<< Предыдущая

стр. 21
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

?F ?F ?F Существование минимума . . .
· ?2 + 2 · ? 2 dx .
· ?? +
I (t) = 2 ?y 2
?y ?y?y Лемма Гейне-Бореля
x1
Веб – страница
В выписанных выражениях производные функции F нужно рассматривать как функ-
ции переменных (x, y +t?, y +t? ). Полагая t = 0 мы приходим к формуле для второй Титульный лист
вариации
x2
?2F ?2F ?2F
2
· ? 2 dx ,
·? +2 · ?? + (8.18)
I (0) = 2 2
?y ?y?y ?y
x1

где производные функции F зависят от аргумента (x, y, y ). Страница 125 из 197
Предположим теперь, что функция F — трижды непрерывно дифференцируема
Назад
и проинтегрируем по частям во втором слагаемом
Полный экран
x2 x2 x2
x=x2
2 2 2 2
?F ?F ?F d ?F
d? 2 = · ?2 · ? 2 dx .
?
2 ?? dx = Закрыть
?y?y ?y?y ?y?y dx ?y?y
x=x1
x1 x1 x1
Выход
Внеинтегральные слагаемые здесь обращаются в ноль в силу нулевых граничных
условий для функции ?, откуда находим
x2
Постановка некоторых . . .
[A? 2 + B? 2 ] dx , (8.19)
I (0) = Введение в вариационный метод
x1 Уравнение Эйлера–Лагранжа

где Приложения
Обобщения
2 2
?F d ?F Задачи на условный экстремум
?
A = A(x) = ,
2
?y dx ?y?y Первое необходимое условие . . .
?2F Семейства экстремалей
B = B(x) = .
?y 2 Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Интересно заметить, что проверка необходимого условия минимальности инте-
Существование минимума . . .
грала I в отношении второй вариации (т.е. условия I (0) 0) свелась к задаче на
Лемма Гейне-Бореля
наименьшее значение интегрального квадратичного функционала (8.19) в отношении
выбора функции ?. Веб – страница
Уравнение Эйлера–Лагранжа для этой присоединенной задачи называется урав-
нением Якоби для исходной задачи. Оно имеет вид Титульный лист

d
A? ? (8.20)
B? = 0,
dx
где искомая функция ? удовлетворяет граничным условиям
Страница 126 из 197
?(x1 ) = ?(x2 ) = 0 .
Назад
Уравнение Якоби можно охарактеризовать еще с одних позиций. Если семейство
Полный экран
функций y(x, ?) удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению, напри-
мер,
Закрыть
(8.21)
f (x, y, y , y ) = 0 ,
Выход
то производная по параметру ? = y? удовлетворяет уравнению
?f ?f ?f
(8.22)
?+ ?+ ? = 0,
?y ?y ?y
Постановка некоторых . . .
которое получается просто дифференцированием равенства (8.21) по параметру ? и Введение в вариационный метод
называется уравнением в вариациях по отношению к исходному уравнению (8.21). Уравнение Эйлера–Лагранжа
Смысл уравнения в вариациях определяется следующим. В соответствии с равен- Приложения
ством
Обобщения
? > 0,
y(x, ?) = y(x, 0) + y? (x, 0)? + o(?) ,
Задачи на условный экстремум
и линейностью уравнения (8.22), если ? достаточно мало, то функция y+? в старшем Первое необходимое условие . . .
порядке также будет удовлетворять дифференциальному уравнению (8.21). Семейства экстремалей
Можно заметить, что уравнение Якоби является уравнением в вариациях по
Динамика частиц
отношению к уравнению Эйлера–Лагранжа. Для облегчения проверки этого утвер-
Проблема минимума . . .
ждения воспользуемся стандартным соглашением обозначать частные производные
Существование минимума . . .
функции только соответствующими индексами. В этом случае уравнение Эйлера (в
Лемма Гейне-Бореля
раскрытом виде) примет вид
Fy ? Fxy ? Fyy y ? Fy y y = 0 , (8.23) Веб – страница

а коэффициенты в уравнение Якоби (также в раскрытом виде) запишутся как Титульный лист

A = Fyy ? Fxyy ? Fyyy y ? Fyy y y ,
B = Fy y ,
dB
= Fxy y + Fyy y y + Fy y y y .
dx Страница 127 из 197
Составляя уравнение в вариациях (8.22) для уравнения (8.23), получим
Назад
[Fyy ? Fxyy ? Fyyy y ? Fyy y y ]?
Полный экран
+ [Fyy ? Fxy y ? Fyy y y ? Fyy ? Fy y y y ]?
Закрыть
+ [?Fy y ]? = 0 ,
Выход
что в точности и является, как видим, уравнением Якоби
dB
A? ? · ? ? B? = 0 .
dx Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
8.6. Аналитический вариант условия Якоби
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Рассмотрим уравнение Якоби Приложения
Обобщения
d
A? ? (8.24)
B? = 0, Задачи на условный экстремум
dx
Первое необходимое условие . . .
где функция ? удовлетворяет нулевым граничным условиям Семейства экстремалей
Динамика частиц
?(x1 ) = ?(x2 ) = 0 .
Проблема минимума . . .
Подчеркнем, что коэффициенты определяются равенствами Существование минимума . . .

