<< Предыдущая

стр. 20
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Если кривая ? задана параметрически Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
x = x(t) , Динамика частиц
?:
y = y(t) , Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
где t ? [a, b], то
Лемма Гейне-Бореля
b
Веб – страница
F (x, y, z(x, y)) · x + Fz (x, y, z(x, y)) · [y ? z(x, y) · x ] dt .
U=
a Титульный лист

Предположим теперь, что переменная кривая ? при всех значениях параметра
t ? [a, b] является экстремалью. Обозначим через ?AC и ?BD экстремали семейства,
соответствующие значениям параметра t = a и t = b. Также обозначим через ?AB
участок кривой ?1 , соединяющий точки A (соответствующей значению параметра
t = a) и B (соответствующей значению параметра t = b) и аналогично обозначим Страница 118 из 197

через ?CD участок кривой ?2 от точки C (соответствующей значению параметра
Назад
t = a) до точки D (соответствующей значению параметра t = b), см. рис. 12. Если
проинтегрировать равенство (8.14) по переменной t в пределах от a до b, мы придем Полный экран
к замечательному равенству
Закрыть
I{?BD } ? I{?AC } = U {?CD ; z} ? U {?AB ; z} , (8.16)
Выход
где мы для наглядности положили I(b) = I{?BD } и I(a) = I{?AC }. Функция на-
клона z = z(x, y) определяется исключением параметра ? из равенств
z = yx (x, ?) , Постановка некоторых . . .
y = y(x, ?) , Введение в вариационный метод

и называется функцией наклона семейства экстремалей. Уравнение Эйлера–Лагранжа
В дальнейшем всегда, если не оговорено противное, интеграл Гильберта бу- Приложения
дет рассматриваться с функцией наклона равной функции наклона некоторого Обобщения
семейства экстремалей. Если из контекста будет ясно, о какой функции наклона Задачи на условный экстремум
идет речь, в обозначении интеграла Гильберта она будет опускаться: Первое необходимое условие . . .

U {?} = U {?; z} . Семейства экстремалей
Динамика частиц
Подведем итог в следующей теореме.
Проблема минимума . . .
Теорема 8.5. Если концы переменной экстремали описывают две кривые ?1 и ?2 , Существование минимума . . .
то разность значений интеграла I, взятого вдоль конечного ?2 и начального ?1 Лемма Гейне-Бореля
положений экстремали равна разности значений интеграла Гильберта, соот-
ветствующего конечной ?2 и начальной ?1 концевой кривой и функцией наклона Веб – страница
z равной функции наклона семейства экстремалей z = yx :
Титульный лист
I{?2 } ? I{?1 } = U {?2 } ? U {?1 } .
Заметим, что теорема остается верной, если какая–либо из концевых кривых
?1,2 (или обе сразу) вырождается в точку (экстремали с закрепленными концами).
Интеграл Гильберта U {?} называется инвариантным в следствие следующего
своего свойства. Если деформировать контур интегрирования ? удерживая концы Страница 119 из 197
интегрирования, интеграл U не изменяется. Это сразу вытекает из формулы (8.16),
Назад
если в ней положить ? = ?2 , а контур ?1 стянуть в точку, так что U {?1 } = 0.
Действительно, в этом случае
Полный экран
U {?} = I{?2 } ? I{?1 }
Закрыть
и правая часть равенства не зависит от формы кривой ?.
Выход
?



Постановка некоторых . . .
B Введение в вариационный метод
?1 Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
C
Обобщения
Задачи на условный экстремум
D
?2
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
A Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Рис. 13: Огибающая экстремалей Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

8.4. Теорема об огибающей и необходимое условие Якоби Титульный лист

Этот пункт является прямым продолжением предыдущего, что означает, что мы
остаемся в рамках описанных выше предположений, сосредоточив свое внимание на
важных следствиях.

Теорема 8.6 (Об огибающей). Если однопараметрическое семейство экстрема- Страница 120 из 197
лей ? с начальной точкой A имеет огибающую ?, см. рис. 13, то
Назад
I{?AC } = I{?AB } + I{?BC }
Полный экран

при любом положении точки B, если она предшествует точке C на кривой ?
Закрыть
(говорят, что точка B предшествует точке C, если угол BCA равен нулю).
Выход
Здесь ?AB часть экстремали ?1 между точек A и B, ?AC часть экстремали ?2
между точек A и C, ?BC часть огибающей ? между точек B и C.
Доказательство. Рассмотрим семейство экстремалей, проходящих через точку A. Постановка некоторых . . .
Согласно теореме (8.5)
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
I{?AC } ? I{?AB } = U {?BC } ? U {?AA } ,
Приложения
где z = yx . Но интеграл Гильберта U {?AA } равен нулю в силу вырождения контура Обобщения
интегрирования в точку. А условия касания экстремалей y = y(x, ?) и огибающей Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
x = x(t) , Семейства экстремалей
?:
y = y(t) , Динамика частиц
Проблема минимума . . .
где t ? [a, b], приводят к равенству производной Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
dy y (t)
=
dx x (t) Веб – страница

