<< Предыдущая

стр. 19
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Выход
Напомним, что если (y1 , y2 ) и (z1 , z2 ) — два решения системы, такие, что в некоторой точке x = t определитель

y1 (t) z1 (t)
y2 (t) z2 (t)
Постановка некоторых . . .
равен нулю, то столбцы в этом определителе линейно зависимы, в силу чего существуют не равные совместно нулю
константы ? и µ такие, что Введение в вариационный метод
u1 (t) y1 (t) z1 (t) 0
=? +µ = . Уравнение Эйлера–Лагранжа
u2 (t) y2 (t) z2 (t) 0
Приложения
Тогда в силу линейности системы функции
Обобщения
u1 = ?y1 + µz1 , u2 = ?y2 + µz2
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
будут составлять решение системы (u1 , u2 ), тождественно равное нулю в силу единственности решения задачи Ко-
ши (тождественно равные нулю функции всегда составляют решение однородной системы), что означает линейную Семейства экстремалей
зависимость решений (y1 , y2 ) и (z1 , z2 ) при всех x. Динамика частиц
Однако в точке x0 этот определитель равен единице, как следует из тождеств Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
? = y(x0 , ?, ?) , ? = p(x0 , ?, ?) ,
Лемма Гейне-Бореля
т.к. в этом случае
Веб – страница
y? = 1 , y? = 0 ,
Титульный лист
p? = 0 , p? = 1 .


Система уравнений (8.7) может быть переписана в более симметричном виде, ес-
ли использовать понятие функции Гамильтона или гамильтониана H. Она опре- Страница 112 из 197
деляется следующим образом:
Назад
H(x, y, p) = pP ? F (x, y, P ) , (8.9)
Полный экран
где P — функция скорости (8.6):
Закрыть
y = P (x, y, p) , p = Fy (x, y, y ) .
Выход
Переменные x, y, p называются каноническими.
Как следует из определения
?H ?P ?F ?F ?P ?F
? ? · =? = ?Q
=p Постановка некоторых . . .
?y ?y ?y ?y ?y ?y
Введение в вариационный метод
и
?H ?P ?F ?P Уравнение Эйлера–Лагранжа
? ·
=P +p =P,
?p ?p ?y ?p Приложения

что позволяет записать систему (8.7) в виде Обобщения
Задачи на условный экстремум
? dy = ?H ,
?
Первое необходимое условие . . .
?
dx ?p
?
(8.10) Семейства экстремалей
? dp ?H
=? .
? Динамика частиц
?
dx ?y
Проблема минимума . . .
Эта последняя называется канонической формой уравнения Эйлера–Лагранжа или Существование минимума . . .
уравнениями Гамильтона. Функция y, удовлетворяющая этим уравнениям в паре с
Лемма Гейне-Бореля
некоторой функцией p, является экстремалью.
Функция F по отношению к функции H называется функцией Лагранжа или Веб – страница
лагранжианом. Отображение
Титульный лист
F (x, y, z) > H(x, y, p) = pz ? F (x, y, z) , (8.11)
где
z = P (x, y, p) , p = Fz (x, y, z) ,
при условии
?2F Страница 113 из 197
= 0,
?z 2 Назад
называется преобразованием Лежандра. Нетрудно видеть, что преобразование Ле-
жандра является инволюцией, т.е. повторенное дважды оно совпадает с тождествен- Полный экран
ным. Действительно, применяя преобразование Лежандра к функции H, получаем
Закрыть
H(x, y, p) > G(x, y, v) = vp ? H(x, y, p) ,
Выход
где
p = R(x, y, v) , v = Hp (x, y, p) .
Но, как уже было показано выше,
Постановка некоторых . . .
?H ?z ?F ?z Введение в вариационный метод
? ·
=z+p = z,
?p ?p ?z ?p Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
т.е. v = z, что и ведет к равенству G = F .
Обобщения
Задачи на условный экстремум
8.3. Инвариантный интеграл Гильберта Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Для дальнейшего необходимо рассмотреть вариацию интеграла I вдоль переменной
кривой ? (т.е. изменение интеграла I при смещении кривой ?) с уравнением Динамика частиц
Проблема минимума . . .
y = y(x, ?) , Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
концы которой описывают две заданные кривые ?1 и ?2 , см. рис. 12. Смещение
кривой y вызывается изменением параметра ?. Будем определять положение левого Веб – страница
конца кривой ? параметром t:
Титульный лист

x = x1 (t) ,
?1 :
y = y1 (t) .

