<< Предыдущая

стр. 27
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Существование минимума . . .
9.2.3. Первый интеграл Лемма Гейне-Бореля

Так как лагранжиан не зависит явно от времени, согласно (5.3), находим первый Веб – страница
интеграл системы
n
?L Титульный лист
?L=E, (9.7)
qi
?
? qi
?
i=1
где величина E является постоянной. Заметим, что ввиду независимости потенци-
альной энергии от обобщенных скоростей
?L ?T ?V ?T Страница 165 из 197
?
= = .
? qi
? ? qi
? ? qi
? ? qi
?
Назад
Далее, однородность кинетической энергии по обобщенным скоростям приводит к
равенству Полный экран
n
?T
(9.8)
qi
? = 2T . Закрыть
? qi
?
i=1
Выход
Как следствие,
E = 2T ? (T ? V ) = T + V ,
что означает, что постоянная E имеет смысл полной энергии системы. При этом мы
Постановка некоторых . . .
вывели закон сохранения полной энергии в консервативной системе.
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
9.3. Обобщенные моменты. Гамильтоновы уравнения движения. Приложения
9.3.1. Обобщенные моменты Обобщения
Задачи на условный экстремум
Имея дело с системой, состояние которой полностью определяется обобщенными
Первое необходимое условие . . .
координатами q1 , . . . , qn и лагранжианом L, определим обобщенные моменты
Семейства экстремалей
?L ?T
Опр. Динамика частиц
(9.9)
pi = = (i = 1, . . . , n) .
? qi
? ? qi
? Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Поскольку кинетическая энергия T является квадратичной формой относительно
Лемма Гейне-Бореля
обобщенных скоростей qi , то обобщенные моменты pi являются линейными одно-
?
родными функциями обобщенных скоростей. Веб – страница

Титульный лист
9.3.2. Гамильтониан. Канонические уравнения
Используя равенства (9.9), исключим обобщенные скорости из лагранжиана, выра-
жая его через канонические переменные q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , и определим гамиль-
тониан системы
n
pi q i ? L . (9.10)
H(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) = ? Страница 166 из 197
i=1
Назад
Введение канонических переменных возможно, если, согласно условиям теоремы о
неявной функции, Полный экран

?2L
?(p1 , . . . , pn ) Закрыть
(условие регулярности) .
= det =0
?(q1 , . . . , qn )
? ? ? qi ? qj
??
Выход
Как и в одномерном случае
n n
?H ? qi
? ?L ? qi?
pi · ? ·
= qj +
? = qj
? (j = 1, . . . , n) .
?pj ?pj i=1 ? qi ?pj
? Постановка некоторых . . .
i=1
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Эти равенства являются явными решениями уравнений (9.9) относительно обобщен-
Приложения
ных скоростей:
Обобщения
?H Задачи на условный экстремум
= Pj , qj = Pj (t, q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) ,
? pj = Lqj (t, q1 , . . . , qn , q1 , . . . , qn ) .
? ?
?
?pj Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Воспользуемся тождеством (9.8) Динамика частиц
n Проблема минимума . . .
?T
2T = qj
? . Существование минимума . . .
? qj
?
j=1 Лемма Гейне-Бореля

Подстановка его в (9.10) дает Веб – страница

n
?T Титульный лист
qi ? L = 2T ? (T ? V ) = T + V ,
H= ?
? qi
?
i=1

что определяет смысл гамильтониана как полной энергии системы.
Далее,
n n
?H ? qi
? ?L ?L ? qi? ?L Страница 167 из 197
pi · ? ? · =?
= ,
?qj ?qj ?qj ? qi ?qj
? ?qj
i=1 i=1 Назад
откуда в силу уравнений Эйлера–Лагранжа (9.6)
Полный экран
dpj d ?L ?L ?H
=?
= = . Закрыть
dt dt ? qj
? ?qj ?qj
Выход
Как и в одномерном случае мы пришли к канонической форме уравнений Эйлера–
Лагранжа
? dqj = ?H ,
?
?
? dt ?pj Постановка некоторых . . .
(9.11)
? dpj ?H Введение в вариационный метод
=? ,
?
?
dt ?qj Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
j = 1, . . . , n.
Обобщения
Задачи на условный экстремум
9.3.3. Скобка Пуассона
Первое необходимое условие . . .
Пусть ?(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) и ?(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) — две дифференцируемые Семейства экстремалей
функции канонических переменных. Их скобкой Пуассона {?, ?} называется функ- Динамика частиц
ция Проблема минимума . . .
n
?? ?? ?? ??
{?, ?} = · ? · . Существование минимума . . .
?pi ?qi ?qi ?pi Лемма Гейне-Бореля
i=1

