<< Предыдущая

стр. 3
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Обобщения
вую так, чтобы площадь, ограниченная кривой была наименьшей. Эта задача из-
Задачи на условный экстремум
вестна как проблема Плато.
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
1.4. Простейшая вариационная задача Динамика частиц
Все описанные выше случаи можно охарактеризовать как задачи отыскания гладкой Проблема минимума . . .
кривой y = y(x), удовлетворяющей граничным условиям Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
(1.16)
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 ,
Веб – страница
так, чтобы достигалось наименьшее значение интеграла типа
Титульный лист
x2

(1.17)
F (x, y, y ) dx ,
x1

где F (x, y, z) — заданная функция трех переменных. Такие задачи часто называют Страница 14 из 197
простейшими задачами вариационного исчисления.
Следующая задача вариационного исчисления выходит за рамки простейшего Назад
класса.
Полный экран

Закрыть

Выход
1.5. Простейшая изопериметрическая задача
Это тоже классическая задача. Ее формулировка приписывается первой карфаген-
ской царице Дидо (задача Дидоны, из «Энеиды» Вергилия), около 850 г. до Р.Х. по
Постановка некоторых . . .
ортодоксальной хронологии.
Введение в вариационный метод
y Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
y2 P2
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей

P1 Динамика частиц
y1
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист

x
x1 x2



Страница 15 из 197

Рис. 3: К задаче Дидо
Назад

Полный экран
Среди всех гладких кривых длины L, соединяющих заданные точки P1 и P2
(L > |P1 P2 |) найти ту, которая ограничивает наибольшую возможную площадь, Закрыть
заключенную между отрезками двух перпендикуляров, идущих от точек P1 , P2 к
Выход
заданной оси. Положим P1 = P1 (x1 , y1 ) , P2 = P2 (x2 , y2 ) и пусть y = y(x) — искомая
кривая, y > 0, см. рис. 3.
Требуется найти функцию y(x) такую, чтобы
Постановка некоторых . . .
x2
Введение в вариационный метод
1 + y 2 dx = L , (1.18)
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 , Уравнение Эйлера–Лагранжа
x1 Приложения

а интеграл Обобщения
x2
Задачи на условный экстремум
(1.19)
S= y dx Первое необходимое условие . . .
x1 Семейства экстремалей
Динамика частиц
достигал наибольшего возможного значения.
И, наконец, последний пример. Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
1.6. Задача навигации
Веб – страница
В этой задаче рассматривается река ширины b с прямыми параллельными берегами.
Считая один берег реки совпадающим с осью y введем скорость течения реки v = Титульный лист
v(x). Лодка с постоянной скоростью c (c — величина скорости), c > max v(x), за
x?[0,b]
кратчайшее время должна пересечь реку, отчалив из точки O(0, 0), см. рис. 4.
Обозначим через ? угол, который зависит от курса лодки. Тогда реальная ско-
рость движения лодки определяется равенствами
Страница 16 из 197
dx dy
= c cos ? , = v + c sin ? .
dt dt Назад

Отсюда Полный экран
dy v + c sin ?
= ,
dx c cos ? Закрыть

Выход
y



Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей

x Динамика частиц
O b
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Рис. 4: К задаче о навигации Веб – страница

