<< Предыдущая

стр. 28
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Если S(t, q1 , . . . , qn , ?1 , . . . , ?n ) — n-параметрическое семейство решений уравне-
ния Гамильтона–Якоби, то в условиях регулярности и при условии
Страница 170 из 197
?2S
det = 0,
?qi ??j Назад

решение q = q (t) системы уравнений Полный экран

?S Закрыть
(9.12)
= ?i (i = 1, . . . , n)
??i
Выход
при любых фиксированных значениях параметров ?i и ?i , является экстремалью
функционала I. При этом равенства (9.12) (неявно) совместно с системой
?S
pi = Постановка некоторых . . .
?qi
Введение в вариационный метод
определяют решение канонической системы (теорема Якоби). Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
9.3.5. Канонические преобразования Обобщения
Задачи на условный экстремум
Выбор обобщенных координат и импульсов не является однозначным. Наряду с
Первое необходимое условие . . .
каноническими переменными q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn , отвечающими гамильтониану H
Семейства экстремалей
рассмотрим новые канонические переменные Q1 , . . . , Qn , P1 , . . . , Pn , отвечающие га-
Динамика частиц
мильтониану K, так что канонические уравнения примут вид
Проблема минимума . . .
? dQj = ?K ,
?
Существование минимума . . .
?
? dt ?P j Лемма Гейне-Бореля
? dPj ?K
=? ,
?
Веб – страница
?
dt ?Qj
Титульный лист
j = 1, . . . , n. Тот факт, что выписанные уравнения эквивалентны уравнениям (9.11)
означает, что функции Лагранжа, отвечающие этим двум системам канонических
уравнений, отличаются лишь на полную производную (по времени) некоторой функ-
ции обобщенных координат (как старых, так и новых), см. теорему 3.2:
n n
Страница 171 из 197
? ?
pi q i ? H = Pi Qi ? K + W ,
? W = W (t, q1 , . . . , qn , Q1 , . . . , Qn ) .
i=1 i=1 Назад
Умножая на dt и раскрывая полную производную функции W , найдем
Полный экран
n n
?W ?W ?W
pi ? dqi ? dQi + K ? H ?
Pi + dt = 0 , Закрыть
?qi ?Pi ?t
i=1 i=1
Выход
откуда
?W ?W ?W
Pi = ?
K=H+ , pi = , (i = 1, . . . , n) .
?t ?qi ?Qi
Постановка некоторых . . .
Описанные преобразования переменных называются каноническими, а функция
Введение в вариационный метод
W — производящей функцией данного канонического преобразования.
Элементарным примером канонического преобразования является преобразова- Уравнение Эйлера–Лагранжа
ние Приложения
(q1 , . . . , qn , p1 , . . . , pn ) > (p1 , . . . , pn , ?q1 , . . . , ?qn ) Обобщения
Задачи на условный экстремум
с производящей функцией
Первое необходимое условие . . .
W = q1 Q1 + · · · + qn Qn , Семейства экстремалей
Динамика частиц
так что Проблема минимума . . .
Pi = ?qi
Qi = pi , (i = 1, . . . , n) . Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 172 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
10. Проблема минимума квадратичного функциона-
ла
Постановка некоторых . . .
10.1. Вариационный метод в задаче на собственные значения
Введение в вариационный метод
Рассмотрим задачу на минимум функционала Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
b
Обобщения
[p(x)y 2 (x) + q(x)y 2 (x)] dx . (10.1)
I[y] =
Задачи на условный экстремум
a
Первое необходимое условие . . .
на множестве дважды непрерывно дифференцируемых вещественнозначных функ- Семейства экстремалей
ций y(x), удовлетворяющих условиям Динамика частиц
Проблема минимума . . .
(10.2)
y(a) = y(b) = 0 ,
Существование минимума . . .
и Лемма Гейне-Бореля
b

y 2 (x) dx = 1 . Веб – страница
(10.3)
a Титульный лист
Предполагается, что
1. p(x) — непрерывно дифференцируемая функция положительная функция:
p(x) p0 > 0 (x ? [a, b])
2. q(x) — непрерывная вещественнозначная функция. Страница 173 из 197

Уравнение Эйлера–Лагранжа этой изопериметрической задачи имеет вид Назад

qy ? (py ) ? ?y = 0 , (10.4) Полный экран

т.е. пара (?, y) является собственным значением и собственной функцией задачи Закрыть
Штурма–Лиувилля с условиями Дирихле. Это условие необходимо.
Выход
Положим
L[y] = qy ? (py ) .
Напомним некоторые элементарные свойства решений задачи Штурма–Лиувилля
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
L[y] = ?y ,
Уравнение Эйлера–Лагранжа
y(a) = 0 ,
Приложения
y(b) = 0 . Обобщения
Задачи на условный экстремум
1. Если y(x) — собственная функция уравнения Штурма–Лиувилля, то y (a) = 0
Первое необходимое условие . . .
и y (b) = 0.
Семейства экстремалей
Действительно, если, например, y (a) = 0, то в силу y(a) = 0 и единственности Динамика частиц
решения задачи Коши функция y тождественна равна нулю: y(x) ? 0.
Проблема минимума . . .

