n , n ? Z (разумеется,
никакой равномерной сходимости при этом нет: функция разрывна). В точках же
x = 2?n , n ? Z , будет происходить явление Гиббса и ряд Фурье должен сходиться Страница 41 из 127
в этих точках к значению ?, см. рис. 3. Действительно,
2? Назад
1
c0 = x dx = ? ,
2?
0 Полный экран
2?
1 1
xe?inx dx = ?
cn = , n = 0,
2? in Закрыть
0

Выход
откуда
?
einx sin nx
f (x) = ? ? =??2 m ? Z.
, x = 2?m,
in n
n=1
n=0

Заметим, что
Ряды Фурье
2?
2
1 4?
2
x2 dx = Интегралы Фурье
f = .
2? 3 Предметный указатель
0
Литература
Равенство Парсеваля имеет вид
?
4? 2
1 Веб – страница
2
? +2 = ,
n2 3
n=1

откуда Титульный лист
? 2
1 ?
= .
2
n 6
n=1


2.8. Интегрирование и дифференцирование рядов Фурье
Вопрос об интегрировании рядов Фурье удобно начать с некоторого обобщения ра-
венства Парсеваля. Страница 42 из 127

Теорема 2.23. Пусть f, g ? C2? . Тогда
Назад
?
+?
f |g = cn (f )cn (g) ? c0 (f )c0 (g) + cn (f )cn (g) + c?n (f )c?n (g) ,
n=?? n=1 Полный экран

где
2?
Закрыть
1
f |g = f (x)g(x) dx .
2?
0
Выход
Доказательство. Теорема вытекает из уравнения замкнутости. Действительно,
пусть
n
sn = ck (f )ek ,
k=?n
Ряды Фурье
т.е. частичная сумма ряда Фурье функции f . Тогда f ? sn > 0 при n > +?. Но
Интегралы Фурье
n Предметный указатель
sn |g = ck (f )ck (g) Литература
k=?n

и в силу неравенства Шварца Веб – страница

n
| f |g ? ck (f )ck (g)| = | f ? sn |g | f ? sn · g > 0. Титульный лист
n>+?
k=?n




Теорема остается верной для значительно более широкого класса функций f
и g, лишь бы для них выполнялись условия замкнутости (равенства Парсеваля),
см. п. 2.7. Для наших целей достаточно того, что теорема остается верной для
периодической функции g, определенной при x ? [0, 2?] равенствами Страница 43 из 127


1 , при x ? (?, ?) ? [0, 2?] , Назад
g(x) =
0 , при x ? (?, ?) .
/
Полный экран
Такая функция элементарно аппроксимируется в среднеквадратичном непрерывной
функцией, см. рис.4. Например, отличие в среднеквадратичном функции g от ап-
S Закрыть
проксимации на рис.4 не превосходит , где S — суммарная площадь заштри-
2?
хованных треугольников. Эта величина может быть сделана сколь угодно малой и
Выход
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература


Веб – страница
1
Титульный лист




?
0 2?
?
Страница 44 из 127



Назад

Рис. 4: Сглаживание разрывов
Полный экран



Закрыть



Выход
тогда, как было показано в п. 2.7, ряд Фурье функции g сходится к ней в средне-
квадратичном, а, следовательно, теорема 2.23 остается верной и для такой функции
g.
Запишем утверждение теоремы 2.23 для произвольной непрерывной периодиче-
ской с периодом 2? функции f и функции g, определенной выше. Тогда ввиду
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
? ?
1 1 Предметный указатель
einx dx ,
e?inx dx =
cn (g) =
2? 2? Литература
? ?

находим Веб – страница

? ?
2? +? +?
einx dx ,

<< Предыдущая

стр. 7
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>