<< Предыдущая

стр. 25
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Существование минимума . . .

8.10. Уравнение Гамильтона–Якоби Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
Вернемся к интегралу Гильберта (8.15)
Титульный лист
U {?} = [F (x, y, z) ? zFz (x, y, z)]dx + Fz (x, y, z)dy ,
?

образованному для функции наклона z = z(x, y) поля экстремалей функционала
x2 Страница 152 из 197

I= F (x, y, y ) dx .
Назад
x1
Полный экран
Как мы знаем, этот интеграл не зависит от формы кривой ?, а только от начала и
конца интегрирования. Фиксировав начальную точку кривой ? и меняя ее конечную Закрыть

Выход
точку, мы получим функцию двух переменных
(x,y)

[F (x, y, z) ? zFz (x, y, z)]dx + Fz (x, y, z)dy ,
S(x, y) = Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
или, более аккуратно, Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
(x,y)
Обобщения
[F (u, v, z) ? zFz (u, v, z)]du + Fz (u, v, z)dv , (8.32)
S(x, y) = Задачи на условный экстремум
(x0 ,y0 ) Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
где z = z(u, v). Эта функция определена с точностью до постоянной и называется
Динамика частиц
функцией поля. Кривые, на которых функция поля постоянна, называются транс-
Проблема минимума . . .
версальными кривыми поля. Название связано с тем фактом, что экстремали поля
пересекаю такие кривые трансверсально: Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
[F (x, y, z) ? zFz (x, y, z)]dx + Fz (x, y, z)dy = 0 ,
Веб – страница
ср. (5.15), имея в виду равенства dy = ? dx (т.к. это дифференциалы вдоль транс-
Титульный лист
версальных кривых) и z = y (т.к. это функция наклона поля экстремалей).
Найдем производные функции S:
?S ?S
= F (x, y, z) ? zFz (x, y, z) , = Fz (x, y, z) ,
?x ?y
Страница 153 из 197
где z = z(x, y). В условиях регулярности (8.4), находим
Назад
z = P (x, y, p) , p = Fz (x, y, z) .
Полный экран
При этом в согласии с определением преобразования Лежандра (8.11)
Закрыть
F (x, y, z) ? zFz (x, y, z) = ?H(x, y, p) .
Выход
Таким образом,
?S ?S
= ?H(x, y, p) , = p,
?x ?y
т.е. функция поля S = S(x, y) удовлетворяет следующему уравнению в частных Постановка некоторых . . .

производных Введение в вариационный метод
?S ?S Уравнение Эйлера–Лагранжа
(8.33)
+ H x, y, = 0.
?x ?y Приложения

Оно называется уравнением Гамильтона–Якоби. При этом в канонических пере- Обобщения
менных, см. пункт 8.2, Задачи на условный экстремум
(x,y) Первое необходимое условие . . .
p dy ? Hdx ,
S(x, y) = Семейства экстремалей
Динамика частиц
где p и H следует рассматривать как сложные функции переменных x, y, определен- Проблема минимума . . .
ные равенствами
Существование минимума . . .
H = H(x, y, p) = zp ? F (x, y, z) , Лемма Гейне-Бореля

p = Fz (x, y, z) , Веб – страница
z = z(x, y) .
Титульный лист
Заметим, что если через S(x, y) обозначить произвольное решение уравнения
Гамильтона–Якоби (8.33), то в условиях регулярности мы можем определить функ-
цию наклона z(x, y) некоторого поля направлений
?S
z = P (x, y, p) , p= , Страница 154 из 197
?y
где функция P определяется неявно равенством p = Fz (x, y, z). При этом интеграл Назад
Гильберта, составленный по функции наклона z(x, y)
Полный экран

U {?, z} = [F (x, y, z) ? zFz (x, y, z)]dx + Fz (x, y, z)dy , Закрыть
?
Выход
не будет зависеть от пути интегрирования. Действительно, в силу уравнения
Гамильтона–Якоби и определения функции Гамильтона
?S ?S
[F (x, y, z)?zFz (x, y, z)] dx+Fz (x, y, z) dy = ?Hdx+p dy = dx+ dy = dS(x, y) . Постановка некоторых . . .
?x ?y Введение в вариационный метод