вдоль огибающей и функции направления z = yx (x, ?(t)), что влечет за собой ра- Титульный лист
венство интегралов

b

U {?BC } = F (x, y, yx ) · x + Fz (x, y, yx ) · [y ? yx · x ] dt
Страница 121 из 197
a
b
Назад
F (x, y, yx ) · x dt = F (x, y, yx ) dx = I{?BC } .
=
Полный экран
a ?BC

Закрыть

Выход
Аналогичное утверждение можно сформулировать для экстремалей со свободным
концом. Напомним, что экстремаль пересекает кривую ?1 , заданную уравнениями

x = x1 (t) , Постановка некоторых . . .
?1 :
y = y1 (t) , Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
трансверсально, если Приложения
Обобщения
F (x1 , y1 , yx (x1 )) · x1 + Fz (x1 , y1 , yx (x1 )) · [y1 ? yx (x1 ) · x1 ] = 0 .
Задачи на условный экстремум
Это в точности означает, что если семейство экстремалей y(x, ?) пересекает кривую Первое необходимое условие . . .
?1 трансверсально, то интеграл Гильберта вдоль ?1 с функцией наклона z = yx равен Семейства экстремалей
нулю. И тогда как и выше мы получаем Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Теорема 8.7 (Об огибающей и трансверсальной). Если однопараметрическое
Существование минимума . . .
семейство экстремалей трансверсально пересекает кривую ?1 и имеет огибаю-
Лемма Гейне-Бореля
щую ?, см. рис. 14, то
Веб – страница
I{?CD } = I{?AB } + I{?BD }
Титульный лист
при любом положении точки B, если она предшествует точке D на кривой ?.
Здесь ?AB часть экстремали ?1 между точек A и B, ?CD часть экстремали ?2
между точек C и D, ?BD часть огибающей ? между точек B и D.
Определение 8.8. Центральным называется семейство экстремалей с общей на-
чальной точкой. Точка касания экстремали и огибающей данного центрального се- Страница 122 из 197
мейства называется точкой, сопряженной с начальной точкой экстремали.
Назад
Определение 8.9 (Условие Якоби). Говорят, что неособая экстремаль удовлетво-
Полный экран
ряет условию Якоби, если между началом и концом этой экстремали нет точек,
сопряженных с начальной. Закрыть

Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?1 ? Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
B Первое необходимое условие . . .
?1
Семейства экстремалей
D Динамика частиц
Проблема минимума . . .
A Существование минимума . . .
?2
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
C
Титульный лист




Рис. 14: Огибающая экстремалей, трансверсальных к кривой ?1
Страница 123 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Теорема 8.10 (Необходимое условие Якоби). Если неособая кривая без угловых
точек сообщает минимум функционалу I, она является экстремалью, удовле-
творяющей условию Якоби.
Постановка некоторых . . .
Доказательство. Неособая гладкая кривая y(x), дающая минимум функционалу I,
Введение в вариационный метод
является экстремалью, однозначно определенной любыми своими начальными дан-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
ными (x0 , y(x0 ), y (x0 )). Пусть эта экстремаль ?AD имеет сопряженную точку C с
Приложения
начальной точкой A, см. рис. 13. Из теоремы об огибающей вытекает, что составная
кривая ?AB ? ?BC ? ?CD (при любом выборе точки B, предшествующей точке C) Обобщения
также сообщает интегралу I минимум и является, тем самым, еще одной экстре- Задачи на условный экстремум
малью, проходящей через точку C, с тем же наклоном, что и экстремаль ?AD , что Первое необходимое условие . . .
противоречит единственности (с начальной точкой C). Семейства экстремалей
Динамика частиц
Далее мы опишем условие Якоби с аналитических позиций.
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
8.5. Вторая вариация интегрального функционала Лемма Гейне-Бореля

Вернемся к анализу интегрального функционала I, Веб – страница
x2
Титульный лист
(8.17)
I= F (x, y, y ) dx .
x1

Функцию F (x, y, z) будем считать дважды непрерывно дифференцируемой.
Что еще можно сказать о непрерывно дифференцируемой функции y(x) (с за-
крепленными концами), на которой функционал I достигает наименьшего значения? Страница 124 из 197
Как и ранее, фиксируем вариацию функции y, в данном случае — непрерывно
Назад
дифференцируемую функцию ?, обращающуюся в ноль на концах интервала [x1 , x2 ],
и составим интеграл
Полный экран
x2

I(t) = F (x, y + t?, y + t? ) dx . Закрыть
x1
Выход
Функция I(t) при t = 0 достигает минимума. Как следствие, помимо

?I[?] = I (0) = 0 ,
Постановка некоторых . . .
имеем
Введение в вариационный метод
? 2 I[?] = I (0) 0,
Уравнение Эйлера–Лагранжа
т.е. вторая вариация функционала I должна быть неотрицательной. Приложения
Нетрудно вычислить эту производную. Обобщения
Задачи на условный экстремум
x2
?F ?F Первое необходимое условие . . .
·?+ ·?
I (t) = dx ,
?y ?y Семейства экстремалей
x1
Динамика частиц
откуда Проблема минимума . . .
x2
2 2 2

<< Предыдущая

стр. 20
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>