<< Предыдущая

стр. 16
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Вторая вариация интегрального функционала
Веб – страница
Аналитический вариант условия Якоби
Титульный лист
Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра
Понятие поля экстремалей
Достаточные условия Вейерштрасса
Уравнение Гамильтона–Якоби Страница 92 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Часть I. Необходимые условия экстремума
Часть III. Приложения
Предметный указатель Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 93 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
7. Первое необходимое условие экстремума
7.1. Замечание о достаточных условиях
Постановка некоторых . . .
Мы хотим в дальнейшем немного коснуться вопроса о достаточных условиях. Общее
Введение в вариационный метод
положение здесь такое. В отличии от одномерного случая условия
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
I (0) > 0
Обобщения
на стационарной точке не достаточно для существования минимума. Напомним, как Задачи на условный экстремум
решался вопрос о достаточных условиях минимума в случае функций нескольких Первое необходимое условие . . .
переменных. Если функция f (x) , x ? Rn , дважды дифференцируема, то Семейства экстремалей
Динамика частиц
1
f (x + h) = f (x) + f (x)h + f (x)h2 + o(|h|2 ) , Проблема минимума . . .
2
Существование минимума . . .
где
Лемма Гейне-Бореля
f (x)h = l|h ,
Веб – страница
l — градиент функции f в точке x и
Титульный лист
f (x)h2 = Hh|h ,

H — матрица Гесса (матрица вторых частных производных) в точке x. Если точка
x стационарна (т.е. l = 0), а матрица Гесса положительно определена, т.е.

?|h|2 ,
?h : Hh|h ? > 0, Страница 94 из 197


то Назад
2
f (x + h) ? f (x) (? ? ?)|h| ,
Полный экран
где ? можно сделать сколь угодно малым, в частности, меньше чем ?, если h доста-
точно мало. Закрыть

Выход
Описанные оценки, очевидно, не зависят от размерности пространства и мо-
гут быть повторены с соответствующими изменениями и в случае интегральных
функционалов, если мы надлежащим образом превратим пространство функций y в
унитарное (т.е. введем в нем скалярное произведение) или, хотя бы, нормированное. Постановка некоторых . . .
Следует отметить, что не любая норма на множестве функций y годится для Введение в вариационный метод
такого анализа в вариационном исчислении. Например, заведомо не подходит, каза- Уравнение Эйлера–Лагранжа
лось бы, естественная норма вида Приложения
Обобщения
y = max |y(x)| + max |y (x)| ,
x x Задачи на условный экстремум

так как неравенство Первое необходимое условие . . .
? 2 I[?] 2
?? , ? > 0, Семейства экстремалей
Динамика частиц
не может выполняться для интегральных функционалов при произвольных вариаци-
Проблема минимума . . .
ях ?, см., например, [2].
Существование минимума . . .
Конечно, можно указать интегральные нормы, для которых описанные выше
Лемма Гейне-Бореля
оценки уже будут иметь место, тем не менее имеется существенный недостаток
описанного выше подхода. Именно, в таком виде он не всегда удобен для приложе- Веб – страница
ний: проверка дифференцируемости (дважды) по Фреше и проверка положительной
определенности второй вариации могут быть вполне содержательными задачами. Титульный лист
Хочется располагать более эффективным критерием достаточности. Вспомним, что
даже в случае функций нескольких переменных условие положительной определен-
ности матрицы Гесса формулировалось в форме, удобной для проверки.
В вопросе о достаточных условиях мы встанем на другой путь. Анализируя более
внимательно задачу, мы постараемся накопить некоторое число необходимых усло- Страница 95 из 197
вий минимума, надеясь, что их количество на некотором этапе перейдет в качество
и они составят достаточное условие минимума. Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
7.2. Первое необходимое условие
Вернемся к анализу первой вариации интегрального функционала I,
x2 Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
(7.1)
I= F (x, y, y ) dx .
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x1
Приложения
Расширим несколько класс допустимых кривых, считая, что функция y(x) являет- Обобщения
ся непрерывной и кусочно гладкой (кусочно непрерывно дифференцируемой), т.е. Задачи на условный экстремум
кривая y = y(x) может иметь угловые точки. Функцию F (x, y, z) можно вначале Первое необходимое условие . . .
считать просто непрерывно дифференцируемой. Заметим, что хотя функция y яв- Семейства экстремалей
ляется разрывной в угловых точках, интеграл I существует как интеграл Римана.
Динамика частиц
Что в этом случае можно сказать о функции y(x), на которой функционал I
Проблема минимума . . .
достигает наименьшего значения?
Существование минимума . . .
Как и ранее, фиксируем вариацию функции y, в данном случае — непрерывную,
Лемма Гейне-Бореля
кусочно гладкую функцию ?, обращающуюся в ноль на концах интервала [x1 , x2 ],
— и составим интеграл Веб – страница

