<< Предыдущая

стр. 15
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

G = 0 и, в частности, перпендикулярным к вектору ? :
>
? Титульный лист
?G ?G ?G
·y + · z = 0.
+
?x ?y ?z
Уравнения Эйлера ведут к пропорциональности векторов grad G и ? . Действитель-
>n
но, иначе вектор
grad G ? ?
> Страница 86 из 197
n
был бы ненулевым и параллельным вектору ? , но это не так в ввиду
>
? Назад

?G ?G
(grad G ? ? )1 =
> Полный экран
n2 ?
n n3 = 0 , ?1 = 0 .
?y ?z
Закрыть
Итак, главные нормали к геодезическим совпадают с нормалями к поверхности.
Выход
6.2.3. Общий случай
В общем случае задача Лагранжа ставится так. Найти минимизирующие функции
y1 , . . . , yn интеграла
Постановка некоторых . . .
x2
Введение в вариационный метод
(6.4)
I= F (x, y1 , . . . , yn , y1 , . . . , yn ) dx Уравнение Эйлера–Лагранжа
x1 Приложения
при условии, что Обобщения
?
?G1 (x, y1 , . . . , yn , y1 , . . . , yn ) = 0 , Задачи на условный экстремум
?
. .
?
. . (6.5) Первое необходимое условие . . .
. .
Семейства экстремалей
?
?
?G (x, y , . . . , y , y , . . . , y ) = 0 .
k 1 n1 n
Динамика частиц
k < n. Проблема минимума . . .
Уравнения (6.5) носят название связей. Если функции G1 , . . . , Gk не зависят от Существование минимума . . .
производных, так что условия (6.5) имеют вид
Лемма Гейне-Бореля
?
?G1 (x, y1 , . . . , yn ) = 0 ,
? Веб – страница
. .
?
. . (6.6)
. .
Титульный лист
?
?
?G (x, y , . . . , y ) = 0 ,
k 1 n
связи называются голономными.
Как и выше, будем считать, что y1 , . . . , yn являются решениями поставленной
задачи и введем функции для сравнения
Y1 = y1 + t?1 , . . . , Yk = yk + t?k , Страница 87 из 197

считая, что вариации ?1 , . . . , ?k являются непрерывно дифференцируемыми и удовле- Назад
творяющими нулевым граничным условиям. Получим задачу на минимум функции
Полный экран
x2

I(t) = F (x, Y1 , . . . , Yn , Y1 , . . . , Yn ) dx Закрыть
x1
Выход
при условиях
g1 (t) = 0 , . . . , gk (t) = 0 ,
где
Постановка некоторых . . .
gj (t) = G(x, Y1 , . . . , Yk , Y1 , . . . , Yk ) (j = 1, . . . , k) .
Введение в вариационный метод
При t = 0 находим
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x2
Приложения
?F ?F ?F ?F
· ?1 + · · · + · ?n + · ?1 + · · · + · ? dx = 0 ,
I (0) = Обобщения
?yn 1
?y1 ?yn ?y1
x1 Задачи на условный экстремум

при условиях Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
?Gj ?Gj ?Gj ?Gj
·?1 +· · ·+ ·?n + ·?1 +· · ·+ ·? = 0 (j = 1, . . . , k) . (6.7)
gj (0) = Динамика частиц
?yn n
?y1 ?yn ?y1
Проблема минимума . . .
Поскольку равенства (6.7) являются тождественными по x, мы можем умножить их Существование минимума . . .
соответственно на пока произвольные функции ?j (x) и отнять от подынтегральной Лемма Гейне-Бореля
функции в интеграле I (0). Получим равенство
Веб – страница
x2
?H ?H ?H ?H
· ?1 + · · · + · ?n + · ?1 + · · · + · ? dx = 0 , (6.8) Титульный лист
?yn 1
?y1 ?yn ?y1
x1

