<< Предыдущая

стр. 29
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

I[y] = L[y]|y = ? y = ?. Приложения
Обобщения
2. Если y собственная функция оператора L, а z — ортогональна к y, то
Задачи на условный экстремум
(10.8)
K(y, z) = 0 . Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Действительно, если ? — соответствующее y собственное значение, то Динамика частиц
Проблема минимума . . .
K(y, z) = L[y]|z = ? y|z = 0 .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Пусть теперь ищется функция y, сообщающая минимум функционалу I[y]. Мож-
но доказать, см. приложение A, что существует нормированная непрерывно диффе- Веб – страница
ренцируемая функция y = y1 (x), доставляющая минимум интегралу I[y]. При неко-
тором значении ? = ?1 она должна удовлетворять уравнению Эйлера (10.4). Это Титульный лист
означает, что задача Штурма–Лиувилля имеет собственную функцию y1 , отвечаю-
щую собственному значению ?1 . При этом
min I[y] = I[y1 ] = ?1 .
y =1
Страница 177 из 197
Как следствие, отметим неравенство
Назад
2
(10.9)
I[y] ?1 y ,
Полный экран
причем знак равенства имеет место только для функций ±y1 . Действительно, если
y = k, то Закрыть
I[y] = I[kz] = k 2 I[z] k 2 ?1 ,
Выход
y(x)
где z = , z = 1.
k
Теорема 10.1. Все собственные значения оператора Штурма–Лиувилля L могут
Постановка некоторых . . .
быть расположены в возрастающую бесконечную последовательность
Введение в вариационный метод
?1 < ?2 < . . . < ?n < . . . Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
При этом, если y1 , y2 . . . — последовательность соответствующих нормирован-
Обобщения
ных собственных функций, то для всякого n ? N собственное значение ?n равно
Задачи на условный экстремум
минимуму функционала I[y] при условиях
Первое необходимое условие . . .
b b Семейства экстремалей
2
(i = 1, . . . , n ? 1)
y dx = 1 , yyi dx = 0 Динамика частиц
Проблема минимума . . .
a a
Существование минимума . . .
и нулевых граничных условиях
Лемма Гейне-Бореля

y(a) = y(b) = 0 . Веб – страница

Минимум достигается на функции yn . Титульный лист

Доказательство. Как мы видели выше, утверждение теоремы справедливо при
n = 1. Предположим, что собственные значения ?1 , . . . , ?n?1 , соответствующие соб-
ственным функциям y1 , . . . , yn?1 , также определены в согласии с утверждениями
теоремы. Рассмотрим задачу на минимум функционала I[y] при условиях
Страница 178 из 197
b b

y 2 dx = 1 , Назад
(i = 1, . . . , n ? 1) .
y(a) = y(b) = 0 , yyi dx = 0
a a Полный экран

Как упоминалось выше, можно показать, что решение такой задачи существует и Закрыть
является непрерывно дифференцируемой функцией, см. приложение A. В согласии
Выход
с теорией изопериметрических задач, эта минимизирующая функция является без-
условной экстремалью функционала
b n?1 Постановка некоторых . . .
2 2 2
py + qy ? µy ?
J= ?i yi y dx , Введение в вариационный метод
i=1
a Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
где µ и ?1 , . . . , ?n?1 — множители Лагранжа. Уравнение Эйлера
Обобщения
n?1
Задачи на условный экстремум
2qy ? 2µy ? ?i yi ? (py ) = 0
Первое необходимое условие . . .
i=1
Семейства экстремалей
имеет вид Динамика частиц
n?1
1 Проблема минимума . . .
L[y] = µy + ?i yi .
2 Существование минимума . . .
i=1
Лемма Гейне-Бореля
Умножая это равенство на yj , (j < n) и интегрируя, находим
Веб – страница
n?1
1 ?j
?i yi |yj
0 = K(y, yj ) = L[y]|yj = µ y|yj + = ,
2 2 Титульный лист
i=1

где мы использовали условия ортогональности и свойство (10.8). Итак, все множите-
ли ?j являются нулями, т.е. уравнение Эйлера превращается в уравнение Штурма–
Лиувилля
L[y] = µy , Страница 179 из 197

функция y является собственной и в силу (10.7) Назад

I[y] = µ , Полный экран

т.е. µ является наименьшим значением интеграла I в рассматриваемой задаче на Закрыть
условный экстремум. Остается заметить, что нормированная собственная функция
Выход
yn , отвечающая собственному значению ?n , также удовлетворяет условиям
b b
2
yn yi dx = 0 (i = 1, . . . , n ? 1) ,
I[yn ] = ?n , yn (a) = yn (b) = 0 , yn dx = 1 , Постановка некоторых . . .
a a Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
что означает, что ?n µ, а следовательно, ?n = µ. Апелляция к методу математи-
Приложения
ческой индукции завершает доказательство теоремы.
Обобщения
Задачи на условный экстремум
10.2. Минимаксное свойство собственных чисел Первое необходимое условие . . .

