стр. 1
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Постановка некоторых . . .
Вариационное исчисление Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
А.М.Будылин Обобщения
budylin@mph.phys.spbu.ru Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
21 мая 2001 г. Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 1 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Часть I
Необходимые условия экстремума
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Постановка некоторых вариационных задач
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Отыскание геодезических Приложения
Обобщения
На плоскости
Задачи на условный экстремум
На произвольной поверхности
Первое необходимое условие . . .
Задача о брахистохроне Семейства экстремалей
Задача о наименьшей поверхности Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Катеноид
Существование минимума . . .
Проблема Плато
Лемма Гейне-Бореля
Простейшая вариационная задача
Веб – страница
Простейшая изопериметрическая задача
Титульный лист
Задача навигации
Введение в вариационный метод
Происхождение названия «вариационное исчисление»
Современная терминология Страница 2 из 197

Основная лемма
Назад
Основной вариант
Полный экран
Обобщение по гладкости
Закрыть

Выход
Обобщение на кратные интеграла

Лемма Дюбуа–Реймона

Уравнение Эйлера–Лагранжа Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Постановка вопроса
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Вариация интегрального функционала
Приложения
Экскурс в дифференциальное исчисление Обобщения
Задачи на условный экстремум
Дифференцирование интеграла по параметру
Первое необходимое условие . . .
Цепное правило
Семейства экстремалей
Уравнение Эйлера–Лагранжа Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Вывод уравнения
Существование минимума . . .
Замечания
Лемма Гейне-Бореля
Анализ уравнения Эйлера–Лагранжа
Веб – страница
F не зависит от y
Титульный лист
F не зависит от x

d
Случай полной производной F = dx G(x, y)

Приложения
Геодезические
Страница 3 из 197
Уравнение Эйлера
Назад
Частный случай, первый вариант
Полный экран
Частный случай, второй вариант

Закрыть
Геодезические на сфере

Выход
Геодезические на поверхности вращения

Брахистохрона
Минимальная поверхность вращения Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Катеноид
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Огибающая
Приложения
Геометрическая оптика Обобщения

Обобщения Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Случай нескольких искомых функций
Семейства экстремалей
Параметрическое представление Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Случай производных высших порядков
Существование минимума . . .
Свободные концы
Лемма Гейне-Бореля
Естественные условия
Веб – страница
Задача о навигации
Титульный лист
Условие трансверсальности

Случай кратных интегралов
Экстремали двойного интеграла

Экстремали тройного интеграла
Страница 4 из 197
Задачи на условный экстремум
Назад
Изопериметрическая задача
Полный экран
Простейшая изопериметрическая задача

Закрыть
Прямые обобщения

Выход
Задача Дидоны

Задача Лагранжа
Простейший случай Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Отыскание геодезических
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Общий случай
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей

Часть II. Достаточные условия экстремума Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Часть III. Приложения Существование минимума . . .
Предметный указатель Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 5 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
1. Постановка некоторых вариационных задач
Чтобы получить представление о вариационных задачах, рассмотрим некоторые из
них. Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод

1.1. Отыскание геодезических Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
1.1.1. На плоскости
Обобщения
Начнем с элементарного вопроса: что представляет собой плоская кривая наимень- Задачи на условный экстремум
шей длины, соединяющая две фиксированные точки плоскости? Первое необходимое условие . . .
Для математической формулировки фиксируем две точки P1 (x1 , y1 ) и P2 (x2 , y2 ) Семейства экстремалей
на плоскости xy, считая x1 < x2 , и рассмотрим гладкую кривую Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x ? [x1 , x2 ] ,
y = y(x) ,
Существование минимума . . .
(1.1)
y1 = y(x1 ) , Лемма Гейне-Бореля
y2 = y(x2 ) ,
Веб – страница

соединяющей точки P1 и P2 . Длина дуги кривой (1.1), как хорошо известно, равна Титульный лист
x2

1 + y 2 dx . (1.2)
I=
x1

Задача сводится к выбору функции y(x) так, чтобы интеграл (1.2) был наименьшим Страница 6 из 197

из возможных.
Назад
В постановке задачи мы наложили дополнительное ограничение (1.1), выражаю-
щееся в том, что y является однозначной функцией x. Это ограничение может быть Полный экран

Закрыть

Выход
снято переходом к параметрическому заданию кривой в форме

x = x(t) ,
t ? [t1 , t2 ] ,
y = y(t) , Постановка некоторых . . .
(1.3) Введение в вариационный метод
x1 = x(t1 ) , y1 = y(t1 ) ,
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x2 = x(t2 ) , y2 = y(t2 ) .
Приложения
Обобщения
1.1.2. На произвольной поверхности
Задачи на условный экстремум
Менее тривиальный случай. Пусть фиксированы две точки некоторой (гладкой) по- Первое необходимое условие . . .
верхности, заданной, например, уравнением Семейства экстремалей
Динамика частиц
(1.4)
g(x, y, z) = 0, .
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Что представляет собой кривая наименьшей длины, лежащая на этой поверхности
и соединяющая фиксированные точки? Именно такие кривые и называются геоде- Лемма Гейне-Бореля

зическими. Веб – страница
Для математической формулировки этой задачи будем считать, что поверх-
ность (1.4) может быть задана параметрически Титульный лист
?
?x = x(u, v) ,
?
(1.5)
y = y(u, v) ,
?
z = z(u, v) .
?
Страница 7 из 197
Здесь u и v параметры, играющие роль координат на поверхности. Выразим квадрат
дифференциала длины дуги в терминах дифференциалов u и v: Назад


(ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 , Полный экран
(1.6)
Закрыть

стр. 1
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>