<< Предыдущая

стр. 9
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2 ?nx Назад
n ? N,
an = f (x) cos dx ,
l l
0
Полный экран
а в случае нечетного продолжения мы можем найти коэффициенты bn по формулам
l Закрыть
2 ?nx
n ? N.
bn = f (x) sin dx ,
l l
0 Выход
Следует заметить, что скорости сходимости этих рядов будут в общем случае раз-
личны. При четном продолжении функция останется непрерывной. При нечетном
она (в общем случае) получит точки разрыва (1 рода) в нуле и при x = l (и да-
лее периодически с периодом 2l). В последнем случае ряд будет сходиться заведомо
медленно.
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
2.11. Вещественная форма тригонометрического ряда Фурье Предметный указатель
Литература
До сих пор мы получали сведения о вещественной форме тригонометрического ряда
Фурье благодаря формулам перехода (2.7). Следует, однако, заметить, что функции
Веб – страница
1
v , cos x , sin x , cos 2x , sin 2x , . . .
2
Титульный лист
образуют ортонормированную систему относительно скалярного произведения
?
1
f |g = f (x)g(x) dx
?
??

в пространстве непрерывных периодических с периодом 2? функций и коэффициен-
ты an и bn являются коэффициентами Фурье относительно этой ортонормированной
Страница 52 из 127
системы (кроме a0 , который становится коэффициентом Фурье в этом смысле после
v
деления на 2). Равенство Парсеваля может быть переписано в виде
Назад
?
?
2
|a0 | 1
(|an |2 + |bn |2 ) = |f (x)|2 dx .
+
2 ? Полный экран
n=1 ??

В случае периодических функций с периодом 2l полной ортонормированной си-
Закрыть
стемой будет
1 ?x ?x 2?x 2?x
v , cos , sin , cos , sin ,...
l l l l
2 Выход
относительно скалярного произведения
l
1
f |g = f (x)g(x) dx .
l
?l
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
2.12. Понятие об улучшении скорости сходимости ряда Фурье Предметный указатель
Тригонометрические ряды Фурье, возникающие в результате решения конкретных Литература
прикладных задач, могут оказаться медленно сходящимися, что часто препятствует
их использованию (если сумма ряда не находится в замкнутом виде). Если ока- Веб – страница
зывается возможным из данного медленно сходящегося ряда выделить медленно
сходящуюся часть с известной суммой так, что оставшаяся часть ряда сходится уже
Титульный лист
быстро, то такое выделение и называется улучшением сходимости ряда Фурье.
Если особенности (разрывы) функции f , улучшением сходимости ряда Фурье
которой мы интересуемся, известны, то функцию f можно легко представить как
сумму достаточно простой (например, кусочно линейной) функции с точно такими
же особенностями, что и f и функции, которая уже особенностей не имеет (но
может иметь особенности производной).
Если особенности функции f не известны, для улучшения сходимости ряда Фу-
рье можно воспользоваться методом А.Н.Крылова. Идея метода состоит в том, чтобы Страница 53 из 127
1
выделить из коэффициентов Фурье младшие степени величины n и попытаться от-
суммировать полученные ряды при помощи таблиц известных разложений.
Назад
Например, пусть требуется улучшить сходимость ряда
+?
n3 Полный экран
(?1)n x ? (??, ?) .
f (x) = sin nx ,
n4 ? 1
n=2
Закрыть
Заметим, что
n3 1 1
= +5 .
n4 ? 1 n n ?n Выход
Но известно, что при x ? (??, ?)
+?
(?1)n+1
x
= sin nx ,
2 n=1 n
Ряды Фурье
откуда
Интегралы Фурье
+?
(?1)n
x
f (x) = ? + sin x + x ? (??, ?) .
sin nx , Предметный указатель
n5 ? n
2 n=2 Литература


Веб – страница



Титульный лист




Страница 54 из 127



Назад



Полный экран



Закрыть



Выход
3. Примеры и приложения
3.1. Периодические решения
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение
Ряды Фурье
(n) (n?1)
(x) + · · · + pn y(x) = q(x) (3.1)
p0 y (x) + p1 y Интегралы Фурье
Предметный указатель
с постоянными коэффициентами и периодической правой частью q(x) периода 2?. Литература
Существует ли периодическое решение с периодом 2??
Будем искать решение в форме ряда Фурье
Веб – страница
+?
yk eikx .
y(x) =
Титульный лист
k=??

