<< Предыдущая

стр. 18
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

2
?y ?y?y ?x?y ?y
Веб – страница
Определение 8.1. Экстремаль называется неособой или регулярной, если на всем
ее протяжении Титульный лист
?2F
= 0.
?y 2
Тогда уравнение (8.2) приводится к виду

(8.3)
y = f (x, y, y ) , Страница 105 из 197


где f — непрерывная функция: Назад

?2F ?2F ?F Полный экран
·y + ?
?y?y ?x?y ?y
f (x, y, y ) = ? .
?2F
Закрыть
?y 2

Выход
В силу теоремы существования для решений дифференциальных уравнений в
окрестности любой точки (x0 , y0 , z0 ) из области непрерывности функции f суще-
ствует решение уравнения (8.3). Однако общая теория дифференциальных уравне-
ний единственность такого решения гарантирует лишь при дополнительных ограни- Постановка некоторых . . .
чениях на функцию f ; достаточно, например, требовать непрерывной дифференциру- Введение в вариационный метод
емости функции f . Последнее можно гарантировать, считая функцию F непрерывно Уравнение Эйлера–Лагранжа
дифференцируемой три раза. Приложения
Если теорема существования и единственности решения задачи Коши для урав- Обобщения
нения (8.3) имеет место, то, как известно, его общее решение образует двухпара-
Задачи на условный экстремум
метрическое семейство решений
Первое необходимое условие . . .

y = y(x, ?, ?) , Семейства экстремалей
Динамика частиц
где ? и ? — постоянные интегрирования. Можно рассматривать параметры ? и ? Проблема минимума . . .
как переменные начальные данные y0 и z0 : Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
y(x0 ) = y0 = ? , y (x0 ) = z0 = ? .
Веб – страница
В этом случае, согласно теореме о гладкой зависимости решений дифференциальных
уравнений от начальных данных, функции y(x, ?, ?) и yx (x, ?, ?) будут являться Титульный лист
непрерывно дифференцируемыми (как функции трех переменных). Заметим также,
что фиксируя ? = y0 мы получим однопараметрическое семейство экстремалей,
проходящих через точку (x0 , y0 ).
Усилим это простое исследование до следующей теоремы.
Страница 106 из 197
Теорема 8.2 (Теорема включения). Всякая неособая экстремаль y = y(x) , x ?
[x1 , x2 ], в случае однозначной разрешимости задачи Коши для дифференциально- Назад
го уравнения Эйлера (8.3), содержится в двухпараметрическом семействе экс-
тремалей Полный экран
x ? [x1 ? ?, x2 + ?] , ? > 0 ,
y = y(x, ?, ?) ,
Закрыть
причем функции y и yx являются непрерывно дифференцируемыми.
Выход
Через каждую точку (x0 , y0 ) неособой экстремали проходит однопараметри-
ческое семейство экстремалей

y = y(x, ?) . Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Доказательство. В обосновании нуждается лишь область определения семейства.
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Построение семейства экстремалей было описано лишь в окрестности каждой точки
Приложения
x0 ? [x1 , x2 ]. Объединение всех этих окрестностей покрывает интервал [x1 , x2 ]. По
Обобщения
лемме Гейна–Бореля, см. дополнение B, уже некоторое конечное число таких окрест-
Задачи на условный экстремум
ностей будет покрывать интервал [x1 , x2 ]. Фиксируем такое конечное объединение.
Рассмотрим окрестность точки x1 и следующую за ней. В пересечении этих двух Первое необходимое условие . . .
соседних окрестностей локальные семейства экстремалей в силу теоремы существо- Семейства экстремалей
вания и единственности для дифференциальных уравнений обязаны совпадать. Это Динамика частиц
позволяет продолжить локальное семейство экстремалей с первой окрестности на Проблема минимума . . .
объединение ее со второй. Повторив этот процесс продолжения несколько раз мы Существование минимума . . .
за конечное число шагов достигнем второго конца экстремали y(x), включая ее в Лемма Гейне-Бореля
описанное теоремой семейство экстремалей, см. рис. 11.
Веб – страница
Замечание 8.3. При доказательстве теоремы была допущена определенная воль-
Титульный лист
ность речи. Строго говоря, следовало бы говорить об окрестностях точек
(x0 , y(x0 ), y (x0 )), которые покрывают кривую {(x, y(x), y (x)) | x ? [x1 , x2 ]}. Суть
доказательства при этом не меняется. Подобные оговорки следует иметь в виду и в
дальнейшем.

