<< Предыдущая

стр. 22
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

отнесенных к одной и той же точке x(?) равны между собой. Как следствие

y? (x(?), ?) = 0 .
Страница 131 из 197
Так как уравнение Якоби является уравнением в вариациях, см. (8.22), функция
Назад
y? (x, ?)
Полный экран
при фиксированном ? является решением уравнения Якоби. Эта функция обраща-
ется в ноль не только в точке x1 , но и в точке x(?). Если теперь функция y? не Закрыть
обращается тождественно в ноль на интервале [x1 , x(?)], то точка с абсциссой x(?),
Выход
являющаяся сопряженной к точке (x1 , y1 ) в смысле геометрического определения,
будет таковой и в смысле аналитического определения.
Докажем обратное, предполагая что каждая кривая семейства экстремалей y =
y(x, ?), начинающихся в точке (x1 , y1 ), имеет сопряженную точку (x(?), y(x(?), ?)) Постановка некоторых . . .
в смысле аналитического определения. Пусть ?(x, ?) — решение уравнение Якоби с Введение в вариационный метод
нулевыми граничными условиями и обращающееся в ноль в точке x(?). Заметим, Уравнение Эйлера–Лагранжа
что функция y? (x, ?) также является решением уравнения Якоби с нулевыми гра- Приложения
ничными условиями. Как следствие, определитель Вронского функций y? и ? равен Обобщения
нулю в точке x1 , а значит в условиях регулярности (т.е. при B = 0) равен нулю
Задачи на условный экстремум
тождественно. Это означает, что (вариант теоремы Штурма)
Первое необходимое условие . . .

(8.25)
y? (x(?), ?) = 0 . Семейства экстремалей
Динамика частиц
Напомним для полноты изложения доказательство этого утверждения. Положим ?(x, ?) = ?(x) и y? (x, ?) =
Проблема минимума . . .
?(x). Тогда
Существование минимума . . .
A? ? (B? ) = 0 |??,
Лемма Гейне-Бореля
A? ? (B? ) = 0 |??.
Веб – страница
Вычитая (после умножения) из первого равенства второе, находим

?(B ? + B? ) ? ?(B ? + B? ) = 0 . (8.26) Титульный лист

Введем определитель Вронского
? ?
= ?? ? ? ? .
W=
? ?
При этом
W = ? ? + ?? ? ? ? ? ? ? = ?? ? ? ? ,
Страница 132 из 197
так что уравнение (8.26) примет вид
B W + BW = 0 ,
Назад
т.е.
(BW ) = 0 .
Полный экран
Проинтегрируем полученное равенство в пределах от x1 до t = x(?). Тогда
Закрыть
t
?
(BW )|x1 = 0 B(t)W (t) = B(x1 )W (x1 ) ,

Выход
или подробнее
B(t)[?(t)? (t) ? ? (t)?(t)] = B(x1 )[?(x1 )? (x1 ) ? ? (x1 )?(x1 )] .
В силу граничных условий ?(x1 ) = ?(x1 ) = ?(t) = 0, откуда

Постановка некоторых . . .
B(t)? (t)?(t) = 0 .
Введение в вариационный метод
Остается заметить, что, во-первых, по условию регулярности B(t) = 0 и, во-вторых, ? (t) = 0 (иначе функция ? была Уравнение Эйлера–Лагранжа
бы тождественным нулем). Таким образом остается ?(t) = 0, что и утверждалось. Приложения
Итак, равенство (8.25) установлено. Предположим, что Обобщения
Задачи на условный экстремум
yx? (x(?), ?) = 0 ,
Первое необходимое условие . . .
что является типичным, см. теорему 8.4. Тогда в силу теоремы о неявной функции Семейства экстремалей
уравнение Динамика частиц
y? (x, ?) = 0 Проблема минимума . . .
разрешимо относительно x (что уже известно) и решение x(?) является непрерыв- Существование минимума . . .
но дифференцируемой функцией от ? (что важно). Рассмотрим гладкую кривую, Лемма Гейне-Бореля
заданную параметрически
Веб – страница
x = x(?) ,
y = y(x(?), ?) . Титульный лист