Разложим правую часть уравнения в ряд Фурье
+?
qk eikx ,
q(x) =
k=??

тогда при всех k ? Z Страница 55 из 127


p0 · (ik)n yk + p1 · (ik)n?1 yk + · · · + pn · yk = qk
Назад

(равенство коэффициентов Фурье левой и правой частей уравнения). Полагая
Полный экран
P (z) = p0 z n + p1 z n?1 + · · · + pn ,

получаем соотношение (Фурье-образ уравнения (3.1)) Закрыть


P (ik) · yk = qk (k ? Z) . (3.2)
Выход
Если
P (ik) = 0 (?k ? Z) , (3.3)
то
qk
yk = ,
P (ik) Ряды Фурье
т.е. мы нашли коэффициенты Фурье функции y(x) а, следовательно, и саму эту Интегралы Фурье
функцию. Однако, чтобы найденная функция действительно была решением, необ- Предметный указатель
ходимо оправдать возможность n-кратного дифференцирования суммы ряда Фурье Литература
y(x) почленно. В этих целях потребуем непрерывной дифференцируемости правой
части q(x). Тогда в силу неравенства (вытекающем из асимптотики P (ik) ? p0 · (ik)n
Веб – страница
при k > ?)
|P (ik)| c|k|m
Титульный лист
с некоторым c > 0 , заключаем, что

|?k |
|yk | ,
c|k|n+1

где ?k — коэффициенты Фурье производной q (x). Последняя оценка позволяет нам
сослаться на теорему 2.25 о дифференцируемости ряда Фурье, из которой и вытекает
n-кратная непрерывная дифференцируемость функции y(x). Страница 56 из 127
Заметим теперь, что построенное решение будет единственным. Действитель-
но, иначе существовало бы нетривиальное 2?-периодическое решение однородного
Назад
уравнения
p0 y (n) (x) + p1 y (n?1) (x) + · · · + pn y(x) = 0 ,
Полный экран
но, как известно, общее решение последнего уравнения выражается через экспонен-
ты e?x , где ? — корни характеристического уравнения
Закрыть
P (z) = 0 ,

Выход
и эти экспоненты могут привести к 2?–периодическому решению только при ? =
ik (k ? Z) в противоречии с условием (3.3).
Итак, при непрерывно дифференцируемой правой части условие (3.3) является
условием существования и единственности 2?-периодического решения рассматри-
ваемого дифференциального уравнения (3.1).
Ряды Фурье
Если при некотором целом m
Интегралы Фурье
Предметный указатель
P (im) = 0 ,
Литература
уравнение (3.1) будет иметь 2? периодические решения только при условии, что
соответствующий коэффициент Фурье правой части равен нулю: qm = 0. При этом Веб – страница
единственность 2?-периодического решения теряется: коэффициент Фурье ym может
быть выбран произвольно (здесь также используется тот факт, что экспонента eimx
является решением однородного уравнения). Титульный лист

Наконец, если при некотором целом m одновременно

и qm = 0 ,
P (im) = 0

периодического решения не существует.

3.2. Задача о колебаниях закрепленной струны Страница 57 из 127

Рассмотрим струну, закрепленную в точках 0 и ? на оси x с положением равновесия
по отрезку [0, ?]. Если придать струне произвольную начальную форму, заданную, Назад
например, функцией f (x), и затем отпустить, струна начнет колебаться. Требуется
найти форму струны в произвольный последующий момент времени. В математи- Полный экран
ческой физике выводится следующее уравнение для функции u(x, t), описывающей
форму струны в момент времени t:
Закрыть
2 2
?u ?u
= a2 2 , (3.4)
2
?t ?x Выход
где a — некоторая постоянная. Уравнение (3.4) будем рассматриваться с начальными
условиями

u(x, 0) = f (x) (начальная форма),
?u
(струна отпущена без начальной скорости).
?t t=0 = 0 Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Имеются также граничные условия
Предметный указатель
Литература
u(0, t) = u(?, t) = 0 .

Будем искать решение в виде ряда Фурье по синусам Веб – страница

<< Предыдущая

стр. 9
(из 21 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>