<< Предыдущая

стр. 2
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Выход
в терминах дифференциалов u и v:

?x ?x
dx = du + dv ,
?u ?v Постановка некоторых . . .
?y ?y
(1.7) Введение в вариационный метод
dy = du + dv ,
?u ?v Уравнение Эйлера–Лагранжа
?z ?z
dz = du + dv , Приложения
?u ?v
Обобщения
откуда Задачи на условный экстремум
(ds)2 = P (u, v)(du)2 + 2Q(u, v)dudv + R(u, v)(dv)2 , (1.8) Первое необходимое условие . . .

где Семейства экстремалей
Динамика частиц
?x 2 ?y 2 2
?z
P= + + , Проблема минимума . . .
?u ?u ?u Существование минимума . . .
?x ?x ?y ?y ?z ?z
(1.9)
· · ·
Q= + + , Лемма Гейне-Бореля
?u ?v ?u ?v ?u ?v
2 2 2
?x ?y ?z Веб – страница
R= + + .
?v ?v ?v
Титульный лист
Отметим. что если координаты (u,v) на поверхности ортогональны, то

(1.10)
(ортогональность) .
Q=0

Действительно, координатная сетка на поверхности задается кривыми u = Const и
Страница 8 из 197
v = Const. Кривая u = u0 задается параметрически
Назад
?
?x = x(u0 , v) ,
?
y = y(u0 , v) , Полный экран
?
z = z(u0 , v) ,
?
Закрыть

Выход
где роль параметра играет только переменная v. Вектор
?x ?y ?z
?
> ?
>? >
t= , , , t = t (v) ,
?v ?v ?v
Постановка некоторых . . .
направлен по касательной к этой кривой. Аналогично, касательным вектором к кри- Введение в вариационный метод
вой v = v0 с параметрическим заданием Уравнение Эйлера–Лагранжа
?
Приложения
?x = x(u, v0 ) ,
?
Обобщения
y = y(u, v0 ) ,
Задачи на условный экстремум
?
z = z(u, v0 ) ,
?
Первое необходимое условие . . .
будет вектор Семейства экстремалей
? = ?x , ?y , ?z ,
> >>
? = ? (u) . Динамика частиц
s s s
?u ?u ?u Проблема минимума . . .
>? >
В случае ортогональных координат векторы ? и t , приложенные к общей точке
s Существование минимума . . .
(u0 , v0 ) — точке пересечения кривых u = u0 и v = v0 , по определению, перпенди- Лемма Гейне-Бореля
>? >
кулярны друг к другу. Но Q = ? · t = 0 (скалярное произведение ортогональных
s
Веб – страница
векторов), см. рис.1.
Фиксируем теперь на поверхности точки P1 (u1 , v1 ) и P2 (u2 , v2 ), считая u1 < u2 , Титульный лист
и рассмотрим кривую, лежащую на поверхности и соединяющую точки P1 и P2 ,
задавая ее явно
u ? [u1 , u2 ] ,
v = v(u) ,
(1.11)
v1 = v(u1 ) ,
Страница 9 из 197
v2 = v(u2 ) ,
Назад
Тогда длина дуги этой кривой дается интегралом
Полный экран
u2

P + 2Qv + Rv 2 du . (1.12)
I= Закрыть
u1
Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод

z Уравнение Эйлера–Лагранжа
?
>
t Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
?
>
s Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
v = v0 Динамика частиц
u = u0 Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
y
Титульный лист



x

Рис. 1: Криволинейные координаты на поверхности
Страница 10 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Задача свелась к выбору функции v = v(u) так, чтобы интеграл (1.12) имел наи-
меньшее возможное значение.
Ограничение на явное задание кривой (1.11) опять может быть снято переходом
к параметрическому заданию Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
u = u(t) ,
t ? [t1 , t2 ] , Уравнение Эйлера–Лагранжа
v = v(t) ,
Приложения
(1.13)
u1 = u(t1 ) , v1 = v(t1 ) , Обобщения
u2 = u(t2 ) , v2 = v(t2 ) . Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .

1.2. Задача о брахистохроне Семейства экстремалей
Динамика частиц
Замечание 1.1. ??????? o? — кратчайший, ??o?o? — время. Проблема минимума . . .
Это та задача, которой вариационное исчисление обязано своим появлением на Существование минимума . . .
свет. Считается, что в июне 1696 года Йоган Бернулли перед своими учениками по- Лемма Гейне-Бореля
ставил следующую задачу: “Даны две точки A и B в вертикальной плоскости; найти
для движущийся частицы M путь AM B, опускаясь вдоль которого под действием Веб – страница
силы тяжести, начиная, для определенности, от точки A она может в кратчайшее
Титульный лист
время достичь точки B”.
Мы предположим, что точки A и B лежат в плоскости xy с осью y, направленной
вниз, см. рис. 2. Положим A = A(x1 , y1 ) и B = B(x2 , y2 ) и пусть y = y(x) —
уравнение дуги, соединяющей точки A и B так, что
x1 < x2 , y1 = y(x1 ) , y2 = y(x2 ) , y1 < y2 . Страница 11 из 197

ds
Скорость движения вдоль кривой пусть равна v = . Тогда время спуска равно Назад
dt
Полный экран
x=x2 x2
2
ds 1+y
I= = dx . Закрыть
v v
x=x1 x1
Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x1 x2
Приложения
x
y1 A Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

M Веб – страница

y2 Титульный лист
B
y

Рис. 2: К задаче о брахистохроне
Страница 12 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Чтобы найти скорость v как функцию координаты x, воспользуемся законом сохра-
нения энергии:
mv 2 2
mv1
? = mgy ? mgy1 ,
2 2 Постановка некоторых . . .
где v1 — начальная скорость движения частицы. Тогда Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
v2
y 0 = y1 ? 1 ,
2g(y ? y0 ) ,
v= Приложения
2g
Обобщения
и задача свелась к выбору функции y(x), для которой интеграл Задачи на условный экстремум
x2 Первое необходимое условие . . .
1+y2
1
I=v v (1.14)
dx Семейства экстремалей
y ? y0
2g Динамика частиц
x1
Проблема минимума . . .
достигает наименьшего значения из всех возможных.
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
1.3. Задача о наименьшей поверхности вращения
Веб – страница
1.3.1. Катеноид
Титульный лист
Даны две точки P1 (x1 , y1 ) , P2 (x2 , y2 ) плоскости xy, пусть x1 < x2 . Пусть далее
y = y(x) — уравнение кривой, соединяющей точки P1 и P2 , т.е.
y1 = y(x1 ) , y2 = y(x2 ) .
Кривая вращается вокруг оси x, заметая некоторую поверхность вращения. Спра-
Страница 13 из 197
шивается, что представляет собой поверхность вращения, имеющая наименьшую
возможную площадь. Таким образом, мы приходим к проблеме выбора функции Назад
y(x), для которой интеграл
Полный экран
x2

1 + y 2 dx . (1.15)
S = 2? y Закрыть
x1
Выход
— площадь поверхности вращения — минимален. Такие минимальные поверхности
вращения, при некоторых дополнительных ограничениях на точки P1 , P2 , называ-
ются катеноидами.
Постановка некоторых . . .

1.3.2. Проблема Плато Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Очевидное обобщение предыдущей задачи состоит в следующем. Дана замкнутая
Приложения
(жорданова) кривая в пространстве. Найти поверхность, проходящую через эту кри-

<< Предыдущая

стр. 2
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>