Более того, имеет место следующее утверждение. Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Теорема 8.26 (Теорема Якоби). Пусть функция Лагранжа F для интегрального
Обобщения
функционала
Задачи на условный экстремум
x2
Первое необходимое условие . . .
I= F (x, y, y ) dx
Семейства экстремалей
x1
Динамика частиц
является дважды непрерывно дифференцируемой и удовлетворяет условию ре-
Проблема минимума . . .
гулярности
Существование минимума . . .
?2F
= 0. Лемма Гейне-Бореля
?y 2
Веб – страница
Пусть, далее, функция S(x, y, ?) является дважды непрерывно дифференцируе-
мой,
Титульный лист
?2S
(8.34)
= 0,
?y??
и при каждом значении параметра ? удовлетворяет уравнению Гамильтона–
Якоби
?S ?S
+ H x, y, = 0. Страница 155 из 197
?x ?y
Тогда любая непрерывно дифференцируемая функция y(x), удовлетворяющая Назад
уравнению
?S Полный экран
(8.35)
=?
??
Закрыть
при фиксированных значениях ? и ?, является экстремалью функционала I.
Выход
Доказательство. Запишем уравнение Гамильтона–Якоби в виде

Sx + H = 0 , H = H(x, y, p) , p = Sy ,
Постановка некоторых . . .
и продифференцируем его по параметру ?:
Введение в вариационный метод

S?x + Hp · S?y = 0 . Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Продифференцируем, также, по x тождество (8.35), заменяя y на y(x): Обобщения
Задачи на условный экстремум
Sx? + Sy? y = 0 .
Первое необходимое условие . . .

Сопоставление этих равенств ввиду (8.34) и независимости дифференцирования от Семейства экстремалей
порядка приходим к равенству Динамика частиц
(8.36)
y = Hp . Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Аналогично, продифференцируем уравнение Гамильтона–Якоби по переменной y:
Лемма Гейне-Бореля
Syx + Hy + Hp · Syy = 0 ,
Веб – страница

а равенство p = Sy , где y = y(x), — по x:
Титульный лист

p = Sxy + Syy y .

Эти равенства совместно с (8.36) ведут к

p = ?Hy . Страница 156 из 197

Таким образом, функции y(x) и p(x) являются решением канонической системы Назад

dy ?H dp ?H
=?
= , , Полный экран
dx ?p dx ?y
Закрыть
и значит функция y(x) является экстремалью, см. пункт 8.2.
Выход
Отметим, что теорема Якоби позволяет построить двухпараметрическое семей-
ство экстремалей
y = y(x, ?, ?) ,
Постановка некоторых . . .
где ? и ? те же, что и в равенстве (8.35).
Введение в вариационный метод
В качестве примера рассмотрим функционал длины
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x2
Приложения
2
I= 1 + y dx . Обобщения
x1 Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Тогда
z Семейства экстремалей
p = Fz = v
1 + z2 ,
F (x, y, z) = ,
1 + z2 Динамика частиц

и, следовательно, Проблема минимума . . .
p
z = P (x, y, p) = . Существование минимума . . .
p2
1? Лемма Гейне-Бореля
Далее находим функцию Гамильтона
Веб – страница

p2 p2 Титульный лист
= ? 1 ? p2 ,
H(x, y, p) = pz ? F = ? 1+
1 ? p2
p2
1?

и составляем уравнение Гамильтона–Якоби

1 ? Sy2 = 0
Sx ? Страница 157 из 197

или Назад
Sx2 Sy2
+ = 1.
Полный экран
Это уравнение в частных производных относится к типу уравнений
Закрыть
M (x, Sx ) + N (y, Sy ) = 0 ,
Выход
которые могут быть проинтегрированы следующим способом. Введем параметр ?,
составим обыкновенные дифференциальные уравнения
N (y, Sy ) = ?? ,
M (x, Sx ) = ? , Постановка некоторых . . .

и проинтегрируем их, разрешая относительно производных Sx и Sy , соответственно. Введение в вариационный метод
Полученное решение будет иметь вид Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
S = S1 (x, ?) + S2 (y, ?) + S0 .
Обобщения
В рассматриваемом случае положим Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
1 ? ?2 .
Sx = ? , Sy = Семейства экстремалей

При этом Динамика частиц
Проблема минимума . . .
1 ? ?2 · y ,
S1 = ?x , S2 =
Существование минимума . . .
откуда
Лемма Гейне-Бореля
1 ? ? 2 · y + S0 .
S = ?x +
Веб – страница
Экстремали, согласно теореме Якоби, будут находиться из равенства
?y Титульный лист
x? v =?.
1 ? ?2
Например, экстремали, проходящие через начало координат, это прямые
v
1 ? ?2
· x.

<< Предыдущая

стр. 25
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>