<< Предыдущая

стр. 24
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>



x1 x2

Страница 145 из 197
1
Рис. 17: C и C окрестности функции y
Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
кривые Y1 и Y2 лежат в равномерной ?-окрестности кривой y, но только Y2 лежит в
?-окрестности в C 1 -норме.
Таким образом сильным минимум обязательно будет являться и слабый, однако
обратное, вообще говоря, не верно. Постановка некоторых . . .
Отметим, что если минимум (слабый или сильный) достигается в некоторой Введение в вариационный метод
окрестности функции y только на функции y, то его называют строгим. Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Теорема 8.23 (Достаточное условие слабого относительного минимума). Пусть
Обобщения
функция F (x, y, z) является трижды непрерывно дифференцируемой. Если кривая
Задачи на условный экстремум
y = y(x) не содержит угловых точек и удовлетворяет:
Первое необходимое условие . . .
1. уравнению Эйлера: Семейства экстремалей
?F d ?F
? = 0, Динамика частиц
?y dx ?y
Проблема минимума . . .

2. усиленному условию Лежандра: Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?2F
> 0, Веб – страница
?y 2
Титульный лист
3. усиленному условию Якоби: кривая y = y(x) , x ? [x1 , x2 ] не содержит точ-
ки, сопряженной с начальной,
то экстремаль y является строгим слабым минимумом функционала
x2
Страница 146 из 197
I= F (x, y, y ) dx .
Назад
x1

в классе кривых с закрепленными концами: Полный экран

Закрыть
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 .
Выход
?


Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
? Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
x0 x1 x2 Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
Рис. 18: Погружение в поле экстремалей
Титульный лист


Доказательство. Рассмотрим экстремаль, удовлетворяющую условиям теоремы.
Согласно условию Гильберта 7.3, y является трижды непрерывно дифференци-
руемой. Прежде всего погрузим экстремаль в поле экстремалей. Согласно след-
ствию 8.14, существует продолжение этой экстремали на интервал [x0 , x2 ] , x0 < x1 , Страница 147 из 197
такое, что продолженная экстремаль также не имеет сопряженной точки относитель-
но начальной. Рассмотрим однопараметрическое семейство экстремалей y = y(x, ?), Назад
выпущенных из точки (x0 , y(x0 )), см. рис. 18. Будем считать, что исходная экс-
Полный экран
тремаль выделяется заданием параметра ? = ?0 , см., например, теорему 8.2 и да-
лее. В силу отсутствия сопряженных точек относительно точки x0 на экстремали
Закрыть

Выход
y = y(x, ?0 ) заключаем:
?y
=0
??
при ? = ?0 и x ? (x0 , x2 ]. В частности, производная y? (x, ?0 ) не обращается в Постановка некоторых . . .

ноль всюду при x ? [x1 , x2 ]. Тогда по теореме 8.20 экстремаль y = y(x) , x ? Введение в вариационный метод
[x1 , x2 ] вкладывается в поле экстремалей y = y(x, ?). Функцию наклона этого поля Уравнение Эйлера–Лагранжа
обозначим через z(x, y). Приложения
Заметим, далее, что в силу формулы Тейлора: Обобщения
Задачи на условный экстремум
F (x, y, w)
F (x, y, v) = F (x, y, u) + Fu (x, y, u)(v ? u) + uu (v ? u)2 , Первое необходимое условие . . .
2
Семейства экстремалей
где w — некоторая точка, лежащая между u и v. Как видим, функция Вейерштрасса Динамика частиц
E (8.29) удовлетворяет равенству Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
F (x, Y, Z)
E(x, Y, z, Y ) = zz (Y ? z)2 , (8.31) Лемма Гейне-Бореля
2
Веб – страница
где Z лежит между Y и z. Усиленное условие Лежандра в силу непрерывно-
сти функции Fy y будет выполнено в достаточно малой окрестности V экстрема- Титульный лист
ли y(x, ?0 ) в смысле C 1 -нормы. Ограничим как размеры поля экстремалей, так и
множество сравнимых функций Y окрестностью V . Тогда в этой окрестности при
Y =y
E(x, Y, z, Y ) > 0
и согласно формуле (8.30) Страница 148 из 197

x2 Назад

E(x, Y, z, Y ) dx > 0 .
?I[y] =
Полный экран
x1
Закрыть

Выход
Замечание 8.24. Отметим отдельно некоторые положения приведенного доказатель-
ства.
Во–первых, требование трижды непрерывной дифференцируемости F связано с
Постановка некоторых . . .
обращением к условию Якоби, см. пункт 8.6.
Введение в вариационный метод
Во–вторых, доказательство основывается на формуле (8.30) для полного прира- Уравнение Эйлера–Лагранжа
щения. Для того, чтобы произвольная (но близкая) сравнимая функция Y в Приложения
каждой своей точке пересекалась некоторой экстремалью семейства и требует- Обобщения
ся построение поля экстремалей, в которое погружается исходная экстремаль.
Задачи на условный экстремум
В–третьих, построение поля основывается на теореме 8.2 и, прежде всего, усло- Первое необходимое условие . . .
вии y? = 0. Отсутствие сопряженных точек гарантирует выполнение этого Семейства экстремалей
неравенства на сегменте (x0 , x2 ], где x0 — начальная точка пучка экстрема- Динамика частиц
лей. Именно поэтому не достаточно выпустить пучок экстремалей из точки x1 , Проблема минимума . . .
а приходится отступить влево от точки x1 . При этом важно сохранить условие Существование минимума . . .
Якоби и для сдвинутой точки, что гарантируется следствием 8.14. Лемма Гейне-Бореля

