<< Предыдущая

стр. 13
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

· ? dydz + · ? dxdz + · ? dxdy ,
=
?ux ?uy ?uz Назад
?D

откуда в силу нулевых граничных условий для функции ? (что обращает в ноль Полный экран

Закрыть

Выход
интеграл по границе области)

?F ?F ?F
· ?x + · ?y + · ? dxdydz
?uz z
?ux ?uy Постановка некоторых . . .
D
Введение в вариационный метод
? ?F ? ?F ? ?F
=? · ? dxdydz .
+ + Уравнение Эйлера–Лагранжа
?x ?ux ?y ?uy ?z ?uz
Приложения
D
Обобщения
Учет последнего равенства в (5.25) ведет к равенству
Задачи на условный экстремум
?F ? ?F ? ?F ? ?F Первое необходимое условие . . .
? ? ? · ? dxdydz = 0 ,
?u ?x ?ux ?y ?uy ?z ?uz Семейства экстремалей
D
Динамика частиц
и, в силу основной леммы (ввиду произвольности ?), — к уравнению Эйлера Проблема минимума . . .
?F ? ?F ? ?F ? ?F Существование минимума . . .
? ? ? (5.26)
= 0.
?u ?x ?ux ?y ?uy ?z ?uz Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
5.5.2.2. Естественное условие на границе Расширяя результат предыдущего
пункта на случай отсутствия условий на границе области, приходим к равенствам Титульный лист

?F ?F ?F
· ? dydz + · ? dxdz + · ? dxdy
?ux ?uy ?uz
?D
?F ?F ?F
· cos ? + · cos ? + · cos ? ? dS = 0 ,
= Страница 75 из 197
?ux ?uy ?uz
?D
Назад
откуда в силу основной леммы
Полный экран
?F ?F ?F
· cos ? + · cos ? + · cos ? (5.27)
= 0.
?ux ?uy ?uz Закрыть
?D

Выход
6. Задачи на условный экстремум
6.1. Изопериметрическая задача
Постановка некоторых . . .
6.1.1. Простейшая изопериметрическая задача
Введение в вариационный метод
Пусть кривая y = y(x) с фиксированными концами Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 , Обобщения
Задачи на условный экстремум
является решением следующей задачи. Интеграл
Первое необходимое условие . . .
x2 Семейства экстремалей
I= F (x, y, y ) dx Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x1
Существование минимума . . .
достигает на этой кривой своего минимального (максимального) значения, причем Лемма Гейне-Бореля
интеграл
x2
Веб – страница
J= G(x, y, y ) dx
Титульный лист
x1

обладает заранее заданным значением. Функции F, G и y считаются дважды непре-
рывно дифференцируемыми. Какому дифференциальному уравнению должна удо-
влетворять кривая y?
В отличие от предыдущих задач при варьировании функции y, считая, что функ- Страница 76 из 197
ция y удовлетворяет поставленной задаче, не достаточно однопараметрического се-
мейства, поскольку изменение одного единственного параметра будет, вообще гово- Назад
ря, изменять интеграл J.
Итак, введем двухпараметрическое семейство Полный экран

Закрыть
Y (x) = y(x) + t1 ?1 (x) + t2 ?2 (x) ,
Выход
где ?1 , ?2 — непрерывно дифференцируемые функции, причем
?1 (x1 ) = ?1 (x2 ) = ?2 (x1 ) = ?2 (x2 ) = 0 .
Постановка некоторых . . .
Нулевые граничные условия на вариации ?1 , ?2 обеспечивают выполнение равенств
Введение в вариационный метод
Y (x1 ) = y1 , Y (x2 ) = y2 . Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Замещая y на Y в интегралах I и J, получаем две функции от двух вещественных
Обобщения
переменных каждая:
Задачи на условный экстремум
x2
Первое необходимое условие . . .
I(t1 , t2 ) = F (x, Y, Y ) dx , Семейства экстремалей
x1 Динамика частиц
x2
Проблема минимума . . .
J(t1 , t2 ) = G(x, Y, Y ) dx , Существование минимума . . .
x1 Лемма Гейне-Бореля

где, как всегда, Y = y + t1 ?1 + t2 ?2 , функции ?1 , ?2 — фиксированы. Ясно, что Веб – страница
параметры t1 и t2 не являются независимыми, т.к. интеграл J сохраняет постоянное
значение: Титульный лист
J(t1 , t2 ) = J0 = Const .
Вместе с тем при t1 = t2 = 0 интеграл I достигает своего экстремального значения.
Мы видим, что поставленная выше задача на экстремум функции I(t1 , t2 ) при
условии постоянства функции J(t1 , t2 ) является типичной задачей на условный экс-
Страница 77 из 197
тремум.
Согласно методу Лагранжа решения задач на условный экстремум введем функ-
Назад
цию Лагранжа
Полный экран
x2

