<< Предыдущая

стр. 11
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

F= .
c2 ? v 2
Выход
Поскольку F не зависит явно от y, выписываем первый интеграл

?F
= C1 ,
?y Постановка некоторых . . .

т.е. Введение в вариационный метод
2
1 cy Уравнение Эйлера–Лагранжа
? v = C1 .
c2 ? v 2 c2 (1 + y 2 ) ? v 2 Приложения
Обобщения
Но в силу естественного условия (5.7) находим: C1 = 0. Как следствие,
Задачи на условный экстремум

c2 y = v c2 (1 + y 2 ) ? v 2 ? Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
c4 y 2 = v 2 c2 (1 + y 2 ) ? v 4 ?
Динамика частиц
c2 (c2 ? v 2 )y 2 = v 2 (c2 ? v 2 ) ? Проблема минимума . . .
v
?
y= Существование минимума . . .
c Лемма Гейне-Бореля
x
1
y= v(s)ds . Веб – страница
c
0
Титульный лист
Если предположить, например, что v(b) = 0 (отсутствие течения у берега), то и
y (b) = 0, что означает, что «приставать» к берегу надо перпендикулярно.

5.4.3. Условия трансверсальности
Страница 63 из 197
Задача со свободными концами может рассматриваться без обязательной привязки
концов к вертикальным прямым. Будем искать экстремали интеграла Назад

x2 Полный экран
I= F (x, y, y ) dx ,
Закрыть
x1

Выход
y



P2 Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
g(x, y) = 0 Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
P1
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
x
Динамика частиц

Рис. 9: К условиям трансверсальности Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

считая, что Веб – страница
(5.8)
y(x1 ) = y1 ,
Титульный лист
и определяя верхний предел интегрирования x2 как абсциссу точки пересечения
кривой y = y(x) с заданной кривой вида
(5.9)
g(x, y) = 0 ,
см. рис. 9. Мы будем считать функцию g — непрерывно дифференцируемой, а функ-
ции F и y — дважды непрерывно дифференцируемыми. Страница 64 из 197
Пусть y — экстремаль, удовлетворяющая граничным условиям (5.8)-(5.9), в част-
Назад
ности
g(x2 , y2 ) = 0 , y2 = y(x2 ) . Полный экран
Введем, как всегда, однопараметрическое семейство функций сравнения
Закрыть
Y (x) = y(x) + t?(x) ,
Выход
считая, что ? — непрерывно дифференцируемая функция. Кривая y = Y (x) также
должна удовлетворять условиям (5.8)-(5.9). Это означает, что, во-первых,

?(x1 ) = 0 , Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
и во-вторых,
Уравнение Эйлера–Лагранжа
(5.10)
g(X2 , Y2 ) = 0 ,
Приложения
где Y2 = y(X2 ) + t?(X2 ). Уравнение (5.10) при фиксированной вариации ? должно
Обобщения
выполняться тождественно по t, таким образом
Задачи на условный экстремум
dg ?g dX2 ?g dY2 Первое необходимое условие . . .
· ·
= +
dt ?X2 dt ?Y2 dt Семейства экстремалей
?g dX2 ?g dy dX2 d? dX2 Динамика частиц
· · ·
= + + ?(X2 ) + t = 0,
?X2 dt ?Y2 dX2 dt dX2 dt Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
откуда
?g Лемма Гейне-Бореля
?(X2 ) · ?Y2
dX2
= ? ?g ,
?g ?g
dt + y (X2 ) · ?Y2 + t? (X2 ) ?Y2 Веб – страница
?X2
а при t = 0 Титульный лист
?g

dX2 ?y2
=? (5.11)
.
?g ?g
dt +y ·
t=0 ?y2 x=x2
?x2

Подставим в функционал I вместо y функцию для сравнения Y :
Страница 65 из 197
X2

