<< Предыдущая

стр. 14
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Выход
Вычисляем:
y
? d y ?x
?
? ?+ = 0,
2 dt 2 x2 + y 2
? ? Постановка некоторых . . .
x
? dx ?y
? Введение в вариационный метод
? ? + = 0.
2 dt 2 x2 y2
? + ? Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Отсюда легко находим первые интегралы системы Обобщения
Задачи на условный экстремум
?x
?
y? = C1 , Первое необходимое условие . . .
x2 + y 2
? ?
Семейства экстремалей
?y
?
x+ = C2 . Динамика частиц
x2 + y 2
? ?
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Система легко интегрируется
Лемма Гейне-Бореля
22 22
?x? ?y
?
(x ? C2 )2 + (y ? C1 )2 = = ?2 ,
+2 Веб – страница
x2 2 x + y2
? +y ? ? ?
Титульный лист
Таким образом искомые кривые являются окружностями

(x ? x0 )2 + (y ? y0 )2 = ?2 ,

где 2?? = J.
Страница 81 из 197
6.1.3.2. Упражнение Вернемся к исходной постановке задачи Дидоны, см. стр. 15.
Назад
В силу свойства инвариантности, см. стр. 57, экстремалью будет дуга окружности,
проходящая через точки P1 и P2 . Полный экран
Найдите центр и радиус этой окружности.
Закрыть

Выход
6.2. Задача Лагранжа
6.2.1. Простейший случай
Рассмотрим еще один вид вариационных задач на условный экстремум, называемых Постановка некоторых . . .
задачами Лагранжа. Пусть пространственная кривая y = y(x) , z = z(x), соеди- Введение в вариационный метод
няющая фиксированные точки P1 (x1 , y1 , z1 ) и P2 (x2 , y2 , z2 ) и лежащая на данной Уравнение Эйлера–Лагранжа
поверхности, заданной уравнением Приложения
Обобщения
(6.1)
G(x, y, z) = 0 ,
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
доставляет минимум интегралу
Семейства экстремалей
x2
Динамика частиц
(6.2)
I= F (x, y, z, y , z ) dx . Проблема минимума . . .
x1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Какому дифференциальному соотношению должны подчиняться функции y и z?
Мы будем полагать функции y, z, F, G — дважды непрерывно дифференцируе- Веб – страница
мыми и считать, что производные
Титульный лист
?G ?G
и (6.3)
?y ?z
не обращаются в ноль одновременно.
Заметим, что если поверхность (6.1) может быть описана явно уравнением
Страница 82 из 197

z = z(x, y) , Назад

то поставленная задача сводится к простейшей задаче вариационного исчисления. Полный экран
Однако практически более полезен прием, стандартный для задач на условный экс-
тремум. Закрыть

Выход
Теорема 6.1 (Метод Лагранжа). Существует функция ?(x) такая, что кривая
y = y(x) , z = z(x) является экстремалью задачи на безусловный экстремум
функционала
x2
Постановка некоторых . . .
(F ? ?G) dx .
J= Введение в вариационный метод
x1 Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Доказательство. Пусть кривая y = y(x) , z = z(x) является решением задачи
Лагранжа. Построим, как всегда, однопараметрическое семейство сравнимых кривых Обобщения
Y = y+t? , Z = z+t?, где функции ? и ? являются непрерывно дифференцируемыми, Задачи на условный экстремум
удовлетворяющими нулевым граничным условиям. Получим функции переменной t: Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
x2
Динамика частиц
I(t) = F (x, Y, Z, Y , Z ) dx ,
Проблема минимума . . .
x1
Существование минимума . . .
g(t) = G(x, Y, Z) ,
Лемма Гейне-Бореля
причем
Веб – страница
g(t) ? 0 .
I (0) = 0 ,
Тогда Титульный лист

x2
?F ?F ?F ?F
·?+ ·? + ·? + ·?
I (0) = dx
?y ?z ?y ?z
x1
x2 Страница 83 из 197
?F d ?F ?F d ?F
? ?
= ?+ ? dx = 0 ,
?y dx ?y ?z dx ?z Назад
x1

