<< Предыдущая

стр. 12
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

дартно, см. рис. 10. Нас будет интересовать дифференциальное уравнение (в частных
Выход
производных), которому должна удовлетворять дважды непрерывно дифференцируе-
мая функция z(x, y), доставляющая интегралу (5.16) экстремальное значение. Пред-
полагается, что функция z принимает на границе области ?D заданные значения:
Постановка некоторых . . .
(x, y) ? ?D . (5.17)
z(x, y) = f (x, y) , Введение в вариационный метод
?D
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Как и ранее, будем считать, что z(x, y) — функция, доставляющая решение по-
Приложения
ставленной задаче, и введем однопараметрическое семейство функций сравнения
Обобщения
Z(x, y) = z(x, y) + t?(x, y) , Задачи на условный экстремум

где вариация функции ? является непрерывно дифференцируемой функцией, удо- Первое необходимое условие . . .

влетворяющей нулевым граничным условиям Семейства экстремалей
Динамика частиц
(5.18)
?(x, y) = 0. Проблема минимума . . .
?D
Существование минимума . . .
Заменяя z в интеграле на Z, приходим к функции одной вещественной переменной
Лемма Гейне-Бореля

I(t) = F (x, y, Z, Zx , Zy ) dxdy Веб – страница
D
Титульный лист
с условием экстремальности при t = 0:
I (0) = 0 .
Согласно теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра
?F ?F ?F Страница 69 из 197
·? + · ?x + · ? dxdy .
I (t) =
?Zy y
?Z ?Zx
D Назад

При t = 0 получаем равенство
Полный экран
?F ?F ?F
·? + · ?x + · ? dxdy = 0 . (5.19)
?zy y Закрыть
?z ?zx
D
Выход
Воспользуемся формулой Грина
?Q ?P
? dxdy = P dx + Qdy .
?x ?y
Постановка некоторых . . .
D ?D
Введение в вариационный метод
Тогда
Уравнение Эйлера–Лагранжа
? ?F ? ?F ?F ?F Приложения
·? + ·? · ?dy ? · ?dx ,
dxdy =
?x ?zx ?y ?zy ?zx ?zy Обобщения
D ?D
Задачи на условный экстремум
откуда в силу нулевых граничных условий для функции ? (что обращает в ноль Первое необходимое условие . . .
интеграл по границе области)
Семейства экстремалей
?F ?F ? ?F ? ?F Динамика частиц
· ?x + · ? dxdy = ? · ? dxdy .
+
?zy y
?zx ?x ?zx ?y ?zy Проблема минимума . . .
D D
Существование минимума . . .
Учет последнего равенства в (5.19) ведет к равенству Лемма Гейне-Бореля

?F ? ?F ? ?F Веб – страница
? ? · ? dxdy = 0 ,
?z ?x ?zx ?y ?zy
D Титульный лист

и, в силу основной леммы (ввиду произвольности ?), — к уравнению Эйлера
?F ? ?F ? ?F
? ? (5.20)
= 0.
?z ?x ?zx ?y ?zy
Страница 70 из 197
5.5.1.2. Естественное условие на границе Мы можем легко расширить резуль-
тат предыдущего пункта на случай отсутствия условий на границе области. Вариа- Назад
ция интеграла запишется в виде
Полный экран
?F ?F ?F ? ?F ? ?F
· ?dy ? · ?dx + ? ? · ? dxdy = 0 . Закрыть
?zx ?zy ?z ?x ?zx ?y ?zy
D
?D
Выход
Считая уравнение Эйлера выполненным и параметризуя контур интегрирования ?D:

s ? [s1 , s2 ] ,
x = x(s) , y = y(s) ,
Постановка некоторых . . .
приходим к равенствам
Введение в вариационный метод
s2 Уравнение Эйлера–Лагранжа
?F ?F ?F dy ?F dx
· ?dy ? · ?dx = · ? · ? ds = 0 , Приложения
?zx ?zy ?zx ds ?zy ds Обобщения
s1
?D
Задачи на условный экстремум
откуда в силу основной леммы Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
?F dy ?F dx
· ? · (5.21)
= 0. Динамика частиц
?zx ds ?zy ds ?D
Проблема минимума . . .