Коэффициент наклона касательной к этой кривой в силу (8.25) равен
dy
yx · x? + y?
d?
= = yx ,
dx x?
dl
Страница 133 из 197
т.е. совпадает с коэффициентом наклона касательной к экстремали семейства в той
Назад
же точке, и значит построенная кривая является огибающей семейства экстремалей.
В дальнейшем нам понадобится следующее утверждение. Полный экран

Теорема 8.13. Соответствие x? = ?(x), где x? — точка, сопряженная с точкой
Закрыть
x, x? > x, является монотонно возрастающей и непрерывной функцией.
Выход
Доказательство. Пусть ?1 и ?2 — фундаментальная система решений уравнения
Якоби (8.24). Монотонность функции ? является следствием теоремы Штурма. Дей-
ствительно, если x1 < x? — соседние корни решения ?1 , а x2 < x? — соседние корни
1 2
решения ?2 , то неравенство x1 < x2 < x? влечет за собой неравенство x? < x? , так Постановка некоторых . . .
1 1 2
как согласно теореме Штурма между двумя соседними корнями одного решения на- Введение в вариационный метод
ходится лишь один единственный корень любого другого решения, линейно незави- Уравнение Эйлера–Лагранжа
симого с данным. Это означает, что функция ? является монотонной в окрестности Приложения
каждой точки и, следовательно, монотонной всюду. Обобщения
Заметим, далее, что линейная комбинация
Задачи на условный экстремум

?(x) = ?2 (x0 )?1 (x) ? ?1 (x0 )?2 (x) ? w(x, x0 ) , Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
является решением уравнения Якоби, обращающемся в ноль в точке x0 . Сопряжен-
Динамика частиц
ная точка с точкой x0 будет определяться равенством
Проблема минимума . . .
?(x? ) = 0. Существование минимума . . .
0
Лемма Гейне-Бореля
Заметим, что в силу простоты корней,
Веб – страница
? (x? ) = 0 .
0
Титульный лист
Иначе говоря, сопряженные точки x? удовлетворяют уравнению
w(x? , x) = 0 ,
причем
?w
= 0. Страница 134 из 197
?x?
По теореме о неявной функции в окрестности каждой точки (x, x? ) существует Назад
функция
x? = ?(x) . Полный экран

В силу непрерывной дифференцируемости функции w функция ? также является Закрыть
непрерывно дифференцируемой (в частности — непрерывной).
Выход
Следствие 8.14. Если экстремаль y = y(x) , x ? [x1 , x2 ] не имеет точки, сопря-
женной с точкой x1 , то на продолжении экстремали влево от точки x1 суще-
ствует точка x0 такая, что продолженная экстремаль y = y(x) , x ? [x0 , x2 ]
также не имеет точки, сопряженной с начальной точкой x0 . Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Доказательство. Функция ?(x), определяющая сопряженные точки точкам x, на
Уравнение Эйлера–Лагранжа
интервале [x1 , x2 ] принимает значения строго большие x2 (в силу отсутствия сопря-
Приложения
женных точек на интервале [x1 , x2 ]):
Обобщения
x ? [x1 , x2 ] ? ?(x) > x2 . Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Следовательно, в силу непрерывности она строго больше x2 и на некотором расши- Семейства экстремалей
ренном интервале [x0 , x2 ] , x0 < x1 . Динамика частиц
Проблема минимума . . .
8.7. Необходимые условия Вейерштрасса и Лежандра Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Вернемся к понятию инвариантного интеграла Гильберта. Напомним, что интеграл
Гильберта Веб – страница

Титульный лист
U {?; z} = F (x, y, z(x, y))dx + Fz (x, y, z(x, y)) · [dy ? z(x, y)dx] , (8.27)
?

