<< Предыдущая

стр. 30
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>


цательным) и равным
?n Титульный лист
kj = (n = 0, 1, . . .) .
b?a
Таким образом, мы нашли собственные значения ?n (j) этих задач
? 2 n 2 pj
?n (j) = + qj
(b ? a)2 Страница 183 из 197
и, тем самым, оценку для собственных значений основной задачи
Назад
22 22
? n p1 ? n p2
+ q1 ?n + q2 .
(b ? a)2 (b ? a)2 Полный экран

Расходимость ?n к бесконечности теперь очевидна. Закрыть

Выход
A. Существование минимума квадратичного функци-
онала
Постановка некоторых . . .
В этом разделе мы докажем существование непрерывно дифференцируемой функции
Введение в вариационный метод
y, доставляющей минимум квадратичному функционалу из параграфа 10.
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
A.1. Минимизирующая последовательность
Обобщения
Прежде всего заметим, что при условии Задачи на условный экстремум
b Первое необходимое условие . . .

|y|2 dx = 1 Семейства экстремалей
Динамика частиц
a
Проблема минимума . . .
значения функционала I[y] ограничены снизу:
Существование минимума . . .
b b
Лемма Гейне-Бореля
[py 2 + qy 2 ] dx y 2 dx = q1 ,
I[y] = q1 q1 = min q .
Веб – страница
a a
Положим Титульный лист
I1 = inf I[y] ,
при условии
2
(i = 1, . . . , N ? 1) . (A.1)
y(a) = y(b) = 0 , y = 1, y|yi = 0
При этом I1 q1 . Согласно свойств точных границ существует последовательность Страница 184 из 197
дифференцируемых функций un , удовлетворяющих условиям
Назад
2
un |yi = 0 (i = 1, . . . , N ? 1) ,
un (a) = un (b) = 0 , un = 1,
таких, что Полный экран
I[un ] > I1 .
Закрыть
Последовательность un называется минимизирующей.
Выход
A.2. Существование непрерывного предела
Последовательность un вообще говоря не сходится. Однако мы покажем, что неко-
торая ее подпоследовательность unk равномерно сходится к непрерывной функции
Постановка некоторых . . .
y.
Введение в вариационный метод
Во-первых, отметим одно важное свойство минимизирующей последовательно-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
сти. Полагая p1 = min p, находим предварительно
Приложения
b b
Обобщения
I[un ] ? q1
1
2 2
un dx pu dx C, Задачи на условный экстремум
p1 p1
a a Первое необходимое условие . . .

где C не зависит от n, т.к. последовательность I[un ] ограничена. Как следствие, Семейства экстремалей
согласно неравенству Шварца Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x2 x2
Существование минимума . . .
2
|un (x2 ) ? un (x1 )| = 1 · un (x) dx |x2 ? x1 | · |x2 ? x1 | ,
un (x) dx C
Лемма Гейне-Бореля
x1 x1
Веб – страница
где x1 и x2 — произвольные точки интервала [a, b]. Подчеркнем, что оценка
Титульный лист
|un (x2 ) ? un (x1 )| |x2 ? x1 | (A.2)
C
верна при всех n. Такое свойство называют равностепенной непрерывностью по-
следовательности un . Из него, в частности, вытекает равномерная ограниченность
функций un : v
|u(x)| C b ? a . Страница 185 из 197

Во-вторых, отметим, что непрерывную функцию достаточно определить лишь Назад
на множестве рациональных чисел из [a, b]. Пусть r1 , r2 , . . . — последовательность
всех рациональных чисел из [a, b]. Последовательность чисел un (r1 ) ограничена, а Полный экран
следовательно, из нее можно извлечь сходящуюся подпоследовательность
Закрыть
u1n (r1 ) > y(r1 ) .
Выход
Последовательность чисел u1n (r2 ) также ограничена и из нее снова можно извлечь
сходящуюся
u2n (r2 ) > y(r2 ) .
Постановка некоторых . . .
Отметим, что последовательность функций u2n сходится уже в двух точках — r1
Введение в вариационный метод
и r2 . Продолжая этот процесс неограниченно, рассмотрим диагональную последова-
тельность unn . Эта последовательность будет сходится в любой точке rk , т.к. при Уравнение Эйлера–Лагранжа

n > k она становится подпоследовательностью последовательности ukn , которая по Приложения
построению сходится при r1 , . . . , rk . Переходя к пределу в неравенстве Обобщения
Задачи на условный экстремум
|unn (x2 ) ? unn (x1 )| |x2 ? x1 | ,
C Первое необходимое условие . . .