2. Каждому собственному значению отвечает единственная с точностью до знака Существование минимума . . .
нормированная собственная функция. Лемма Гейне-Бореля

Действительно, если y1 и y2 — собственные функции, отвечающие собствен- Веб – страница
ному значению ?, то их линейная комбинация
Титульный лист
y(x) = y2 (a)y1 (x) ? y1 (a)y2 (x)

также удовлетворяет уравнению L[y] = ?y и нулевым начальным данным
y(a) = 0 , y (a) = 0, т.е. тождественно равна нулю. Как следствие, решения y1
и y2 пропорциональны. Условие нормировки
Страница 174 из 197
b
Назад
y 2 (x) dx = 1
Полный экран
a

фиксирует собственную функцию с точность до знака. Закрыть

Выход
3. Собственные значения задачи Штурма–Лиувилля вещественны. Соответству-
ющие им собственные функции могут быть выбраны вещественными.
Действительно, если f и g — произвольные дважды непрерывно дифференци-
Постановка некоторых . . .
руемые функции, удовлетворяющие нулевым граничным условиям
Введение в вариационный метод
f (a) = f (b) = g(a) = g(b) = 0 , Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
то формула интегрирования по частям оправдывает равенство
Обобщения
b b
Задачи на условный экстремум
[qf ? (pf ) ]g dx = f [qg ? (pg ) ] dx . Первое необходимое условие . . .
a a Семейства экстремалей

Таким образом, полагая по определению Динамика частиц
Проблема минимума . . .
b
Существование минимума . . .
f |g = f |f ,
f g dx , f= Лемма Гейне-Бореля
a
Веб – страница
заключаем, что
L[f ]|g = f |L[g] . Титульный лист
Это свойство называется симметричностью оператора L. Если теперь y — соб-
ственная функция, отвечающая собственному значению ?, то
2 2
?y = L[y]|y = y|L[y] = ? y ,
Страница 175 из 197
откуда в силу y = 0 получаем ? = ?, т.е. ? — вещественно.
Далее заметим, что в силу линейности уравнения L[y] = ?y и вещественности Назад
коэффициентов p и q отдельно вещественная и мнимая части собственной
функции y будут являться решениями уравнения этого уравнения. Полный экран

В дальнейшем мы всегда будем предполагать вещественность собственных Закрыть
функций.
Выход
4. Различным собственным значениям ?1 и ?2 отвечают ортогональные собствен-
ные функции y1 и y2 :
b

y1 |y2 = y1 y2 dx = 0 . Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
a
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Действительно,
Приложения
(?1 ? ?2 ) y1 |y2 = L[y1 ]|y2 ? y1 |L[y2 ] = 0 . Обобщения
Задачи на условный экстремум
Перейдем теперь к свойствам, связывающим квадратичный функционал I[y] и
Первое необходимое условие . . .
оператор L[y]. Прежде всего отметим равенства
Семейства экстремалей
b b b
Динамика частиц
2 2 2
(10.5)
I[y] = [py + qy ] dx = [?(py ) y + qy ] dx = L[y]y dx = L[y]|y . Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
a a a
Лемма Гейне-Бореля
Положим по определению
b Веб – страница

(10.6)
K(f, g) = [pf g + qf g] dx .
Титульный лист
a

Этот функционал является билинейным. Отметим, что
I[y] = K(y, y)
и Страница 176 из 197
I(y + ?) = I(y) + I(?) + 2K(y, ?) .
Назад
Для функций, удовлетворяющим нулевым граничным условиям
Полный экран
b

K(f, g) = [?(pf ) + qf ]g dx = L[f ]|g . Закрыть
a
Выход
Очевидны свойства
1. Если ? — собственное значение, отвечающее нормированной собственной
функции y оператора L, то
Постановка некоторых . . .
(10.7)
I[y] = ? .
Введение в вариационный метод
Действительно, Уравнение Эйлера–Лагранжа
2

<< Предыдущая

стр. 28
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>