Тогда параметр ?, определяющий кривую ?, будет функцией параметра t: ? = ?(t),
при этом Страница 114 из 197

y(x1 (t), ?(t)) ? y1 (t) .
Назад
Так как правый конец кривой ? вполне определяется значением параметра t, поло-
Полный экран
жим
x = x2 (t) ,
?2 : Закрыть
y = y2 (t) ,
Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
C
Приложения
?2 Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
A
? Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
D Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

?1 Титульный лист


B

Рис. 12: Семейство экстремалей с подвижными концами
Страница 115 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
при этом
y(x2 (t), ?(t)) ? y2 (t) .
Функции x1 , x2 , ? будут считаться непрерывно дифференцируемыми на всем ин-
Постановка некоторых . . .
тервале изменения параметра t ? [a, b]. Функции y = y(x, ?) и y = yx (x, ?) будут
Введение в вариационный метод
считаться непрерывными (в частности, кривая ? не имеет угловых точек) и непре-
рывно дифференцируемыми по ?. Наконец, функция Лагранжа F (x, y, z) полагается Уравнение Эйлера–Лагранжа
дважды непрерывно дифференцируемой. Приложения
Рассматриваемый интеграл I имеет, таким образом, вид Обобщения
Задачи на условный экстремум
x2 (t)
Первое необходимое условие . . .
I(t) = F (x, y(x, ?(t)), yx (x, ?(t))) dx ,
Семейства экстремалей
x1 (t)
Динамика частиц
или кратко Проблема минимума . . .
x2
Существование минимума . . .
I(t) = F (x, y, y ) dx . Лемма Гейне-Бореля
x1
Веб – страница
Найдем производную этого интеграла по параметру t. Согласно правилу (3.8)
получаем Титульный лист
x2
dI dx2 dx1 dF
? F (x1 , y1 , yx (x1 , ?))
= F (x2 , y2 , yx (x2 , ?)) + dx ,
dt dt dt dt
x1

где
Страница 116 из 197
dF ?F ?y d? ?F ?yx d?
· · · ·
= + .
dt ?y ?? dt ?z ?? dt Назад
Условимся записывать это в виде
Полный экран
x2
?2 2
dI dx d? ?F ?y ?F ? y
· · (8.12)
=F + + dx . Закрыть
dt dt dt ?y ?? ?y ???x
?1
x1
Выход
Если какая–либо кривая ? рассматриваемого семейства является экстремалью,
т.е. удовлетворяет уравнению Эйлера
d ?F ?F
= , Постановка некоторых . . .
dx ?y ?y Введение в вариационный метод

то для нее (в силу уравнения Эйлера) Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
?F ? 2 y
?F ?y d ?F ?y ?F d ?y d ?F ?y
· · · · · Обобщения
+ = + = ,
?y ?? ?y ?x?? dx ?y ?? ?y dx ?? dx ?y ?? Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
и, как следствие, для этой кривой в силу (8.12)
Семейства экстремалей
?2
dI dx ?F ?y d? Динамика частиц
· · (8.13)
=F + .
dt dt ?y ?? dt Проблема минимума . . .
?1
Существование минимума . . .
Остается воспользоваться равенствами
Лемма Гейне-Бореля
dy1 ?y dx1 ?y d?
· ·
= + Веб – страница
dt dx dt ?? dt
и Титульный лист
dy2 ?y dx2 ?y d?
· ·
= + ,
dt dx dt ?? dt
что позволит переписать (8.13) в окончательном форме
?2
dI dx ?F dy ?y dx
· ? · (8.14)
=F + , Страница 117 из 197
dt dt ?y dt ?x dt ?1
Назад
или в раскрытом виде
Полный экран
I (t) = F (x2 , y2 , yx (x2 , ?)) · x2 + Fy (x2 , y2 , yx (x2 , ?)) · [y2 ? yx (x2 , ?) · x2 ]
Закрыть
? F (x1 , y1 , yx (x1 , ?)) · x1 ? Fy (x1 , y1 , yx (x1 , ?)) · [y1 ? yx (x1 , ?) · x1 ] .
Выход
Определим криволинейный интеграл

F (x, y, z(x, y))dx + Fz (x, y, z(x, y)) · [dy ? z(x, y)dx] , (8.15)
U=
? Постановка некоторых . . .

взятый вдоль некоторой кривой ?. Подчеркнем, что этот интеграл зависит не только Введение в вариационный метод
от пути интегрирования ?, но также от функции z(x, y): Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
U = U {?; z} ,
Обобщения

Он называется интегралом Гильберта, а функция z — его функцией наклона. Задачи на условный экстремум

<< Предыдущая

стр. 19
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>