x2
Титульный лист
I(t) = F (x, y + t?, y + t? ) dx .
x1

Функция I(t) при t = 0 достигает минимума. Как следствие,
Страница 96 из 197
I (0) = 0 ,
Назад
где как и ранее
x2
?F ?F Полный экран
(7.2)
I (0) = ?+ ? dx .
?y ?y
Закрыть
x1

Выход
Теперь, однако, в отличие от ранее проведенной процедуры, мы будем интегри-
ровать по частям не во втором, а в первом слагаемом! Введем функцию
x x
?F Постановка некоторых . . .
dx ? (7.3)
?(x) = Fy (u, y(u), y (u)) du , Введение в вариационный метод
?y
x1 x1 Уравнение Эйлера–Лагранжа

тогда Приложения
x2 x2 x2
x2 Обобщения
?F
?
? dx = ?(x) d?(x) = ?? ?? dx , Задачи на условный экстремум
?y x1
x1 x1 x1 Первое необходимое условие . . .

откуда, в силу нулевых граничных условия для функции ?, находим Семейства экстремалей
Динамика частиц
x2
Проблема минимума . . .
?F
? ? ? dx = 0 . (7.4)
I (0) = Существование минимума . . .
?y
x1 Лемма Гейне-Бореля

Теперь мы можем применить лемму Дюбуа-Реймона 2.2 и получить уравнение Веб – страница

x
Титульный лист
?F ?F
? (7.5)
dx = C , C = Const .
?y ?y
x1

Мы назовем его первым необходимым условием.
Из этого уравнения вытекают три следствия. Страница 97 из 197

Следствие 7.1 (Уравнение Эйлера). На каждой части минимизирующей кривой Назад
y(x), лежащей между двумя соседними угловыми точками, функция
Полный экран
?F
?y Закрыть

Выход
имеет производную, которая удовлетворяет уравнению Эйлера

d ?F ?F
? = 0.
dx ?y ?y Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Доказательство. Достаточно воспользоваться свойствами интеграла (от непре-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
рывной функции) как функции верхнего предела и продифференцировать равен-
Приложения
ство (7.5) по x.
Обобщения
Следствие 7.2 (Условие Вейерштрасса-Эрдмана). Для каждого значения x0 , со- Задачи на условный экстремум
ответствующего угловой точке минимизирующей кривой y = y(x), правый и Первое необходимое условие . . .
левый пределы функции Семейства экстремалей
?F
? Fy (x, y(x), y (x)) Динамика частиц
?y
Проблема минимума . . .
совпадают: Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Fy (x0 , y(x0 ), y (x0 ? 0)) = Fy (x0 , y(x0 ), y (x0 + 0)) .
Веб – страница
Мы будем кратко записывать это в виде
Титульный лист
?F ?F
= .
?y ?y
x?0 x+0

Доказательство. Это опять вытекает из свойства непрерывности интеграла Римана
как функции верхнего предела.
Страница 98 из 197
Во многих задачах из этого условия следует, что минимизирующая кривая не
Назад
имеет угловых точек. Это будет, например, справедливо для всех задач, где функция
F имеет вид Полный экран
F (x, y, y ) = H(x, y) 1 + y 2 ,
Закрыть

Выход
в частности, в задаче о брахистохроне. Действительно, в этом случае
?F y
=H· ,
?y 1+y2 Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
что в силу условия Вейерштрасса–Эрдмана (и непрерывности H) ведет к равенству
Уравнение Эйлера–Лагранжа
y (x ? 0) y (x + 0) Приложения
= .
1 + y 2 (x ? 0) 1 + y 2 (x + 0) Обобщения
Задачи на условный экстремум
Но функция Первое необходимое условие . . .

<< Предыдущая

стр. 16
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>