<< Предыдущая

стр. 10
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Уравнение Эйлера–Лагранжа
?G ?F ?G ?F 1 ?F d ?G d ?F
· x, · ·x= · x,
= ? = ? , = ? Приложения
?y ?y ?y
? ?y x? ?y d? ? y
? d? ?y Обобщения
и тогда Задачи на условный экстремум
?G d ?G ?F d ?F Первое необходимое условие . . .
? ?
)=x
? .
?y d? ? y
? ?y dx ?y Семейства экстремалей
Мы проверили важное свойство инвариантности уравнения Эйлера–Лагранжа: Динамика частиц
если кривая, вне зависимости от того, задана она однозначно или параметри- Проблема минимума . . .
чески, удовлетворяет уравнению Эйлера–Лагранжа Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?F d ?F
? = 0,
?y dx ?y Веб – страница

то она также удовлетворяет системе (5.5) и обратно при любом выборе пара- Титульный лист
метра при условии x = 0.
?
Это свойство позволяет при решении вариационной задачи использовать наибо-
лее удобные для данной задачи координаты. Так, например, для экстремалей инте-
грала
x2
Страница 57 из 197
x2 + y 2 · 1 + y 2 dx
I=
Назад
x1
в исходных декартовых координатах получаем уравнение
Полный экран

1+y2 x2 + y 2
y dy
? = 0, Закрыть
dx
x2 + y 2 1+y2
Выход
анализ которого весьма не прост. Однако, если воспользоваться параметрической
формой в полярных координатах

x = r(?) cos ? , Постановка некоторых . . .
y = r(?) sin ? , Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
интеграл I приводится к виду Приложения
?2 Обобщения

r2 + r 2 d? , Задачи на условный экстремум
I= r
Первое необходимое условие . . .
?1
Семейства экстремалей
где функция Лагранжа не зависит явно от ?: поиск функции y = y(x), доставляющей Динамика частиц
экстремальное значение интегралу I, подменен поиском функции r(?). Мы получа- Проблема минимума . . .
ем возможность сразу выписать первый интеграл, см. (3.16), уравнения Эйлера– Существование минимума . . .
Лагранжа: Лемма Гейне-Бореля
rr
rv ? r r + r 2 = C1 ,
2
r+r Веб – страница

и решить задачу
Титульный лист

r3 = ?C1 r2 + r 2 ?
C
d
Cdr Cdr 1 r2
v =?
?= =
2
r6 ? C 2 r2 C2
C2
r3 1? 1?
r4 r2
Страница 58 из 197
1 C
= ? arcsin 2 + ?0 ?
2 r Назад
C
= sin 2(?0 ? ?) ?
r2 Полный экран
r0
r= , Закрыть
| sin 2(?0 ? ?)|
Выход
2
где r0 и ?0 — постоянные интегрирования (r0 = |C| = ?C1 ). Нетрудно видеть, что
найденные экстремали являются гиперболами. Действительно, поворотом системы
координат xy на угол ?0 мы добиваемся (в новых декартовых координатах) равенства
?0 нулю. Тогда, например, при ? ? (0, ? ) Постановка некоторых . . .
2
Введение в вариационный метод
2
sin 2? r0
2
xy = r (?) = . Уравнение Эйлера–Лагранжа
2 2
Приложения
Следует, однако, проявлять определенную осторожность в связи с требованием
Обобщения
строгой монотонности зависимости x от параметра. Так, например, при решении
Задачи на условный экстремум
предыдущей задачи нами были потеряны экстремали вида y = kx, что в полярных
Первое необходимое условие . . .
координатах соответствует лучам ? = Const. В этом случае (т.е. когда точки P1 и P2
лежат на таких лучах) введения полярного угла ? в качестве параметра невозможно. Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
5.3. Случай производных высших порядков
Существование минимума . . .
Рассмотрим интеграл, зависящий от производных искомых функций до n-го порядка Лемма Гейне-Бореля
включительно:
x2
Веб – страница
(n)
I= F (x, y, y , . . . , y ) dx ,
Титульный лист
x1
считая, что функция F непрерывно дифференцируема по всем переменным (n + 1)
раз. Какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять 2n раз непре-
рывно дифференцируемая функция y, сообщающая интегралу I экстремальное зна-
чение?
Страница 59 из 197
Замещая в интеграле I экстремальную функцию y = y(x) сравнимой
Y (x) = y(x) + t?(x) , Назад

