<< Предыдущая

стр. 8
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

f (x) dx = f (x)g(x) dx = 2? cn (f )cn (g) = cn (f ) Титульный лист
n=?? n=??
? ?
0

но это в точности означает возможность интегрировать почленно ряд Фурье функ-
ции f . Заметим, что исходный ряд Фурье не сходился (вообще говоря) равномерно
и теорема об интегрировании из общей теории рядов не применима. Заметим также,
что проинтегрированный ряд сходится равномерно относительно ? и ?, поскольку
имеет сходящийся мажорантный ряд Страница 45 из 127

|cn (f )|
2?|c0 (f )| + 2 .
n Назад
n=0

Нами доказана Полный экран

Теорема 2.24. Ряд Фурье непрерывной периодической с периодом 2? функции
можно интегрировать почленно, причем проинтегрированный ряд сходится рав- Закрыть
номерно относительно пределов интегрирования (считая, что последние изме-
няются на интервале длиной в период).
Выход
Перейдем теперь к вопросу о дифференцировании. Как было показано в ходе
доказательства теоремы Дирихле о равномерной сходимости (с помощью формулы
интегрирования по частям), если f — непрерывно дифференцируемая периодическая
с периодом 2? функция, то
cn (f ) = in · cn (f ) , (2.14)
Ряды Фурье
что соответствует возможности почленного дифференцирования ряда Фурье такой Интегралы Фурье
функции f с получением ряда Фурье (сходящемся, вообще говоря, лишь в средне- Предметный указатель
квадратичном) ее производной. В силу леммы Римана-Лебега, из этого соотношения Литература
вытекает оценка скорости убывания при n > ? коэффициентов Фурье функции
1
класса C2? (т.е. непрерывно дифференцируемой, периодической):
Веб – страница
1
cn (f ) = o ,
n
Титульный лист
1
т.е. быстрее чем n . Если функция f k раз непрерывно дифференцируема, то приме-
няя k раз формулу (2.14) получим
cn (f (k) ) = (in)k · cn (f ) ,
откуда вытекает оценка
1
cn (f ) = o
nk
Страница 46 из 127
для коэффициентов Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической с
периодом 2? функции.
Из этих оценок и из теоремы о дифференцировании общих функциональных ря- Назад
дов вытекает, что ряд Фурье k раз непрерывно дифференцируемой периодической
функции можно почленно дифференцировать (k ? 1) раз с сохранением равномер-
Полный экран
ной сходимости ряда. k-е дифференцирование будет приводить к ряду Фурье k-ой
производной, но сходимость ряда надо понимать уже в среднеквадратичном.
Верно и обратное наблюдение: если коэффициенты Фурье некоторой функции Закрыть
убывают достаточно быстро, такая функция будет достаточно гладкой. Именно, вер-
на Выход
Теорема 2.25. Пусть коэффициенты Фурье некоторой (периодической с перио-
дом 2?) функции f удовлетворяют оценке:
+?
?n
|?n |2 < ? .
cn (f ) = k (n = 0) ,
n Ряды Фурье
n=??
Интегралы Фурье
Тогда функция f (k ? 1) раз непрерывно дифференцируема. Предметный указатель

Доказательство. Действительно, тригонометрический ряд, полученный в результа- Литература

те формального почленного дифференцирования (k ? 1) раз, имеет коэффициенты
Веб – страница
k?1 ?n
k?1
(in) cn (f ) = i
n
Титульный лист
и, следовательно, абсолютно сходится, что оправдывает возможность дифференци-
рования почленно данное количество раз.

2.9. Ряды Фурье периодических функций с периодом T = 2l
Естественно, мы могли рассматривать с тем же успехом периодические функции с
произвольным периодом T = 2l. Однако, можно получить соответствующую общую
теорию как следствие частного случая T = 2? используя растяжение (сжатие) веще- Страница 47 из 127

ственной оси. Действительно, если f — периодическая функция с периодом T = 2l,
то функция g, определенная равенством Назад

lx
g(x) = f
? Полный экран

будет периодической функцией с периодом T = 2?. При этом
Закрыть
?x
f (x) = g .
l
Выход
Пусть теперь f и g — периодические функции с периодом 2l. Обозначим через f
и g соответствующие им периодические функции с периодом 2?, т.е.
lx lx
f (x) = f , g(x) = g .
? ?
Ряды Фурье
Тогда
Интегралы Фурье
2? 2? 2l Предметный указатель
1 1 lx lx 1
f |g = f (x)g(x) dx = f g dx = f (t)g(t) dt . Литература
2? 2? ? ? 2l
0 0 0
Веб – страница
Последний интеграл и будет принят за скалярное произведение функций f и g
периодических с периодом 2l:
Титульный лист
2l
1
f |g = f (t)g(t) dt
2l
0

