<< Предыдущая

стр. 23
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Веб – страница
?AC является частью кривой, доставляющей минимум).
Титульный лист
Полезно переписать полученное в доказательстве теоремы соотношение для при-
ращения интеграла I = I(b) в терминах бесконечно малых, устремляя точку B к
точке A в заданном направлении. В этом случае в точке A

dI = E(x0 , y(x0 ), y (x0 ), Y (x0 )) dx ,
Страница 138 из 197
причем можно показать, что это равенство будет выполняться вне зависимости от
того, является ли допредельная кривая ?BC экстремалью или нет. Оно определяет Назад
бесконечно малое изменение интеграла I в точке A в направлении с коэффициентом
Полный экран
наклона Y (x0 ). Данное дифференциальное соотношение непосредственно ведет к
утверждению теоремы, поскольку величина I при варьировании минимизирующей
Закрыть
экстремали не может убывать.
Выход
Следствие 8.16 (Необходимое условие Лежандра). Если регулярная экстремаль
y = y(x) доставляет минимум функционалу I, то на всем ее протяжении

?2F Постановка некоторых . . .
> 0.
?y 2 Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Доказательство. Напишем формулу Тейлора для функции Вейерштрасса
Приложения

E(x, y(x), y (x), Y (x)) Обобщения
Задачи на условный экстремум
в точке (x, y(x), y (x), y (x)). Тогда Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
E(x, y(x), y (x), Y (x)) = E(x, y(x), y (x), y (x)) Динамика частиц
+ EY (x, y(x), y (x), y (x)) · (Y ? y ) Проблема минимума . . .
2 2
+ EY (x, y(x), y (x), y (x)) · (Y ? y ) + o((Y ? y ) ) . Существование минимума . . .
Y
Лемма Гейне-Бореля
Остается заметить, что
Веб – страница
E(x, y(x), y (x), y (x)) = 0 ,
Титульный лист
EY (x, y(x), y (x), y (x)) = Fy (x, y(x), y (x)) ? Fy (x, y(x), y (x)) = 0 ,
EY (x, y(x), y (x), y (x)) = Fy y (x, y(x), y (x)) ,
Y

откуда вытекает неотрицательность Fy y (x, y(x), y (x)). Однако равенство нулю ис-
ключается ввиду условия регулярности. Страница 139 из 197

Замечание 8.17. Отметим, что если обобщение условия регулярности на случай
Назад
нескольких искомых функций выглядит, как невырожденность матрицы
Полный экран
2
?F
det = 0, Закрыть
?yi ?yj
Выход
то условие Лежандра формулируется как условие положительной определенности
этой матрицы:

?2F 2 Постановка некоторых . . .
?i ?j > 0 (??1 , . . . , ?j : ?i = 1) .
?yi ?yj Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
На этот раз мы собрали достаточное количество необходимых условий.
Приложения
Обобщения
8.8. Понятие поля экстремалей Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Вывод достаточных условий основывается на формуле (8.30). Однако для того, чтобы
воспользоваться этой формулой, мы должны с самого начала располагать какой- Семейства экстремалей
либо функцией наклона семейства экстремалей, причем определенной в некоторой Динамика частиц
окрестности исследуемой экстремали. Построением такой функции наклона мы и Проблема минимума . . .
займемся. Существование минимума . . .
Будем говорить, что это семейство экстремалей y = y(x, ?) однократно покрывает Лемма Гейне-Бореля
область D плоскости xy для значений x ? (a, b) и ? ? (?, ?), если через каждую точ-
Веб – страница
ку области D проходит одна и только одна экстремаль семейства. Это означает, что
параметр ? может быть описан как функция точки (x, y): экстремаль y(x, ?), прохо-
Титульный лист
дящая через точку (x, y) определяет значение этой функции ? = ?(x, y). Функция

z(x, y) = yx (x, ?(x, y))

называется функцией наклона семейства y(x, ?). Заметим, что экстремали семей-
ства можно описать как решения дифференциального уравнения Страница 140 из 197


y = z(x, y) . Назад


Описанные семейства экстремалей на плоскости называют полями экстремалей. Полный экран

Итак,
Закрыть

Выход
Определение 8.18. Пусть D — ограниченная связная область на плоскости xy.
Говорят, что непрерывно дифференцируемая функция z(x, y) определяет поле на-
правлений (1, z(x, y)) в области D для функционала I[y], если каждое решение
дифференциального уравнения Постановка некоторых . . .
y = z(x, y) Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
является экстремалью функционала I[y]. Так полученное семейство экстремалей
Приложения
называется полем экстремалей.
Обобщения
Отметим, что в согласии с теоремой существования и единственности решений Задачи на условный экстремум
дифференциальных уравнений, поле экстремалей действительно однократно покры- Первое необходимое условие . . .
вает область определения D.
Семейства экстремалей

Определение 8.19. Говорят, что экстремаль y = y(x) вложена в поле экстремалей, Динамика частиц
если область определения соответствующего поля направлений является окрестно- Проблема минимума . . .
стью графика данной экстремали и функция y(x) является решением дифференци- Существование минимума . . .
ального уравнения этого поля. Лемма Гейне-Бореля

Теорема 8.20. Если однопараметрическое семейство экстремалей y = Y (x, ?), Веб – страница
дважды непрерывно дифференцируемое по x и ? (в действительности доста-
Титульный лист
точно непрерывности функций Yxx и Yx? ) в области D для значений x ? (a, b) и
? ? (?, ?), содержит экстремаль y = Y (x, ?0 ) ? y0 (x) такую, что Y? (x, ?0 ) = 0
при всех x ? [x1 , x2 ] ? (a, b), то эта экстремаль для значений x ? [x1 , x2 ] может
быть вложена в поле экстремалей.
Доказательство. Рассмотрим уравнение Страница 141 из 197

y = Y (x, ?) Назад

в окрестности точки (x, y0 (x), ?0 ), где x ? [x1 , x2 ]. В силу теоремы о неявной функ- Полный экран
ции (здесь важно, что Y? (x, ?0 ) = 0 и в силу непрерывности это неравенство
Закрыть