причем тождественно по x Полный экран

?G ?G Закрыть
·?+ · ? = 0.
g (0) =
?y ?z
Выход
Последнее означает, что функции ? и ? не являются произвольными. Фиксируем
произвольно точку x0 внутри интервала [x1 , x2 ]. Предположим, для определенности,
что в этой точке, а значит, в некоторой окрестности (x0 ? ?, x0 + ?) этой точки
Постановка некоторых . . .
?G
= 0. Введение в вариационный метод
?z Уравнение Эйлера–Лагранжа

Выберем функцию ? произвольно так, чтобы вне окрестности (x0 ? ?, x0 + ?) она Приложения
тождественно обращалась в ноль. При этом функция ? определяется равенством Обобщения
Задачи на условный экстремум
?G
?y Первое необходимое условие . . .
?=? ·?.
?G
Семейства экстремалей
?z
Динамика частиц
Подстановка в вариацию I (0) дает Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
x0 +? ?G
?F d ?F ?F d ?F
?y Лемма Гейне-Бореля
? ? ? ? dx = 0 .
?G
?y dx ?y ?z dx ?z
?z
x0 ?? Веб – страница

В силу основной леммы в окрестности точки x0 выражение в фигурных скобках Титульный лист
обращается в ноль, т.е.
?F d ?F
? ?F d ?F
?
?y dx ?y ?z dx ?z
= .
?G ?G
?y ?z
Страница 84 из 197
В виду произвольности выбора точки x0 , выписанное равенство выполняется при
всех x из интервала [x1 , x2 ]. Остается положить Назад

?F d ?F Полный экран
? ?F d ?F
?
?y dx ?y ?z dx ?z
?(x) = =
?G ?G
Закрыть
?y ?z

Выход
и переписать эту систему в виде

?F ?G d ?F ?F ?G d ?F
??· ? ??· ?
= 0, = 0,
?y ?y dx ?y ?z ?z dx ?z Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
но это и есть уравнения Эйлера для функционала J ввиду независимости G от
Уравнение Эйлера–Лагранжа
производных.
Приложения
Обобщения
6.2.2. Отыскание геодезических
Задачи на условный экстремум
В качестве приложений, посмотрим на задачу об отыскании геодезических как на Первое необходимое условие . . .
задачу Лагранжа. Иначе говоря, рассмотрим задачу о наименьшем значении инте- Семейства экстремалей
грала Динамика частиц
x2
Проблема минимума . . .
1 + y 2 + z 2 dx
I=
Существование минимума . . .
x1
Лемма Гейне-Бореля
при условии
G(x, y, z) = 0 . Веб – страница

По правилу множителей Лагранжа эта задача сводится к задаче на безусловный Титульный лист
экстремум функционала
x2

[ 1 + y 2 + z 2 ? ?G] dx .
J=
x1
Страница 85 из 197

Уравнения Эйлера для последнего дадут Назад

?G d y ?G d z
? + = 0, ? + = 0. Полный экран
?y dx ?z dx
2 2 2 2
1+y +z 1+y +z
Закрыть

Выход
Напомним, что вектор
1 y z
>
?=
? , ,
1+y2+z2 1+y2+z2 1+y2+z2 Постановка некоторых . . .
является единичным касательным вектором к кривой Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
y = y(x) , z = z(x) .
Приложения
Далее, в силу ? 2 = 1,
>
? Обобщения
2? · ? = 0 ,
>>
? ? Задачи на условный экстремум

откуда Первое необходимое условие . . .
? = ?? ,
> >
? n Семейства экстремалей

где ? — единичный вектор, перпендикулярный к кривой и называемый вектором
> Динамика частиц
n
Проблема минимума . . .
главной нормали, а ? — кривизна кривой. Уравнения Эйлера примут вид
Существование минимума . . .
?G ?G
? + ?n2 = 0 , ? + ?n3 = 0 . Лемма Гейне-Бореля
?y ?z
Веб – страница
Заметим, также, что grad G является вектором, ортогональным к поверхности

<< Предыдущая

стр. 14
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>