K(t1 , t2 , ?) = I(t1 , t2 ) + ?J(t1 , t2 ) = H(x, Y, Y ) dx , Закрыть
x1
Выход
где H = F + ?G. Переменная ? называется множителем Лагранжа. Правило мно-
жителей Лагранжа утверждает, что экстремальные значения исходной задачи на
условный экстремум являются решениями системы:
Постановка некоторых . . .
?K ?K
= 0, = 0, J = J0 . Введение в вариационный метод
?t1 ?t2 Уравнение Эйлера–Лагранжа

Вычисляя Приложения
Обобщения
x2 x2
?K ?H ?Y ?H ?Y ?H ?H Задачи на условный экстремум
· · · ?j + · ?j dx ,
= + dx =
?tj ?Y ?tj ?Y ?tj ?Y ?Y Первое необходимое условие . . .
x1 x1
Семейства экстремалей

j = 1, 2; при t1 = t2 = 0 находим Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x2
Существование минимума . . .
?K ?H ?H
· ?j + · ?j dx = 0 .
= Лемма Гейне-Бореля
?tj ?y ?y
t1 =t2 =0
x1
Веб – страница
Интегрируя по частям во вторых слагаемых и учитывая обращение в ноль внеинте-
Титульный лист
гральных членов (в силу нулевых граничных условий для функций ?j ), приходим к
равенствам
x2
?H d ?H
? ?j dx = 0 .
?y dx ?y
x1
Страница 78 из 197
В силу произвольности функций ?j эти равенства, по-сути, эквивалентны и согласно
основной лемме введут к уравнению Эйлера–Лагранжа Назад

?H d ?H Полный экран
? = 0.
?y dx ?y
Закрыть

Выход
6.1.2. Прямые обобщения
6.1.2.1. Несколько условий В более общих изопериметрических задачах прихо-
дится искать экстремали функционала
Постановка некоторых . . .
x2 Введение в вариационный метод

I= F (x, y, y ) dx Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
x1
Обобщения
при условии, что интегралы Задачи на условный экстремум
x2 Первое необходимое условие . . .

Jk = Gk (x, y, y ) dx , (k = 1, 2, . . . , n) , Семейства экстремалей
Динамика частиц
x1
Проблема минимума . . .
сохраняют заданные значения. Вводя (n + 1)-параметрическое семейство функций Существование минимума . . .
сравнения Y = y + tj ?j , мы как и выше придем к уравнению Эйлера–Лагранжа Лемма Гейне-Бореля
для функции Лагранжа
n Веб – страница
H=F + ?k Gk ,
Титульный лист
k=1

зависящей от n множителей Лагранжа.

6.1.2.2. Свободные концы Если разрешить концам экстремалей передвигаться
по заданным кривым, мы как и в безусловной вариационной задаче придем к услови-
Страница 79 из 197
ям трансверсальности для каждого свободного конца, но, разумеется, относительно
функции Лагранжа H, зависящей от множителей Лагранжа. Назад


6.1.2.3. Несколько функций Наконец, имеется прямое обобщение для задач Полный экран

с несколькими искомыми функциями, ведущее к системе уравнений Эйлера–
Закрыть
Лагранжа для функции Лагранжа H.
Выход
6.1.3. Задача Дидоны
6.1.3.1. Параметрическая форма Рассмотрим задачу об отыскании плоской за-
мкнутой кривой заданной длины, ограничивающей наибольшую площадь. Сама по-
Постановка некоторых . . .
становка задачи диктует поиск таких кривых в параметрической форме
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x = x(t) ,
t ? [t1 , t2 ] , Приложения
y = y(t) .
Обобщения
где Задачи на условный экстремум
x(t1 ) = x(t2 ) = x1 , y(t1 ) = y(t2 ) = y2 . Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Искомые кривые должны доставлять наибольшее значение интегралу
Динамика частиц
t2 Проблема минимума . . .
1
(xy ? xy) dt ,
I= ?? Существование минимума . . .
2
Лемма Гейне-Бореля
t1

при условии, что их длина Веб – страница
t2
Титульный лист
x2 + y 2 dt
J= ? ?
t1
задана.
Система уравнений Эйлера–Лагранжа имеет вид
Страница 80 из 197
?H d ?H ?H d ?H
? ?
= 0, = 0,
?x dt ? x
? ?y dt ? y
? Назад
где
xy ? xy
?? Полный экран
x2 + y 2 .
H= +? ? ?
2
Закрыть

<< Предыдущая

стр. 13
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>