Отметим, далее, следующее свойство собственных чисел. Семейства экстремалей
Динамика частиц
Теорема 10.2 (Курант). Пусть µ — минимум интеграла I[y] при условиях Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
b b

y 2 dx = 1 , Лемма Гейне-Бореля
(i = 1, . . . , n ? 1) ,
zi y dx = 0
a a Веб – страница

где z1 , . . . , zn?1 — произвольные фиксированные непрерывно дифференцируемые Титульный лист
функции. Тогда
µ ?n ,
где ?n — собственное значение оператора Штурма–Лиувилля, ассоциированного
с квадратичным функционалом I[y].
Страница 180 из 197
Доказательство. Положим
n
Назад
y= cj yj ,
j=1 Полный экран

Закрыть

Выход
где y1 . . . , yn — нормированные собственные функции соответствующей задачи
Штурма–Лиувилля. Фиксируем коэффициенты cj так, чтобы
b n
Постановка некоторых . . .
2
c2 = 1 ,
y dx = j Введение в вариационный метод
i=1
a
Уравнение Эйлера–Лагранжа
b n Приложения
(i = 1, . . . , n ? 1) ,
zi y dx = Aij cj = 0 Обобщения
i=1
a Задачи на условный экстремум

где Aij = zi |yj . Эта система имеет решение, поскольку Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
n ? 1.
rank (Aij )
Динамика частиц
Тогда Проблема минимума . . .
n n n Существование минимума . . .
c2 I[yj ] c2 ?j c2
µ I[y] = I cj yj = + ci cj K(yi , yj ) = ?n = ?n . Лемма Гейне-Бореля
j j j
j=1 j=1 j=1 j=1
i=j
Веб – страница

Титульный лист
Следствие 10.3. Пусть при всех x ? [a, b]
p(x) P (x) , q(x) Q(x) .
Пусть ?n и ?n — упорядоченные по возрастанию последовательности собствен-
ных значений задач Штурма–Лиувилля, ассоциированных с функционалами
Страница 181 из 197
b b
Назад
[py 2 + qy 2 ] dx , [P y 2 + Qy 2 ] dx .
I[y] = J[y] =
a a Полный экран

Тогда
Закрыть
?n ?n .
Выход
Доказательство. Пусть yn и Yn — соответствующие нормированные собственные
функции для рассматриваемых задач Штурма–Лиувилля. Пусть, далее, z1 , . . . , zn?1
— произвольные непрерывно дифференцируемые функции. Заметим, что
Постановка некоторых . . .
?y : I[y] J[y] , Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
откуда
Приложения
min I[y] min J[y] .
y =1 y =1
Обобщения
y?z1 ,...,zn?1 y?z1 ,...,zn?1
Задачи на условный экстремум
Правая часть достигает своего наибольшего значения, равного ?n (в силу теоремы
Первое необходимое условие . . .
Куранта), если положить z1 = Y1 , . . . , zn?1 = Yn?1 , при этом
Семейства экстремалей
min I[y] ?n . Динамика частиц
y =1
Проблема минимума . . .
y?z1 ,...,zn?1
Существование минимума . . .
Остается в последнем неравенстве выбрать z1 = y1 , . . . , zn?1 = yn?1 , что ведет к
Лемма Гейне-Бореля
требуемому
?n ? n . Веб – страница

Титульный лист

Следствие 10.4. Последовательность собственных чисел задачи Штурма–
Лиувилля стремится к бесконечности: ?n > +?.
Доказательство. Действительно, положим
Страница 182 из 197
p1 = min p(x) , q1 = min q(x) , p2 = max p(x) , q2 = max q(x) ,
Назад
и определим функционалы
Полный экран
b

[pi y 2 + qi y 2 ] dx
Ij [y] = (j = 1, 2) . Закрыть
a
Выход
Задачи Штурма–Лиувилля для этих функционалов имеют вид
?pj y + qj y ? ?y = 0 , y(a) = y(b) = 0 ,
и легко решаются. Действительно, фундаментальная система решений образована Постановка некоторых . . .
функциями Введение в вариационный метод
eikj x , e?ikj x , Уравнение Эйлера–Лагранжа
где Приложения
? ? qj
2 Обобщения
kj = .
pj Задачи на условный экстремум
Граничные условия ведут к системе Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
C1 eikj a + C2 e?ikj a = 0
Динамика частиц
C1 eikj b + C2 e?ikj b = 0 ,
Проблема минимума . . .
которая имеет нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю, т.е. Существование минимума . . .

eikj a e?ikj b ? e?ikj a eikj b = 0 e2ikj (b?a) = 1 , Лемма Гейне-Бореля
?
что означает, что kj должно быть вещественным (будем считать его также неотри- Веб – страница

<< Предыдущая

стр. 29
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>