где ? — n раз непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным Полный экран
условиям
Закрыть
?(x1 ) = ?(x2 ) = ? (x1 ) = ? (x2 ) = . . . = ? (n?1) (x1 ) = ? (n?1) (x2 ) = 0 ,
Выход
получим функцию переменной t
x2

F (x, Y, Y , . . . , Y (n) ) dx ,
I(t) = I = Постановка некоторых . . .
x1 Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
где Y (k) — производная по x: Y (k) = y (k) +t? (k) . Как и ранее, в силу экстремальности
Приложения
интеграла при t = 0,
Обобщения
x2 Задачи на условный экстремум
?F ?F ?F
· ? + . . . + (n) · ? (n) dx = 0 .
·?+
I (0) = Первое необходимое условие . . .
?y ?y ?y
Семейства экстремалей
x1
Динамика частиц
Интегрируя по частям в каждом слагаемом соответствующее число раз (k-ое слага- Проблема минимума . . .
емое интегрируется (k ? 1) раз), перебрасывая производные с функции ? на произ- Существование минимума . . .
водные от F , приходим к равенству
Лемма Гейне-Бореля
x2
dn
?F d ?F ?F Веб – страница
+ . . . + (?1)n
?
I (0) = ? dx = 0 ,
dxn ?y (n)
?y dx ?y
Титульный лист
x1

внеинтегральные члены обращаются в ноль ввиду нулевых граничных условий для
функции ? и ее производных. В силу основной леммы (вариант, допускающий глад-
кость функции ? любого конечного порядка, см. стр. 26), заключаем, что
Страница 60 из 197
dn
?F d ?F ?F
n
? + . . . + (?1) = 0.
dxn ?y (n)
?y dx ?y Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
5.4. Свободные концы
5.4.1. Естественные условия
Обратимся к задаче с свободными концами. Для начала найдем экстремали инте- Постановка некоторых . . .
грала Введение в вариационный метод
x2
Уравнение Эйлера–Лагранжа
I= F (x, y, y ) dx , Приложения
x1 Обобщения
удовлетворяющие граничному условию Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
y(x1 ) = y1 ,
Семейства экстремалей
условия же для y(x2 ) нет. Как и ранее полагаем
Динамика частиц
Y (x) = y(x) + t?(x) , Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
где y — экстремаль задачи и
Лемма Гейне-Бореля
?(x1 ) = 0 .
Условия гладкости стандартные: функции F и y считается дважды непрерывно диф- Веб – страница
ференцируемой, функция ? — непрерывно дифференцируемой.
Титульный лист
Подставляя сравниваемую функцию Y в интеграл, получаем функцию перемен-
ной t
x2

I(t) = F (x, Y, Y ) dx .
x1
Нулевая вариация Страница 61 из 197

I (0) = 0
Назад
как и ранее является необходимым условием экстремальности, при этом
Полный экран
x2
?F ?F
·?+ ·?
I (0) = dx = 0 . Закрыть
?y ?y
x1
Выход
Однако интегрирование по частям в втором слагаемом на этот раз ведет к равенству
x2
?F ?F d ?F
·? ? (5.6)
+ ? dx = 0 . Постановка некоторых . . .
?y ?y dx ?y
x=x2
x1 Введение в вариационный метод
Как и ранее ? — произвольная, в частности, возможно взять функцию ?, удовле- Уравнение Эйлера–Лагранжа
творяющую нулевому условию в точке x2 : ?(x2 ) = 0, что уничтожает внеинтеграль- Приложения
ный член. Тогда по основной лемме снова приходим к уравнению Эйлера–Лагранжа Обобщения
?F d ?F Задачи на условный экстремум
? = 0.
?y dx ?y Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
При выполнении уравнения Эйлера–Лагранжа уравнение (5.6) сводится к равенству
Динамика частиц
?F
·? Проблема минимума . . .
= 0.
?y x=x2 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Выбирая теперь функцию ? так, чтобы ?(x2 ) = 1, получаем естественное условие
на правом конце Веб – страница
?F
(5.7)
= 0.
?y x=x2 Титульный лист

Если бы левый конец был также свободным, мы получили бы аналогичное есте-
ственное условие на левом конце
?F
= 0.
?y x=x1 Страница 62 из 197


5.4.2. Задача о навигации Назад

Вернемся к задаче о навигации (1.20): Полный экран

c2 (1 + y 2 ) ? v 2 ? vy Закрыть

<< Предыдущая

стр. 10
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>