где по определению
k
H=F ? ? j · Gj .
Страница 88 из 197
j=1

Проинтегрируем по частям в равенстве (6.8), считая функции ?j в случае неголо- Назад
номных связей непрерывно дифференцируемыми. Тогда
Полный экран
x2 n
?H d ?H
? (6.9)
?i dx = 0 . Закрыть
?yi dx ?yi
x1 i=1
Выход
К сожалению, в силу (6.7) вариации ?1 , . . . , ?n нельзя считать независимыми. В
случае неголономных связей будем считать, что

?Gj Постановка некоторых . . .
(6.10)
rank = k.
?yi Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
В случае голономных связей условия (6.7) примут вид
Приложения
?Gj ?Gj Обобщения
· ?1 + · · · + · ?n = 0 (6.11)
(j = 1, . . . , k)
?y1 ?yn Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
и мы будем считать, что
Семейства экстремалей
?Gj
(6.12)
rank = k. Динамика частиц
?yi
Проблема минимума . . .
Для удобства дальнейшего изложения перенумерацией переменных y1 , . . . , yn до- Существование минимума . . .
бьемся, чтобы при i k Лемма Гейне-Бореля
?Gj
(6.13)
det = 0,
?yi Веб – страница

а в случае голономных связей, чтобы при i k Титульный лист

?Gj
(6.14)
det = 0.
?yi

В обоих случаях это позволит считать вариации ?1 , . . . , ?k функциями от уже про-
извольных вариаций ?k+1 . . . , ?n . Страница 89 из 197

Определим теперь функции ?1 , . . . , ?k так, чтобы при i = 1, . . . , k были выполне-
Назад
ны равенства
?H d ?H
? = 0. Полный экран
?yi dx ?yi
Закрыть

Выход
Это возможно в силу выполнения условий (6.13) или (6.14) соответственно. Действи-
тельно, в с случае голономных связей мы должны решить алгебраическую систему
k
?Gj ?F d ?F Постановка некоторых . . .
· ?j = ? (i = 1, . . . , k) ,
?yi ?yi dx ?yi Введение в вариационный метод
j=1
Уравнение Эйлера–Лагранжа
а в случае неголономных связей — систему линейных дифференциальных уравнений Приложения
Обобщения
k k
?Gj ?Gj d ?Gj ?F d ?F Задачи на условный экстремум
· ?j = ? ?j ? + (i = 1, . . . , k) .
?yi ?yi dx ?yi ?yi dx ?yi Первое необходимое условие . . .
j=1 j=1
Семейства экстремалей
С учетом выбора функций ?j условия на экстремум (6.9) примут вид Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x2 n
?H d ?H Существование минимума . . .
? ?i dx = 0 ,
?yi dx ?yi Лемма Гейне-Бореля
x1 i=k+1
Веб – страница
где на этот раз функции ?i — произвольны. В силу основной леммы заключаем, что
равенства Титульный лист
?H d ?H
? =0
?yi dx ?yi
выполнены и при i = k + 1, . . . , n.
Итак, правило множителей Лагранжа в общем случае можно сформулировать как
Страница 90 из 197
теорему существования функций ?1 , . . . , ?k таких, что решения задачи Лагранжа на
условный экстремум являются экстремалями функционала
Назад
x2
Полный экран
J= H dx
Закрыть
x1

Выход
с функцией Лагранжа
k
H=F ? ?j · Gj .
j=1 Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 91 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Часть II
Достаточные условия экстреммума
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Первое необходимое условие
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Замечание о достаточных условиях Приложения
Обобщения
Первое необходимое условие
Задачи на условный экстремум
Семейства экстремалей
Первое необходимое условие . . .
Теорема включения Семейства экстремалей
Канонические уравнения Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Инвариантный интеграл Гильберта
Существование минимума . . .
Теорема об огибающей и необходимое условие экстремума Лемма Гейне-Бореля

<< Предыдущая

стр. 15
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>