<< Предыдущая

стр. 17
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

x
v Семейства экстремалей
1 + x2
Динамика частиц
является строго возрастающей:
Проблема минимума . . .
x 1 Существование минимума . . .
v = > 0.
(1 + x2 )3/2
1 + x2 Лемма Гейне-Бореля

Это влечет ее обратимость и, как следствие, равенство Веб – страница


y (x ? 0) = y (x + 0) , Титульный лист


т.е. непрерывную дифференцируемость функции y(x).
Следствие 7.3 (Условие Гильберта). Если функция F — дважды непрерывно диф-
ференцируема, то за исключением угловых точек и точек, где
Страница 99 из 197
2
?F
= 0, Назад
?y 2
Полный экран
минимизирующая функция y(x) также дважды непрерывно дифференцируема.
Более того, если функция F непрерывно дифференцируема n раз, то функция y Закрыть
также непрерывно дифференцируема n раз.
Выход
Доказательство. Фиксируем неугловую точку (x0 , y(x0 )) минимизирующей функ-
ции y = y(x). Заметим, что в окрестности точки x0 функция y (x) непрерывна.
Положим
?F
? ?(x) ? C , Постановка некоторых . . .
G(x, y, z) = F = F (x, y, z) ,
?z Введение в вариационный метод
где функция ? определена в (7.3), и пусть Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
(7.6)
H(x, u) = G(x, y(x), z) ,
Обобщения
Задачи на условный экстремум
где y(x) — минимизирующая функция. В силу двукратной дифференцируемости
функции F (в окрестности неугловой точки) функция H — непрерывно дифферен- Первое необходимое условие . . .
цируема. Если теперь Семейства экстремалей
?H Динамика частиц
=0
?z Проблема минимума . . .
в окрестности точки некоторой точки (x0 , z0 ), уравнение Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
H(x, z) = 0 ,
Веб – страница
по теореме о неявной функции, в окрестности точки x0 однозначно определяет функ-
Титульный лист
цию
z = z(x) ,
такую, что z(x0 ) = z0 , причем z(x) — непрерывно дифференцируема в окрестности
точки x0 . Напомним, что производная функции z может быть вычислена по формуле
Страница 100 из 197
?H
dz ?x
z1 = ? (7.7)
= z1 , ,
?H
dx Назад
?z

которая описывает функцию z как сложную Полный экран

z = z1 (x, z) , z = z(x) . Закрыть

Выход
Остается заметить, что
?2F
?H
=
?z 2
?z
и функция z = y (x) является, в силу (7.5), решением уравнения Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
H(x, z) = 0 , Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
в частности — в окрестности точки (x0 , y (x0 )) . Если в точке (x0 , y(x0 ), y (x0 ))
Обобщения
выполнено условие
Задачи на условный экстремум
?2F
= 0, Первое необходимое условие . . .
?y 2
Семейства экстремалей
то заключаем, что функция z = y (x) является как раз той однозначно определенной
Динамика частиц
непрерывно дифференцируемой функцией, существование которой гарантируется те-
Проблема минимума . . .
оремой о неявной функции. Но это в точности означает двукратную непрерывную
Существование минимума . . .
дифференцируемость функции y(x).
Лемма Гейне-Бореля
Если теперь функция F допускает трехкратное непрерывное дифференцирова-
ние, то функция H (7.6), в силу уже доказанной двукратной дифференцируемости Веб – страница
функции y, — дважды непрерывно дифференцируема. Как следствие, функция z1
непрерывно дифференцируема и в силу формулы (7.7), получим Титульный лист


d2 z ?z1 ?z1 dz
·
= + ,
dx2 ?x ?z dx
что доказывает трехкратную непрерывную дифференцируемость функции y.
Последнее рассуждение может быть воспроизведено с соответствующими из- Страница 101 из 197

менениями для доказательства четырехкратной непрерывной дифференцируемости
Назад
функции y, если функция F является непрерывно дифференцируемой четыре раза,
и т.д. Полный экран