не зависит от формы кривой ? (но не от ее концов). Напомним, что функция на-
клона z предполагается равной функции наклона yx семейства экстремалей, см.
стр. 119.
Страница 135 из 197
Пусть ? — экстремаль y = y(x), доставляющая минимум функционалу I[y] с
функцией Лагранжа F (x, y, z) для задачи с закрепленными концами в точках (x1 , y1 ) Назад
и (x2 , y2 ) и вложенная в семейство экстремалей y = y(x, ?). Для любой гладкой
кривой ?, концы которой совпадают с концами экстремали ?, выполнено равенство Полный экран


U {?} = U {?} . Закрыть

Выход
Однако на экстремалях интегралы U и I, очевидно, совпадают:

U {?} = I[y] .
Постановка некоторых . . .
Если кривая ? описывается равенством
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
y = Y (x) ,
Приложения
то находим Обобщения
?I[y] = I[Y ] ? I[y] = I[Y ] ? U {?} = I[Y ] ? U {?} , Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
или иначе
Семейства экстремалей
x2
Динамика частиц
[F (x, Y, Y ) ? F (x, Y, z) ? Fz (x, Y, z) · (Y ? z)] dx . (8.28)
?I[y] = Проблема минимума . . .
x1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Подчеркнем, что в этой формуле z = z(x, Y (x)) равно коэффициенту наклона yx
кривой семейства экстремалей, взятому в точке сравнимой кривой Y . Если ввести Веб – страница
функцию Вейерштрасса
Титульный лист
E(x, y, u, v) = F (x, y, v) ? F (x, y, u) ? Fu (x, y, u) · (v ? u) , (8.29)

последний интеграл перепишется в виде
x2
Страница 136 из 197
E(x, Y, z, Y ) dx . (8.30)
?I[y] =
x1 Назад

Именно на этом представлении будет основываться вывод достаточных условий экс- Полный экран
тремума. Однако предварительно установим последние два из необходимых условий.
Нетрудно получить следующее необходимое условие Закрыть

Выход
Теорема 8.15 (Необходимое условие Вейерштрасса). Если функция y = y(x)
доставляет минимум функционалу I в классе непрерывных, кусочно непрерывно
дифференцируемых функций, то
Постановка некоторых . . .
E(x, y(x), y (x), Y (x)) 0
Введение в вариационный метод
для каждой неугловой точки (x, y(x)) при любом значении Y (x). Уравнение Эйлера–Лагранжа

Доказательство. Фиксируем неугловую точку (x0 , y(x0 )) минимизирующей экстре- Приложения
мали. Предположим, что Обобщения
Задачи на условный экстремум
E(x0 , y(x0 ), y (x0 ), Y (x0 )) < 0 .
Первое необходимое условие . . .
Тогда в силу непрерывности функции Вейерштрасса она будет отрицательной и Семейства экстремалей
во всех достаточно близких точках к точке (x0 , y(x0 ), y (x0 ), Y (x0 )). Выпустим из Динамика частиц
точки A = (x0 , y(x0 )) прямую с наклоном Y (x0 ): Проблема минимума . . .
y = y(x0 ) + Y (x0 ) · (x ? x0 ) Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
и фиксируем на этой прямой точку B = (b, v) такую, чтобы на всем отрезке от A до
B функция Вейерштрасса была отрицательна. Веб – страница
Выберем правее точки A точку C на минимизирующей кривой так, чтобы дуга
?AC не содержала угловых точек и чтобы точка C не являлась сопряженной с точкой Титульный лист

A. Согласно теореме 8.2 о включении экстремали в семейство экстремалей, а также
согласно выбору точки C существует семейство экстремалей y(x, ?), соединяющих
точку C с точками отрезка AB, см. рис. 15. Тогда в соответствии с теоремой (8.5)
и в силу U {CC} = 0,
I{?BC } ? I{?AC } = ?U {AB} , Страница 137 из 197

где ?BC и ?AC — конечная и начальная экстремали семейства. Прибавляя к каждой
Назад
части полученного равенства интеграл I{AB}, получим
Полный экран
b

I{AB ? ?BC } ? I{?AC } = E(x0 , y(x0 + Y (x0 )(x ? x0 )), yx , Y (x0 )) dx , Закрыть
x0
Выход
B Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
C
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
?
A Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Рис. 15: К доказательству условия Вейерштрасса Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
где b — абсцисса точки B и под AB ??BC понимается составная кривая. Полученное Существование минимума . . .
равенство привело к противоречию, поскольку справа стоит величина, по построе- Лемма Гейне-Бореля
нию, отрицательная, в то время как слева не отрицательная (в силу того, что дуга

<< Предыдущая

стр. 22
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>