?2F d ?2F Лемма Гейне-Бореля
?
A= ,
?y 2 dx ?y?y Веб – страница
2
?F
B= , Титульный лист
?y 2
на экстремали y(x), удовлетворяющей уравнению Эйлера с функцией Лагранжа
F (x, y, y ). В этом смысле уравнение Якоби называют иногда присоединенным урав-
нением к уравнению Эйлера–Лагранжа.
Страница 128 из 197
Определение 8.11. Точка (x0 , y0 ), на экстремали y(x) (т.е. y0 = y(x0 )) называется
сопряженной с точкой (x1 , y1 ) (началом экстремали), если уравнение Якоби имеет Назад
решение ?, обращающееся в ноль в точке x0 , но не равное нулю тождественно на
интервале [x1 , x0 ]. Полный экран

Теорема 8.12. Необходимое условие Якоби 8.10 выполнено при новом его понима- Закрыть
нии и новом определении сопряженной точки.
Выход
Доказательство. Пусть функция y(x) доставляет наименьшее значение интегралу
I в условиях регулярности. Вторая вариация ? 2 I[?] как функционал относительно
функции ? имеет тогда наименьшее значение равное нулю, которое достигается при
? = 0 тождественно. Постановка некоторых . . .
Пусть (x0 , y0 ) — сопряженная точка к точке (x1 , y1 ) и ?(x) — соответствую- Введение в вариационный метод
щее решение уравнения Якоби. Обозначим функцию Лагранжа для второй вариа- Уравнение Эйлера–Лагранжа
ции (8.19) через L: Приложения
L(x, ?, ? ) = A(x)? 2 + B(x)? 2 . Обобщения
Заметим, что Задачи на условный экстремум
?L ?L Первое необходимое условие . . .
·?+ ·? .
2L =
?? ?? Семейства экстремалей

Уравнение Эйлера для функционала ? 2 I[?] или, что то же, уравнение Якоби для Динамика частиц
функционала I[y], имеет вид Проблема минимума . . .
?L d ?L Существование минимума . . .
= ,
?? dx ?? Лемма Гейне-Бореля
тогда
Веб – страница
d ?L ?L d? d ?L
·?+ · ·? .
2L = =
dx ?? ?? dx dx ?? Титульный лист
Составим функцию

?(x) при x ? [x1 , x0 ] ,
?(x) =
при x ? [x0 , x2 ] .
0
Страница 129 из 197
Функция ? является непрерывной, кусочно непрерывно дифференцируемой, имею-
щей угловую точку при x = x0 . Заметим, что Назад

x2 x0 x0 Полный экран
x=x0
1 ?L
? 2 I[?] = [A? 2 +B? 2 ] dx = [A? 2 +B? 2 ] dx = ·?
L(x, ?, ? ) dx = = 0.
2 ?? Закрыть
x=x1
x1 x1 x1
Выход
Это означает, что функция ? также доставляет наименьшее значение функционалу
? 2 I и должна в угловой точке удовлетворять условию Вейерштрасса–Эрдмана (7.2):
?L ?L
= , Постановка некоторых . . .
?? ??
x=x0 ?0 x=x0 +0 Введение в вариационный метод

что ведет к равенству Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
B(x0 )? (x0 ) = B(x0 )? (x0 ? 0) = B(x0 )? (x0 + 0) = 0 . Обобщения
Задачи на условный экстремум
В силу регулярности экстремали y(x)
Первое необходимое условие . . .
2
?F Семейства экстремалей
B= = 0,
?y 2 Динамика частиц
откуда Проблема минимума . . .
? (x0 ) = 0 . Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Но последнее означает, что ? является решение линейного однородного уравнения
второго порядка с нулевыми начальными условиями Веб – страница

?(x0 ) = 0 , ? (x0 ) = 0 , Титульный лист

и, следовательно, равно нулю тождественно, в противоречии с аналитическим опре-
делением сопряженной точки. Следовательно предположение о существовании со-
пряженной точки не допустимо.
Мы покажем далее, что геометрическое 8.8 определение сопряженной точки по- Страница 130 из 197
глощается вторым аналитическим 8.11 определением, а при некотором дополнитель-
ном условии верно и обратное включение. Вместе с тем эти определения сопряжен- Назад
ных точек и соответствующие варианты условия Якоби не вполне тождественны.
Полный экран
Второе определение не предполагает, например, даже существования огибающей. В
то же время первый вариант условия Якоби может быть расширен на случай совпа- Закрыть
дения сопряженной точки со вторым концом экстремали, в то время как для второго
Выход
варианта внутреннее положение сопряженной точки совершенно необходимо. В этом
смысле они дополняют друг друга.
Итак, покажем, что сопряженная точка в смысле геометрического определе-
ния является также сопряженной в смысле аналитического определения. Пусть Постановка некоторых . . .
y = y(x, ?) — семейство экстремалей, проходящих через точку (x1 , y1 ) и имею- Введение в вариационный метод
щих огибающую. Пусть огибающая касается кривой семейства y(x, ?) в точке x(?). Уравнение Эйлера–Лагранжа
Тогда уравнение огибающей запишется в виде Приложения
Обобщения
x = x(?) , y = y(x(?), ?) .
Задачи на условный экстремум
В силу закрепленной начальной точки экстремалей имеем Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
y? (x1 , ?) = 0 . Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Кроме того, в силу условия касания экстремалей и огибающей тангенсы угла наклона
Существование минимума . . .
касательной к экстремали
yx Лемма Гейне-Бореля

и огибающей Веб – страница
dy
yx · x? + y?
d?
= , Титульный лист
dx x?
d?

<< Предыдущая

стр. 21
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>