I(t) = F (x, Y, Y ) dx . Назад
x1
Полный экран
Условие экстремальности интеграла I при t = 0 запишется, как всегда,
Закрыть
I (0) = 0 .
Выход
Используя формулу (3.8) дифференцирования интеграла, зависящего от параметра,
найдем
X2
dX2 ?F ?F Постановка некоторых . . .
·F ·?+ ·?
I (t) = + dx
dt ?Y ?Y Введение в вариационный метод
x=X2
x1 Уравнение Эйлера–Лагранжа
X2
Приложения
dX2 ?F ?F d ?F
·F + ·? ?
= + ? dx , Обобщения
dt ?Y ?Y dx ?Y
x=X2
x1 Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
и при t = 0
Семейства экстремалей
x2
?g
·F Динамика частиц
?F ?F d ?F
?y2
? ? (5.12)
I (0) = ? + ? dx = 0 . Проблема минимума . . .
?g ?g
?y ?y dx ?y
+y · x=x2
?x2 ?y2 x1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Положим сначала ?(x2 ) = 0. Тогда имеет место уравнение Эйлера–Лагранжа
Веб – страница
?F d ?F
? = 0.
?y dx ?y Титульный лист

Считая теперь, что уравнение Эйлера–Лагранжа выполнено, положим в (5.12)
?(x2 ) = 1. Тогда получаем условие
?g
·F
?F ?y2
? (5.13)
= 0, Страница 66 из 197
?g ?g
?y +y · x=x2
?x2 ?y2
Назад
которое называется условием трансверсальности экстремали и кривой (5.9). Заме-
тим, что если кривая (5.9) задана явно Полный экран

?g ?g Закрыть
g(x, y) = ?(x) ? y , = ?1 ,
y = ?(x) : =? ,
?x ?y
Выход
то условие трансверсальности примет вид

?F F
(5.14)
+ = 0,
? ?y
?y Постановка некоторых . . .
x=x2
Введение в вариационный метод
или
Уравнение Эйлера–Лагранжа
F (x, y, y ) + ? (x) ? y (x) Fy (x, y, y ) (5.15)
= 0.
x=x2 Приложения
Отметим, что условие трансверсальности выполняется для экстремали, пересе- Обобщения
кающей кривую (5.9), а не касающейся ее (y = ? ), отсюда и название. Задачи на условный экстремум
Аналогичное условие возникнет и для левого конца, если ему разрешить менять- Первое необходимое условие . . .
ся на какой–нибудь заданной кривой. Семейства экстремалей
Посмотрим, что означает условие трансверсальности в случае функции Лагранжа Динамика частиц
F вида Проблема минимума . . .
F (x, y, z) = H(x, y) 1 + z 2 .
Существование минимума . . .
Ограничимся явным заданием кривой. В этом случае в точке свободного конца Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
1+y2
y H
H + = 0,
? ?y
1+y2 Титульный лист

откуда (считая, что H = 0)

? y ? y 2 + 1 + y 2 = 0,

т.е. Страница 67 из 197
? y = ?1 .
Назад
Но это есть в точности условие ортогональности экстремали y = y(x) и кривой
свободного конца y = ?(x). Полный экран

Закрыть

Выход
?D
Постановка некоторых . . .
?D Введение в вариационный метод

?D Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
D
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Рис. 10: Ориентация границы
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
5.5. Случай кратных интегралов
Титульный лист
5.5.1. Экстремали двойного интеграла
5.5.1.1. Уравнение Эйлера Рассмотрим двойной интеграл

(5.16)
I= F (x, y, z, zx , zy ) dxdy Страница 68 из 197
D
Назад
по области D плоскости xy. Функция Лагранжа F считается дважды непрерывно
дифференцируемой. Область D считается замкнутой и ограниченной, с границей, Полный экран
состоящей из конечного числа гладких замкнутых кривых, ориентированных стан-
Закрыть

<< Предыдущая

стр. 11
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>