Замечание 7.4. Условие Гильберта не применимо к угловым точкам, но в условиях Закрыть
следствия 7.3 функция y имеет односторонние пределы y (x ± 0) в угловых точках,
Выход
как это с очевидностью вытекает из развернутой формы уравнения Эйлера (3.14):
правая часть в равенстве
?2F ?2F ?F
·y + ? Постановка некоторых . . .
?y?y ?x?y ?y
y =? ?2F Введение в вариационный метод
?y 2
Уравнение Эйлера–Лагранжа
обладает указанным свойством. Приложения
Нетрудно получить еще одно уравнение, описывающее минимизирующую функ- Обобщения
цию y(x). Для этого запишем уравнение этой кривой в параметрическом виде Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
x=?,
? ? [x1 , x2 ] , Семейства экстремалей
y = y(? ) ,
Динамика частиц
и заметим, что эта кривая доставляет минимум интегралу Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
?2
Y Лемма Гейне-Бореля
I= F X, Y, X d?
X
?1 Веб – страница

среди всех кривых
Титульный лист
x = X(? ) ,
? ? [?1 , ?2 ] ,
y = Y (? ) ,
соединяющих концы кривой y = y(x) при условии X > 0, что является следствием
замены переменной x = X(? ) в интеграле I. Далее достаточно фиксировать
Страница 102 из 197
Y (? ) = y(? ) .
Назад
Получим интегральный функционал
Полный экран
?2

I[X] = G(?, X, X ) d? , Закрыть
?1
Выход
где
y
G(?, X, X ) = F X, y, X.
X
Выпишем для него первое необходимое условие (7.5): при X = ? (как следствие, Постановка некоторых . . .
?1 = x1 ) Введение в вариационный метод
?
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?G ?G
? d? = C , C = Const , Приложения
?X ?X
x1 Обобщения
откуда с учетом Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
?F ?y
?G ?G ?F
· ·X , ·X ,
=F + = Семейства экстремалей
?z X 2
?X ?X ?x
Динамика частиц
где правая часть равенства должна вычисляться в точке Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
y
(x, y, z) = X, y, , Лемма Гейне-Бореля
X
находим Веб – страница
?
?F y ?F
F? · ? · X d? = C , Титульный лист
C = Const ,
?z X ?x
x1

и окончательно, ввиду X = 1 и ? = x,
x
?F ?F Страница 103 из 197
F ?y · ? (7.8)
dx = C , C = Const .
?y ?x
x1 Назад

Мы назовем это равенство вторым вариантом первого необходимого условия. Полный экран
Как и выше из него вытекает:
Закрыть

Выход
Второй вариант уравнения Эйлера: каждый гладкий кусок минимизирующей кри-
вой удовлетворяет уравнению

d ?F ?F
F ?y Постановка некоторых . . .
(7.9)
= .
dx ?y ?x Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Второй вариант условия Вейерштрасса–Эрдмана: в угловых точках минимизи-
Приложения
рующей кривой y(x) функция F ? y Fy имеет равные между собой односто-
Обобщения
ронние пределы
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
F (x, y(x), y (x ? 0)) ? y (x ? 0)Fy (x, y(x), y (x ? 0))
Семейства экстремалей
= F (x, y(x), y (x + 0)) ? y (x + 0)Fy (x, y(x), y (x + 0)) . (7.10)
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 104 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
8. Семейства экстремалей
В анализе вариационных задач на предмет достаточных условий чрезвычайно важ-
ную роль играет понятие семейств экстремалей. Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод

8.1. Теорема включения Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Считая, что F — дважды непрерывно дифференцируемая функция, рассмотрим урав-
Обобщения
нение экстремалей — уравнение Эйлера–Лагранжа
Задачи на условный экстремум
d ?F ?F Первое необходимое условие . . .
? (8.1)
= 0.
dx ?y ?y Семейства экстремалей
Динамика частиц
В развернутом виде Проблема минимума . . .

?2F ?2F ?2F Существование минимума . . .
?F
·y + ·y + ? (8.2)
= 0. Лемма Гейне-Бореля

<< Предыдущая

стр. 17
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>