где x1 и x2 — произвольные рациональные точки интервала [a, b], получим неравен- Семейства экстремалей

ство Динамика частиц
|y(x2 ) ? y(x1 )| C |x2 ? x1 | , Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
т.е. построенная функция y является непрерывной на множестве рациональных то-
Лемма Гейне-Бореля
чек и может быть продолжена по непрерывности на все точки из интервала [a, b] с
сохранением последнего неравенства уже для произвольных точек x1 и x2 из интер- Веб – страница
вала [a, b].
Нетрудно видеть, что наша диагональная последовательность unn сходится к y Титульный лист
во всех точках интервала. Действительно,

|unn (x)?y(x)| |unn ?unn (r)|+|unn (r)?y(r)|+|y(r)?y(x)| 2 |x ? r|+|unn (r)?y(r)| .
Остается выбрать рациональное приближение r числа x так, чтобы для произволь-
ного наперед заданного числа ? > 0 было выполнено неравенство Страница 186 из 197

? Назад
2 |x ? r| < ,
2
Полный экран
а затем выбрать n достаточно большим так, чтобы
? Закрыть
|unn (r) ? y(r)| < ,
2
Выход
что в совокупности даст
|unn (x) ? y(x)| < ? .
Остается показать, что из последовательности unn можно извлечь подпоследо-
Постановка некоторых . . .
вательность, которая сходится к y уже равномерно. Это опять является следстви-
Введение в вариационный метод
ем (A.2). Действительно, определим xn как точку наибольшего значения функции
Уравнение Эйлера–Лагранжа
|unn ? y(x) на интервале [a, b]. Тогда из последовательности xn можно извлечь схо-
дящуюся подпоследовательность xnk > c ? [a, b]. Положим vk = unk nk , тогда Приложения
Обобщения

|vk (x) ? y(x)| |vk (xnk ) ? y(xnk )| Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
|vk (xnk ) ? vk (c)| + |vk (c) ? y(c)| + |y(c) ? y(xnk )|
Семейства экстремалей
|xnk ? c| + |vk (c) ? y(c)| .
2C
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Правую часть полученного неравенства можно сделать сколь угодно малой при до-
статочно больших k, что означает, что последовательность vk сходится к y равно- Существование минимума . . .

мерно. Лемма Гейне-Бореля
Заметим, что тогда
Веб – страница

(i = 1, . . . , N ? 1) .
y|yi = 0 Титульный лист


A.3. Дифференцируемость предельной функции
. Итак, пусть vn — построенная выше минимизирующая последовательность, рав-
номерно сходящаяся к функции y. Пусть дважды непрерывно дифференцируемая
Страница 187 из 197
функция ? удовлетворяет условиям
Назад
(i = 1, . . . , N ? 1) . (A.3)
?(a) = ?(b) = 0 , ? (a) = ? (b) = 0 , ?|yi = 0
Полный экран
Тогда функция
vn (x) + t?(x) Закрыть
vn + t?
Выход
удовлетворяет условиям (A.1), откуда

vn + t? 2 I1 ,
I[vn + t?]
Постановка некоторых . . .
и следовательно,
Введение в вариационный метод

I[vn ] + 2tK(vn , ?) + t2 I[?] 2
+ 2t vn |? + t2 ? 2 )I1 Уравнение Эйлера–Лагранжа
( vn
Приложения
при всех вещественных t. Последнее неравенство запишем в виде Обобщения
Задачи на условный экстремум
t2 (I[?] ? I1 ? 2 ) + 2t L[?] ? I1 ?|vn + I[vn ] ? I1 0,
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
что позволит перейти к пределу при n > ?(здесь важно, что в скалярном произ-
ведении L[?] ? I1 ?|vn функция vn не подвергается дифференцированию и можно Динамика частиц

воспользоваться теоремой о переходе к пределу под знаком интеграла) Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
2 2
t (I[?] ? I1 ? ) + 2t L[?] ? I1 ?|y 0. Лемма Гейне-Бореля

При всех t это может иметь место только в случае равенства Веб – страница


L[?] ? I1 ?|y = 0 . (A.4) Титульный лист


Распишем левую часть подробнее
b b

[q? ? (p? ) ? I1 ?]y dx = [(q ? I1 )y? ? p y? ? py? ] dx Страница 188 из 197
a a
Назад
и проинтегрируем по частям, полагая
Полный экран
x x x

(q ? I1 )y dx .
f1 = p y dx , f2 = dx Закрыть
a a a
Выход
Получим
b

[f2 + f1 ? py]? dx = 0 .
Постановка некоторых . . .
a
Введение в вариационный метод
Функция ? может считаться теперь произвольной дважды непрерывно дифференци-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
руемой и удовлетворяющей условиям
Приложения
?(a) = ?(b) = 0 , ? (a) = ? (b) = 0 . Обобщения
Задачи на условный экстремум
Действительно, если ? такая функция, то функция
Первое необходимое условие . . .
N ?1
Семейства экстремалей
?N = ? ? ?|yk yk
Динамика частиц
k=1
Проблема минимума . . .
будет удовлетворять условиям (A.3), и следовательно, Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
L[?N ] ? I1 ?N |y = 0 .
Веб – страница
Но
L[?]|yi yi = ?|L[yi ] yi = ?|yi ?i yi = ?|yi L[yi ] , Титульный лист

откуда
N ?1 N ?1 N ?1
(L[?])N = L[?]? L[?]|yk yk = L[?]? ?|yk L[yk ] = L[?? ?|yk yk ] = L[?N ] ,
k=1 k=1 k=1
Страница 189 из 197

<< Предыдущая

стр. 30
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>