<< Предыдущая

стр. 26
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y= Страница 158 из 197
?
Напомним, что интеграл Гильберта, взятый вдоль экстремали, совпадает со значе- Назад
нием исходного функционала для этой экстремали. В этом случае для экстремали,
соединяющей начало координат с точкой (x, y), находим Полный экран

x y
1 ? ?2 =
?= , , Закрыть
x2 + y 2 x2 + y 2
Выход
откуда кратчайшее расстояние от точки (x, y) до начала координат равно (в этом
случае S0 = 0)
x2 y2
= x2 + y 2 .
S(x, y) = +
2 + y2 2 + y2 Постановка некоторых . . .
x x
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 159 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Часть III
Приложения
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Динамика частиц
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Потенциальная и кинетическая энергия. Обобщенные координаты Приложения
Обобщения
Потенциальная энергия
Задачи на условный экстремум
Кинетическая энергия
Первое необходимое условие . . .
Связи. Обобщенные координаты Семейства экстремалей
Динамика частиц
Обобщенные скорости. Лагранжиан
Проблема минимума . . .
Принцип Гамильтона. Уравнения движения Лагранжа
Существование минимума . . .
Принцип Гамильтона
Лемма Гейне-Бореля
Уравнения движений Лагранжа
Веб – страница
Первый интеграл
Титульный лист
Обобщенные моменты. Гамильтоновы уравнения движения
Обобщенные моменты

Гамильтониан. Канонические уравнения

Скобка Пуассона Страница 160 из 197

Функция поля. Уравнение Гамильтона–Якоби
Назад
Канонические преобразования
Полный экран
Проблема минимума квадратичного функционала
Закрыть

Выход
Вариационный метод в задаче на собственные значения
Минимаксное свойство собственных чисел
Существование минимума квадратичного функционала Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Минимизирующая последовательность
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Существование непрерывного предела
Приложения
Дифференцируемость предельной функции Обобщения
Задачи на условный экстремум
Обобщенная лемма Дюбуа–Реймона
Первое необходимое условие . . .
Лемма Гейне–Бореля
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Часть I. Необходимые условия экстремума Веб – страница
Часть II. Достаточные условия экстремума
Титульный лист
Предметный указатель



Страница 161 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
9. Динамика частиц
9.1. Потенциальная и кинетическая энергия. Обобщенные коор-
динаты Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
9.1.1. Потенциальная энергия Уравнение Эйлера–Лагранжа

Рассмотрим систему l частиц, положения которых подчиняются заданным геомет- Приложения
рическим связям и которые, с другой стороны, взаимодействуют между собой с Обобщения
силами, зависящими только от положения частиц. Геометрические связи будут счи- Задачи на условный экстремум
таться постоянными во времени и могут состоять в том, что некоторые из частиц Первое необходимое условие . . .
могут двигаться только вдоль заданных кривых или на заданных поверхностях, или Семейства экстремалей
в том, что сохраняется расстояние, разделяющее некоторые парные частицы. Силу, Динамика частиц
действующую на j-ую частицу, обозначим через Fj = (Fx , Fy , Fz ), где декартовы
j j j
Проблема минимума . . .
компоненты являются функциями 3l координат
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
x1 , y1 , z1 , . . . , xl , yl , zl ,
Веб – страница
определяющих положения частиц системы.
Здесь мы рассмотрим только специальный случай системы — консервативную Титульный лист
систему — для которой существует функция

(9.1)
V = V (x1 , y1 , z1 , . . . , xl , yl , zl ) ,

определяющая силы:
Страница 162 из 197
?V ?V ?V
j j j
Fx = ? Fy = ? Fz = ?
, , , (j = 1, . . . , l) . Назад
?xj ?yj ?zj
Полный экран
Функция V называется потенциальной энергией системы.
Закрыть

Выход
9.1.2. Кинетическая энергия
Кинетическая энергия частицы массы m и скорости v определяется величиной
mv 2 Постановка некоторых . . .
1
= m(x2 + y 2 + z 2 ) .
? ? ? Введение в вариационный метод
2 2
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Для системы l частиц кинетическая энергия равна
Приложения
l Обобщения
1
mj (x2 ?2 ?2 (9.2)
T= ?j + yj + zj ) , Задачи на условный экстремум
2 j=1
Первое необходимое условие . . .