Страница 107 из 197
8.2. Канонические уравнения
Назад
В действительности специфика уравнения (8.3) позволяет доказать единственность
его решения без дополнительных предположений относительно гладкости функции Полный экран
F . То, как это делается имеет самостоятельное значение.
Закрыть

Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
y2
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
y(x)
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .

y1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




( ( ) )
x1 x2

Страница 108 из 197
Рис. 11: Продолжение решения
Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Итак, мы предполагаем далее двукратную непрерывную дифференцируемость
функции F и выполнение условия регулярности
?2F
(8.4)
= 0. Постановка некоторых . . .
?y 2 Введение в вариационный метод
Введем в рассмотрение функцию Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
?F
(8.5)
p= , p = p(x, y, y ) . Обобщения
?y
Задачи на условный экстремум
Функция p является непрерывно дифференцируемой и в силу условия (8.4) Первое необходимое условие . . .
?p Семейства экстремалей
= 0.
?y Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Отсюда и из теоремы о неявной функции заключаем, что в некоторой окрестно-
Существование минимума . . .
сти произвольной точки (x, y, y ) (из допустимой области) существует непрерывно
Лемма Гейне-Бореля
дифференцируемая функция
(8.6)
y = P (x, y, p) . Веб – страница
Заметим далее, что вдоль экстремали y = y(x) в силу уравнения Эйлера (8.1) и
Титульный лист
определения величины p
dp ?F ?F
= , = Fy (x, y, y ) .
dx ?y ?y
Полагая
Страница 109 из 197
Q(x, y, p) = Fy (x, y, P (x, y, p)) ,
приходим к системе уравнений Назад

? dy = P (x, y, p) ,
?
Полный экран
?
dx (8.7)
? dp Закрыть
= Q(x, y, p) ,
?
dx
Выход
которой удовлетворяет любая неособая экстремаль. Подчеркнем, что функции P и Q
являются непрерывно дифференцируемыми и, как следствие, система (8.7) удовле-
творяет теореме существования и единственности решения соответствующей задачи
Коши. Постановка некоторых . . .
Подчеркнем, также, что система (8.7) эквивалентна уравнению Эйлера– Введение в вариационный метод
Лагранжа. Действительно, если (y, p) является решением этой системы, то в силу Уравнение Эйлера–Лагранжа
определения функции P Приложения
Fy (x, y, P ) = p . Обобщения
Дифференцирование этого тождества по x ведет к уравнению Эйлера–Лагранжа: Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
d ?F dp ?F
= =Q= . Семейства экстремалей
dx ?y dx ?y Динамика частиц

По результатам предыдущего пункта заключаем, что y-составляющая решения Проблема минимума . . .

системы (8.7) порождает двухпараметрическое семейство экстремалей y = y(x, ?, ?). Существование минимума . . .
В качестве параметров семейства удобно выбрать начальные данные (y0 , p0 ), отне- Лемма Гейне-Бореля
сенные к некоторой точке x0 ? [x1 , x2 ]. Отметим следующее утверждение.
Веб – страница
Теорема 8.4. Определитель
Титульный лист
y? y?
yx? yx?
не равен нулю на всем протяжении регулярной экстремали y = y(x, ?0 , ?0 ).
Доказательство. Если y(x, ?, ?) , p(x, ?, ?) — двухпараметрическое семейство ре-
Страница 110 из 197
шений системы (8.7), то
Назад
?2F ? 2 F ?y
?p ? ?F ?y
· ·
p? = = = + = Fyy y? + Fy y yx?
?y?y ?? ?y 2 ??
?? ?? ?y Полный экран

и аналогично Закрыть
p? = Fyy y? + Fy y yx? .
Выход
Тогда в силу условия регулярности (8.4) достаточно доказать, что определитель
y? y? y? y?
1 0
·
=
Fyy Fy y
p? p? yx? yx?
Постановка некоторых . . .

не обращается в ноль. Подставим решение y(x, ?, ?) , p(x, ?, ?) в систему (8.7) и Введение в вариационный метод
продифференцируем полученные тождества по ?. Получим систему Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
yx? = Py y? + Pp p? ,
Обобщения
px? = Qy y? + Qp p? , Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
которую при фиксированных параметрах ? = ?0 , ? = ?0 можно записать в виде
Семейства экстремалей
? d y = A11 (x)y + A12 (x)p ,
?
Динамика частиц
dx ? ? ?
?
Проблема минимума . . .
?d
p = A21 (x)y? + A22 (x)p? , Существование минимума . . .
?
dx ? Лемма Гейне-Бореля
где мы положили A11 = Py , A12 = Pp , A21 = Qy , A22 = Qp .
Веб – страница
Аналогичная система получается при дифференцировании по ?. Таким образом,
столбцы определителя
Титульный лист
y? y ?
(8.8)
p? p ?
являются решениями линейной системы дифференциальных уравнений

? dy1 = A11 (x)y1 + A12 (x)y2 ,
?
Страница 111 из 197
?
dx
? dy2
= A21 (x)y1 + A22 (x)y2 . Назад
?
dx
Это означает, что определитель (8.8) является определителем Вронского и по теоре- Полный экран
ме Лиувилля либо равен нулю тождественно, либо не обращается в ноль ни в одной
Закрыть
точке.

<< Предыдущая

стр. 18
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>