Выход
y2
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
y0 (x)
Уравнение Эйлера–Лагранжа

y1 Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
x1 x2 Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Рис. 16: Включение в поле экстремалей Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
выполнено и в некоторой окрестности точки ?0 ) в некоторой окрестности точки
(x, y0 (x), ?0 ) существует однозначно определенная функция Титульный лист


? = ?(x, y)

такая, что
y ? Y (x, ?(x, y)) , ? ? ?(x, Y (x, ?)) .
Страница 142 из 197
Построим такую функцию ? в окрестности каждой точки (x, y0 (x), ?0 ), где x ?
[x1 , x2 ]. По лемме Гейна–Бореля уже конечное число окрестностей покроет кри- Назад
вую y = y0 (x) , x ? [x1 , x2 ], см. рис. 16. Фиксируем такое конечное объедине-
Полный экран
ние окрестностей. Рассмотрим окрестность точки (x1 , y0 (x1 ), ?0 ) и следующую за
ней. В пересечении этих двух соседних окрестностей локальные функции ? в силу Закрыть
единственности обязаны совпадать. Это позволяет продолжить функцию ? с пер-
Выход
вой окрестности на объединение ее со второй. Повторив этот процесс продолжения
несколько раз мы за конечное число шагов достигнем второго конца экстремали
y = y0 (x) и определим функцию ? в некоторой окрестности U этой экстремали,
точнее, в окрестности графика кривой (x, y0 (x), ?0 ), где x ? [x1 , x2 ]. Окрестность U Постановка некоторых . . .
можно представлять в виде Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
U = Uxy ? (?0 ? ?, ?0 + ?) ,
Приложения

где Uxy — окрестность графика экстремали y = y0 (x). Тогда функция ? будет Обобщения
определена на Uxy и принимать значения в интервале (?0 ? ?, ?0 + ?). Заметим, Задачи на условный экстремум
что функция ? является непрерывно дифференцируемой (и даже дважды), как это Первое необходимое условие . . .
следует из теоремы о неявной функции и равенств Семейства экстремалей
Динамика частиц
?Y
?? ?? 1
?x
= ? ?Y , = ?Y . Проблема минимума . . .
?x ?y
?? ?? Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
В окрестности Uxy рассмотрим функцию
Веб – страница
z(x, y) = Yx (x, ?(x, y)) .
Титульный лист
Эта функция является непрерывно дифференцируемой, т.к.

?2Y ? 2 Y ?? ? 2 Y ??
?z ?z
· ·
= + , = .
?x2
?x ?x?? ?x ?y ?x?? ?y
Как следствие, дифференциальное уравнение Страница 143 из 197

y = z(x, y) Назад

удовлетворяет теореме существования и единственности решения задачи Коши. Но Полный экран
по построению экстремали семейства y = Y (x, ?) удовлетворяют этому уравнению:
Закрыть
y = Yx (x, ?) , z(x, Y (x, ?)) = Yx (x, ?(x, Y (x, ?))) = Yx (x, ?) ,
Выход
и при ? = ?0 содержат экстремаль y = y0 (x). Это в точности и означает, что
построенная выше окрестность кривых семейства Y (x, ?), графики которых лежат в
Uxy , для значений параметра ? в интервале (?0 ??, ?0 +?) образует поле экстремалей,
в которое вложена экстремаль y = y0 (x). Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод

8.9. Достаточные условия Вейерштрасса Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Принято различать два типа минимумов (максимумов) интегральных функционалов. Обобщения
Задачи на условный экстремум
Определение 8.21. Значение I[y] функционала I называется сильным относитель-
ным минимум, если функция y дает наименьшее значение интеграла I в классе Первое необходимое условие . . .
функций, равномерно близких к y, т.е. если при некотором ? > 0 имеет место им- Семейства экстремалей
пликация Динамика частиц
Проблема минимума . . .
y?Y max |y(x) ? Y (x)| < ? ?
= I[y] I[Y ] .
C Существование минимума . . .
x?[x1 ,x2 ]
Лемма Гейне-Бореля
Как уже отмечалось ранее, равномерную ?-окрестность кривой y = y(x) мож-
Веб – страница
но представлять себе как часть плоскости, покрываемую кривыми y = Y (x), для
которых вертикальное отклонение от кривой y = y(x) меньше чем ?, см. рис. 5. Титульный лист

Определение 8.22. Значение I[y] функционала I называется слабым относитель-
ным минимум, если функция y дает наименьшее значение интеграла I в классе
функций, близких к y в смысле C 1 -нормы, т.е. если при некотором ? > 0 имеет
место импликация
Страница 144 из 197
y?Y max |y(x) ? Y (x)| + max |y (x) ? Y (x)| < ? ?
= I[y] I[Y ] .
C1
x?[x1 ,x2 ] x?[x1 ,x2 ] Назад

Ясно, что C1 -окрестность функции y образуют только те функции из равномерной Полный экран
окрестности, которые в каждой точке не слишком сильно (а правильнее сказать
— очень незначительно) отклоняются от направления функции y. На рис. 17 обе Закрыть

Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
y2 2? Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Y2 (x)
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
y(x)
y1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Y1 (x) Веб – страница

Титульный лист


<< Предыдущая

стр. 23
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>