Наконец, окрестность V следует представлять как множество точек (x, y, z) трех- Веб – страница
мерного пространства, удовлетворяющих условиям
Титульный лист
x ? (x1 ? ?, x2 + ?) ? |y ? y(x)| < ? , |z ? y (x)| < ? ,
для некоторых положительных ? и ?. Сравнимая функция Y , например, будет
лежать в этой окрестности, если
x ? (x1 ? ?, x2 + ?) ? |Y (x) ? y(x)| < ? , |Y (x) ? y (x)| < ? ,
Страница 149 из 197
и аналогично для экстремалей поля.
Назад
Аналогично устанавливается
Полный экран
Теорема 8.25 (Достаточное условие сильного относительного минимума).
Пусть функция F (x, y, z) является трижды непрерывно дифференцируемой. Если Закрыть
кривая y = y(x) не содержит угловых точек и удовлетворяет:
Выход
1. уравнению Эйлера:
?F d ?F
? = 0,
?y dx ?y
Постановка некоторых . . .
2. усиленному условию Вейерштрасса: для (x, y, z) ? V (где окрестность V Введение в вариационный метод
экстремали y = y(x) описана в замечании 8.24) и при произвольных v
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
E(x, y, z, v) > 0 ,
Обобщения
Задачи на условный экстремум
3. усиленному условию Якоби: кривая y = y(x) , x ? [x1 , x2 ] не содержит точ-
ки, сопряженной с начальной, Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
то экстремаль y является строгим сильным минимумом функционала Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x2
Существование минимума . . .
I= F (x, y, y ) dx .
Лемма Гейне-Бореля
x1

Веб – страница
в классе кривых с закрепленными концами:
Титульный лист
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 .

В качестве примера докажем сначала, что экстремаль y = ch x является локаль-
ным слабым минимум в задаче о наименьшей поверхности вращения 4.3 с гранич-
ными условиями
y(0) = 1 , y(b) = ch b . Страница 150 из 197

1 + y 2 . Условие Лежандра очевидно вы-
Функция Лагранжа F имеет вид F = y Назад
полнено:
y
> 0. Полный экран
2) 3
(1 + y 2

Закрыть

Выход
Составим уравнение Якоби (8.24). В нашем случае
y 1
A = ?Fyy y y = ? =? ,
ch2 x
3
(1 + y 2 ) 2 Постановка некоторых . . .
y 1 Введение в вариационный метод
B = Fy y = = .
ch2 x
3
(1 + y 2 ) Уравнение Эйлера–Лагранжа
2

Приложения
Тогда уравнение Якоби принимает вид
Обобщения

? ? Задачи на условный экстремум
+ =0
ch2 x ch2 x Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
или
sh x Динамика частиц
? ?2 ? + ? = 0.
ch x Проблема минимума . . .
Одно решение этого уравнения угадывается: Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?1 = sh x .
Веб – страница
Второе решение, линейно независимое с первым, можно вычислить по известной
формуле Титульный лист
W
?2 = ?1 2 dx ,
?1
где
sh x
W = e2 ch x dx = ch2 x
Страница 151 из 197
— вронскиан решений. Тогда
Назад
?2 = x sh x ? ch x .
Полный экран
Общее решение имеет вид
Закрыть
? = C1 ?1 + C2 ?2 = (C1 + C2 x) sh x + C2 ch x .
Выход
Легко видеть, что единственным решением уравнения Якоби с нулевыми граничны-
ми условиями
?(0) = ?(b) = 0
Постановка некоторых . . .
является только тривиальное ? ? 0, т.е. на экстремали y = ch x нет точек, сопря-
Введение в вариационный метод
женных с начальной точкой. Это завершает проверку достаточных условий слабого
Уравнение Эйлера–Лагранжа
минимума.
Приложения
Нетрудно, однако, заметить, что производная Fy y в данном случае положитель-
на не только на экстремале y = ch x, но при всех значениях аргументов в области Обобщения
y > 0: Задачи на условный экстремум
y
Fy y = 3.
Первое необходимое условие . . .
(1 + y 2 ) 2 Семейства экстремалей

Как следствие, выполнены достаточные условия и для сильного минимума (функция Динамика частиц
Вейерштрасса E(x, y, u, v) положительна при y > 0, см. (8.31)). Проблема минимума . . .

<< Предыдущая

стр. 24
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>