(функции считаются непрерывными, для определенности). Ортонормированная си-
стема функций en примет вид
?
en (x) = ei l nx . (2.15) Страница 48 из 127

Возьмем непрерывную периодическую с периодом 2l функцию f . Перейдем к функ-
Назад
ции f (непрерывной и периодической с периодом 2?) и построим для нее ряд Фурье
относительно ортонормированной системы einx на интервале [0, 2?]. Этот ряд будет
рядом Фурье для функции f относительно ортонормированной системы (2.15) на Полный экран
интервале [0, 2l] :
2l Закрыть
+?
1
i ? nx ?i ? nx
f (x) ? x ? R,
cn e , cn = f (x)e dx .
l l
2l
n=?? 0 Выход
Вещественная форма ряда Фурье имеет вид
?
a0 ?nx ?nx
f (x) ? x ? R,
+ (an cos + bn sin ),
2 l l
n=1
где Ряды Фурье
2l Интегралы Фурье
1 Предметный указатель
a0 = f (x) dx ,
l Литература
0
2l
1 ?nx Веб – страница
n ? N,
an = f (x) cos dx ,
l l
0
2l Титульный лист
1 ?nx
n ? N.
bn = f (x) sin dx ,
l l
0

Равенство Парсеваля не изменит своего вида, если учесть, что теперь
2l
1
2
|f (x)|2 dx .
f =
2l Страница 49 из 127
0

Формулы перехода от комплексной к вещественной форме и обратно изменению не
подвергаются. Назад



2.10. Разложение четных и нечетных функций Полный экран

В этом вопросе удобно использовать вещественную форму ряда Фурье:
Закрыть
?
a0 ?nx ?nx
f (x) ? x ? R,
+ (an cos + bn sin ),
2 l l
n=1 Выход
записав соотношения для коэффициентов Фурье в симметричной форме:
l
1
(2.16)
a0 = f (x) dx ,
l
?l
Ряды Фурье
l
Интегралы Фурье
1 ?nx
n ? N, (2.17)
an = f (x) cos dx , Предметный указатель
l l
?l Литература
l
1 ?nx
n ? N. (2.18)
bn = f (x) sin dx , Веб – страница
l l
?l

Титульный лист
Напомним, что если функция f — нечетная (и интегрируемая), то
a

f (x) dx = 0 (?a > 0) .
?a

Если функция f — четная (и интегрируемая), то
Страница 50 из 127
a a

f (x) dx = 2 f (x) dx (?a > 0) .
Назад
?a 0

Пусть функция f — непрерывная, периодическая с периодом 2l и четная. Тогда
Полный экран
bn = 0 при всех натуральных n и ряд Фурье такой функции будет содержать только
косинусы:
?
a0 ?nx Закрыть
f (x) ? , x ? R.
+ an cos
2 l
n=1
Выход
Пусть функция f — непрерывная, периодическая с периодом 2l и нечетная. Тогда
an = 0 при всех натуральных n и при n = 0 и ряд Фурье такой функции будет
содержать только синусы:
?
?nx
f (x) ? x ? R.
bn sin , Ряды Фурье
l
n=1 Интегралы Фурье

Рассмотрим теперь следующую задачу. Пусть на интервале [0, l] задана непрерыв- Предметный указатель
ная функция f . Как можно разложить ее в ряд Фурье на этом интервале? Возможны Литература
разные приемы. Можно, например, продолжить ее периодически на всю ось с пе-
риодом T = l и воспользоваться общей теорией. Однако, можно предварительно Веб – страница
продолжить ее как четную или нечетную на интервал [?l, l] и затем уже продол-
жать периодически на всю ось с периодом T = 2l. В этом случае в зависимости
Титульный лист
от способа предварительного продолжения мы получим разложение в ряд Фурье
только по косинусам или только по синусам. Следует заметить, что для вычисления
коэффициентов Фурье нет необходимости явно строить описанные продолжения.
Действительно, в случае четного продолжения мы можем найти коэффициенты an
по формулам
l
2
a0 = f (x) dx , Страница 51 из 127
l
0
l

<< Предыдущая

стр. 8
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>