Если условия на границе охватывают лишь часть границы, то равенство Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?F dy ?F dx
· ? · =0 Веб – страница
?zx ds ?zy ds
Титульный лист
должно выполняться, очевидно, для оставшейся части границы. Отметим, что гео-
метрически полученное условие означает, что вектор

?F ?F
,
?zx ?zy
Страница 71 из 197
является касательным к границе ?D, т.к. вектор (y, ?x) ей перпендикулярен.
??
Назад

5.5.1.3. Волновое уравнение Рассмотрим струну, натянутую вдоль оси x и со- Полный экран
вершающую колебания в плоскости xu, перпендикулярно к оси x. Концы струны
будем считать закрепленными в точках (0, 0) и (l, 0). Считая струну абсолютно Закрыть

Выход
упругой, найдем потенциальную энергию как работу сил деформации, идущую на
растяжение, т.е.
l l
? 2
2
1 + ux dx ? l ?
V =? ux dx , Постановка некоторых . . .
2
Введение в вариационный метод
0 0
где ? — натяжение струны. Уравнение Эйлера–Лагранжа

Кинетическая энергия струны выражается интегралом Приложения
Обобщения
l
Задачи на условный экстремум
1
?ut2 dx ,
T= Первое необходимое условие . . .
2
0 Семейства экстремалей
Динамика частиц
где ? — (линейная) плотность струны.
Проблема минимума . . .
Согласно вариационному принципу Гамильтона колебания u(x, t) струны на вре-
Существование минимума . . .
менном интервале [t1 , t2 ] являются экстремалями функционала
Лемма Гейне-Бореля
t2
Веб – страница
(T ? V ) dt ,
I=
t1 Титульный лист

т.е. функционала
t2 l
1
(?ut2 ? ? ux ) dxdt .
2
I=
2
t1 0 Страница 72 из 197
Уравнение Эйлера для данного функционала ведет к хорошо известному волно-
Назад
вому уравнению
Полный экран
?2u ?2u
? ? ?
= a2 2 ,
?ut ? ?
? ux = 0 a= .
?t2
?t ?x ?x ? Закрыть

Выход
5.5.2. Экстремали тройного интеграла
5.5.2.1. Уравнение Эйлера Рассмотрим тройной интеграл
Постановка некоторых . . .
(5.22)
I= F (x, y, z, u, ux , uy , uz ) dxdydz
Введение в вариационный метод
D Уравнение Эйлера–Лагранжа
по области D пространства xyz. Функция Лагранжа F считается дважды непрерыв- Приложения
но дифференцируемой. Область D считается замкнутой и ограниченной, с границей, Обобщения
состоящей из конечного числа гладких замкнутых поверхностей, ориентированных Задачи на условный экстремум
стандартно (т.е. фиксируется внешняя сторона поверхности). Первое необходимое условие . . .
Нас интересует дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять Семейства экстремалей
дважды непрерывно дифференцируемая функция u(x, y, z), доставляющая интегра- Динамика частиц
лу (5.22) экстремальное значение. Предполагается, что функция u принимает на
Проблема минимума . . .
границе области ?D заданные значения:
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
(x, y, z) ? ?D . (5.23)
u(x, y, z) = f (x, y, z) ,
?D
Веб – страница
Как и ранее, будем считать, что u(x, y, z) — функция, доставляющая решение
поставленной задаче, и введем однопараметрическое семейство функций сравнения Титульный лист

U (x, y, z) = u(x, y, z) + t?(x, y, z) ,
где вариация функции ? является непрерывно дифференцируемой функцией, удо-
влетворяющей нулевым граничным условиям
Страница 73 из 197
(5.24)
?(x, y, z) = 0.
?D Назад
Заменяя u в интеграле на U , приходим к функции одной вещественной переменной
Полный экран

I(t) = F (x, y, z, U, Ux , Uy , Uz ) dxdydz Закрыть
D
Выход
с условием экстремальности при t = 0:

I (0) = 0 .
Постановка некоторых . . .
Согласно теореме дифференцирования интеграла, зависящего от параметра
Введение в вариационный метод

?F ?F ?F ?F Уравнение Эйлера–Лагранжа
·?+ · ?x + · ?y + · ? dxdydz .
I (t) =
?Uz z Приложения
?U ?Ux ?Uy
D Обобщения
Задачи на условный экстремум
При t = 0 получаем равенство
Первое необходимое условие . . .
?F ?F ?F ?F Семейства экстремалей
·?+ · ?x + · ?y + · ? dxdydz = 0 . (5.25)
?uz z
?u ?ux ?uy Динамика частиц
D
Проблема минимума . . .
Воспользуемся формулой Гаусса–Остроградского Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?P ?Q ?R
+ + dxdydz = P dydz + Q dxdz + R dxdy .
?x ?y ?z Веб – страница
D ?D
Титульный лист
Тогда

? ?F ? ?F ? ?F
·? + ·? + ·? dxdydz
?x ?ux ?y ?uy ?z ?uz
D
Страница 74 из 197
?F ?F ?F

<< Предыдущая

стр. 12
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>