Титульный лист
dy
что позволяет выразить ? через y = :
dx
2
v 1
y? ?1 ?
=
cos2 ?
c cos ?
v2 1 2vy 1
? (1 + y 2 ) = 0
1? 2 · ?
+ Страница 17 из 197
2?
c cos c cos ?
v2 y 2
v2
? vy ± (1 + y 2 )
+ 1? Назад
1 c2 c2
c
?
= v2
cos ? 1? Полный экран
c2
c2 (1 + y 2)
? v 2 ? vy
1
= . Закрыть
c2 ? v 2
c cos ?
Выход
Для времени пересечения реки находим
b b b
c2 (1 + y 2 ) ? v 2 ? vy
dt dx
(1.20)
t= dx = = dx . Постановка некоторых . . .
c2 ? v 2
dx c cos ?
Введение в вариационный метод
0 0 0
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Последний интеграл должен быть минимизирован за счет выбора функции y(x) при
Приложения
условии
Обобщения
(1.21)
y(0) = 0 .
Задачи на условный экстремум
Как видим, в отличие от предыдущих задач, правый конец искомой кривой за- Первое необходимое условие . . .
ранее не определен. В действительности, выбор начальной точки движения лодки Семейства экстремалей
никак не сказывается на форме оптимального курса и условие 1.21 оказывается
Динамика частиц
несущественным. Мы приходим, таким образом, к задаче со свободными концами.
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 18 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
2. Введение в вариационный метод
2.1. Происхождение названия «вариационное исчисление»
Постановка некоторых . . .
Название предмета возникло в результате обозначений Лагранжа, введенных около
Введение в вариационный метод
1760 года. Вернемся к простейшей вариационной задаче (1.16)-(1.17). Обозначим
Уравнение Эйлера–Лагранжа
через ? искомую кривую y = y(x) и через I? — интеграл
Приложения
Обобщения
I{?} = F (x, y, y ) dx
Задачи на условный экстремум
?
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
вдоль кривой ?. Лагранж изменял функцию y(x), определяющую кривую ?, при-
бавляя к ней величину ?y(x), которая также является функцией x. Он называл эту Динамика частиц

величину вариацией функции y(x). Если вариация ?y(x) обращается в ноль в точ- Проблема минимума . . .
ках x1 и x2 , то кривая, определенная функцией y(x) + ?y(x) , x ? [x1 , x2 ] , будет Существование минимума . . .
проходить через концы кривой ?. Эту кривую удобно обозначить через ? + ??. Зада- Лемма Гейне-Бореля
ча состоит тогда в разыскании в данном классе кривых, соединяющих концы кривой
Веб – страница
?, такой кривой, для которой выполняется неравенство
Титульный лист
?I = I{? + ??} ? I{?} 0

при любом выборе вариации ?y(x), определяющей дугу ? +?? из того же класса. Для
решения этой задачи в вариационном исчислении пользуются часто представлением
разности
x2 Страница 19 из 197
[F (x, y + ?y, y + ?y ) ? F (x, y, y )] dx
?I =
Назад
x1
в виде Полный экран
1 1
?I = ?I + ? 2 I + ? 3 I + . . . ,
2! 3! Закрыть

Выход
где ?I , ? 2 I , . . . представляют собой интегралы однородных полиномов первого, вто-
рого и высших порядков от ?y и ее производной ?y = (?y) по x, находимых при
разложении подынтегрального выражения в ?I в ряд Тейлора по степеням ?y и ?y .
Выражения ?I , ? 2 I , . . . называются первой, второй и т.д. вариациями интеграла I. Постановка некоторых . . .
Таковы обозначения Лагранжа, благодаря которым теория экстремума функций, по- Введение в вариационный метод
добных I(?), стала называться вариационным исчислением . Отметим, что функция Уравнение Эйлера–Лагранжа
F называется функцией Лагранжа. Приложения
Существует далеко идущая аналогия между вариациями ?y и дифференциалом Обобщения
независимой переменной dx в дифференциальном исчислении, а также между вари-
Задачи на условный экстремум
ациями ?I , ? 2 I , . . . и дифференциалами df , d2 f , . . . функции f (x).
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
2.2. Современная терминология Динамика частиц

Для введения современной терминологии сделаем небольшой экскурс в теорию Проблема минимума . . .
функций нескольких вещественных переменных. Существование минимума . . .
Напомним, что если f (x) = f (x1 , x2 , . . . xn ) — функция нескольких веще- Лемма Гейне-Бореля
ственных переменных или, что то же самое, — функция векторной переменной
Веб – страница
x = (x1 , x2 , . . . xn ), у нас есть две возможности ввести понятие производной f .
Первая является прямым обобщением понятия дифференциала функции одной Титульный лист

<< Предыдущая

стр. 3
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>