где mj — масса j-ой частицы. По определению T 0. Семейства экстремалей
Динамика частиц

9.1.3. Связи. Обобщенные координаты Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Действие связей в системе l частиц сокращает число независимых переменных. Если
Лемма Гейне-Бореля
связи, описывающие положения частиц, определяются k независимыми уравнениями
Веб – страница
(9.3)
Gi (x1 , y1 , z1 , . . . , xl , yl , zl ) = 0 (i = 1, . . . , k) ,
Титульный лист
то количество независимых координат равно 3l ? k. Равенства (9.3) могут быть
использованы для исключения k зависимых переменных.
Более удобно, однако, ввести n = 3l ? k независимых переменных q1 , . . . , qn ,
описывающих положения частиц. Это не что иное, как параметризация уравнений
связей (9.3):
Страница 163 из 197

(9.4)
xj = xj (q1 , . . . , qn ) , yj = yj (q1 , . . . , qn ) , zj = zj (q1 , . . . , qn )
Назад
для j = 1, . . . , l. Переменные q1 . . . , qn называются обобщенными координатами.
Полный экран
Назначение их — описывать положения частиц системы, автоматически подчиняясь
геометрическим ограничениям (связям). Закрыть
Выбор обобщенных координат не является однозначным.
Выход
9.1.4. Обобщенные скорости. Лагранжиан
Равенства (9.1)-(9.4) определяют потенциальную энергию как [сложную] функцию
обобщенных координат.
Постановка некоторых . . .
Для того, чтобы выразить кинетическую энергию T в терминах обобщенных
Введение в вариационный метод
координат, продифференцируем уравнения (9.4):
Уравнение Эйлера–Лагранжа
l l l Приложения
?xj ?yj ?zj
(9.5)
xj =
? qi ,
? yj =
? qi ,
? zj =
? qi .
? Обобщения
?qi ?qi ?qi
i=1 i=1 i=1 Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Подставляя (9.5) в (9.2), мы получим кинетическую энергию как однородную функ-
цию второй степени от обобщенных скоростей q1 , . . . , qn . Коэффициенты этой квад- Семейства экстремалей
? ?
ратичной формы обобщенных скоростей являются функциями обобщенных коорди- Динамика частиц
нат. Проблема минимума . . .
Считая, что переход к обобщенным координатам и скоростям совершен, введем Существование минимума . . .
функцию Лагранжа — Лагранжиан системы — как разность кинетической и потен- Лемма Гейне-Бореля
циальной энергии:
Веб – страница
L(q1 , . . . , qn , q1 , . . . , qn ) = T ? V .
? ?
Титульный лист
9.2. Принцип Гамильтона. Уравнения движения Лагранжа
9.2.1. Принцип Гамильтона
Принцип Гамильтона принимается как удобный эквивалент законам Ньютона. Он
гласит: Страница 164 из 197
Действительные движения в системе с лагранжианом
Назад
T ? V = L(q1 , . . . , qn , q1 , . . . , qn )
? ?
Полный экран

описываются дважды непрерывно дифференцируемыми функциями q1 (t), . . . , qn (t),
Закрыть

Выход
которые должны сообщать экстремум интегралу
t2

I= L dt , Постановка некоторых . . .
t1 Введение в вариационный метод
для произвольных моментов времени t1 и t2 . Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения

9.2.2. Уравнения движений Лагранжа Обобщения
Задачи на условный экстремум
Согласно принципам вариационного исчисления, действительные движения системы
Первое необходимое условие . . .
будут являться экстремалями, удовлетворяющими системе уравнений Лагранжа
Семейства экстремалей
?L d ?L Динамика частиц
? (9.6)
=0 (i = 1, . . . , n) .
?qi dt ? qi
? Проблема минимума . . .

<< Предыдущая

стр. 26
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>