Если теперь переменные q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn меняются согласно уравнениям движе- Веб – страница
ния (9.11), то
Титульный лист
n n
d? ?? dqi ?? dpi ?? ?H ?? ?H
· · · ? · = {H, ?} .
= + =
dt ?qi dt ?pi dt ?qi ?pi ?pi ?qi
i=1 i=1

Как следствие, величина ?, не зависящая явно от времени, является первым инте-
гралом уравнений движения (9.11) тогда и только тогда, когда ее скобка Пуассона с Страница 168 из 197
функцией Гамильтона равна нулю:
Назад
?? {H, ?} = 0 .
?(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) = Const
Полный экран

Закрыть

Выход
9.3.4. Функция поля. Уравнение Гамильтона–Якоби
Интеграл Гильберта определяется равенством
Постановка некоторых . . .
n n
U {?, f } = L(q , f ) ?
q q q
fi Lfi (q , f ) dt + Lfi (q , f )dqi Введение в вариационный метод
i=1 i=1 Уравнение Эйлера–Лагранжа
?
Приложения
[L ? f | q
= f L ]dt + f L|dq , Обобщения
? Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
где q = (q1 , . . . , qn ) , f = (f1 , . . . , fn ) и fi = fi (t, q ) — функции наклона. Если
Семейства экстремалей
q = q (t, ?) — n-параметрическое семейство экстремалей qi = qi (t, ?1 , . . . , ?n ) и
Динамика частиц
fi = qi
? (i = 1, . . . , n) , Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
то интеграл Гильберта не зависит от пути интегрирования (от формы пути, но не
Лемма Гейне-Бореля
от конечной и начальной точек) при условии, что путь ? застилается экстремалями
семейства q = q (t, ?). Веб – страница
Как и в одномерном случае, если функции наклона fi являются непрерывно диф-
ференцируемыми в некоторой области D ? Rn+1 и решения системы обыкновенных Титульный лист
дифференциальных уравнений
?
q = f (t, q )
являются экстремалями функционала
t2 Страница 169 из 197
I= L dt ,
Назад
t1

Полный экран
то говорят, что функция наклона f определяет поле экстремалей с полем направле-
ний (1, f ). Через каждую точку области D проходит одна и только одна экстремаль Закрыть
поля.
Выход
Если f — функция наклона поля экстремалей, то функция поля определяется
равенством
q q
(t,q ) (t,q )
Постановка некоторых . . .
[L ? f | p |dq ? Hdt ,
q q
S(t, q ) = fL ]dt + f L|dq = p = (p1 , . . . , pn ) . Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Напомним, что в последнем равенстве функции pi следует рассматривать как слож- Приложения
ные Обобщения
?L
pi = , L = L(q1 , . . . , qn , q1 , . . . , qn ) ,
? ? qi = fi .
? Задачи на условный экстремум
? qi
?
Первое необходимое условие . . .
При этом
Семейства экстремалей
?S ?S
= ?H , = pi , Динамика частиц
?t ?qi
Проблема минимума . . .
что ведет к уравнению Гамильтона–Якоби
Существование минимума . . .
?S ?S ?S Лемма Гейне-Бореля
+ H q1 , . . . , q n , ,..., = 0,
?t ?q1 ?qn
Веб – страница
или кратко
?S Титульный лист
q
+ H(q , q S) = 0 ,
?t
также определяющему функцию поля.

<< Предыдущая

стр. 27
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>