<< Предыдущая

стр. 31
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

и следовательно,
Назад
L[?N ] ? I1 ?N |y = (L[?] ? I1 ?)N |y
Полный экран
N ?1
= L[?] ? I1 ?|y ? L[?] ? I1 ?|yk yk |y = L[?] ? I1 ?|y = 0 .
Закрыть
k=1
Выход
Согласно обобщенной лемме Дюбуа–Реймона, см. ниже,

f2 + f1 ? py = 0 ,
Постановка некоторых . . .
откуда и вытекает дифференцируемость функции y (функции f1 , f2 и p являются
Введение в вариационный метод
дифференцируемыми).
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Непрерывная дифференцируемость функции y является следствием условий
Приложения
Вейерштрасса–Эрдмана:
Обобщения
p(x0 )y (x0 ? 0) = p(x0 )y (x0 + 0) . Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .

A.4. Обобщенная лемма Дюбуа–Реймона Семейства экстремалей
Динамика частиц
Если для всех дважды непрерывно дифференцируемых функций ?, удовлетворяю- Проблема минимума . . .
щих условиям Существование минимума . . .
?(a) = ?(b) = ? (a) = ? (b) = 0
Лемма Гейне-Бореля
выполнено равенство
Веб – страница
b

f ? dx = 0 , Титульный лист
a

то непрерывная функция f равна некоторой линейной функции Ax + B.
Для доказательства достаточно положить
x t
Страница 190 из 197
3 2
f (? ) d? ? C1 (x ? a) ? C2 (x ? a)
?(x) = dt
Назад
a a

Полный экран

Закрыть

Выход
и определить постоянные C1 и C2 из равенств
b x

dtf (t) ? C1 ?3 ? C2 ?2 = 0 ,
dx Постановка некоторых . . .
a a Введение в вариационный метод
b Уравнение Эйлера–Лагранжа
2
f dx ? 3C1 ? ? 2C2 ? = 0 , Приложения
Обобщения
a
Задачи на условный экстремум
где ? = b ? a . При этом
Первое необходимое условие . . .

? = f ? 6C1 (x ? a) ? 2C2 , Семейства экстремалей
Динамика частиц
b
Проблема минимума . . .
f dx = 3C1 ?2 + 2C2 ? ,
Существование минимума . . .
a
Лемма Гейне-Бореля
b b

f dx ? C1 ?3 ? C2 ?2 = 2C1 ?3 + 2C2 ?2 .
f (x)(x ? a) dx = ? Веб – страница

a a
Титульный лист
Заметим, что

b b b b

f dx? [6C1 (x?a)+2C2 ]2 dx
? ·[6C1 (x?a)+2C2 ] dx = 6C1 f (x)(x?a) dx+2C2
Страница 191 из 197
a a a a
= 6C1 [2C1 ?3 + C2 ?2 ] + 2C2 [3C1 ? + 2C2 ?] ? 12C1 ?3 ? 12C1 C2 ?2 ? 4C2 ? = 0 ,
2
2
Назад

и тогда
Полный экран
b b b
2
[f ? 6C1 (x ? a) ? 2C2 ]? dx =
f ? dx = ? dx = 0 , Закрыть
a a a
Выход
откуда ? ? 0, т.е.
f (x) = 6C1 (x ? a) + 2C2 .

Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 192 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
B. Лемма Гейне-Бореля
Если отрезок [a, b] содержится в объединении открытых интервалов G? , то уже
конечное число этих интервалов покрывает отрезок [a, b]: Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
n
??1 , . . . , ?n : [a, b] ? G?i . Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
i=1
Обобщения
Для доказательства, предположим противное, т.е. то, что интервал [a, b] не может
Задачи на условный экстремум
быть покрыт конечным числом интервалов G? . Поделим этот интервал пополам.
Первое необходимое условие . . .
Тогда хотя бы один из интервалов [a, c] или [c, b], где c — середина отрезка [a, b],
Семейства экстремалей
не покрывается конечным числом интервалов. Продолжая этот процесс деления до
Динамика частиц
бесконечности, построим последовательность вложенных интервалов, каждый из ко-
торых вдвое меньше предыдущего и не может быть покрыт конечным числом интер- Проблема минимума . . .
валов G? : Существование минимума . . .
[a, b] ? [a1 , b1 ] ? . . . [an , bn ] ? . . . Лемма Гейне-Бореля

По аксиоме Кантора–Дедекинда, существует точка пересечения всех этих отрезков Веб – страница


x0 = [an , bn ] . Титульный лист


Эта точка содержится в некотором интервале G?0 . Если n достаточно велико, то
[an , bn ] ? G?0 , т.е. [an , bn ] покрывается всего лишь одним интервалом. Противоре-
чие.
Доказанное свойство называется компактностью замкнутого ограниченного ин- Страница 193 из 197
тервала [a, b].
Свойство компактности сохраняется при непрерывных отображениях. Пусть Назад
?(x) = (?1 (x), . . . , ?k (x)) — непрерывная вектор–функция [a, b] > Rk . Предполо-
Полный экран
жим, что объединение открытых шаров B? содержит график функции ?. Лемма
Гейне–Бореля утверждает, что уже конечное число этих шаров будет покрывать Закрыть
график этой функции.
Выход
Действительно, фиксируем произвольно точку x ? [a, b] и шар B? , содержащий
образ этой точки: ?(x) ? B? . В силу непрерывности функции ? существует откры-
тый интервал G? , каждая точка которого при отображении ? попадает в шар B? .
Построим подобный интервал G? для каждой точки x отрезка [a, b]. Уже конечное Постановка некоторых . . .
их число G?1 , . . . , G?k будет покрывать отрезок [a, b]. Тогда соответствующие шары Введение в вариационный метод
B?1 , . . . , B?k будут покрывать график функции ?. Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 194 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Предметный указатель
Постановка некоторых . . .
брахистохрона, 11, 46 лагранжиан, 113 Введение в вариационный метод
лемма Уравнение Эйлера–Лагранжа
вариационное исчисление, 20 Гейне–Бореля, 193 Приложения
вариация Дюбуа–Реймона, 26 Обобщения
допустимая, 23 Дюбуа–Реймона, обобщенная, 190
Задачи на условный экстремум
интеграла, 20 основная, 24
Первое необходимое условие . . .
функции, 19
минимаксное свойство, 180 Семейства экстремалей
функционала, 23
минимизирующая последовательность,
вторая вариация, 23 Динамика частиц
184 Проблема минимума . . .
гамильтониан, 112 минимум Существование минимума . . .
геодезические, 7, 42 строгий, 146 Лемма Гейне-Бореля
на сфере, 43
норма Веб – страница
задача в C 1 , 144
Титульный лист
со свободными концами, 18 равномерная, 30
изопериметрическая, 15, 76
обобщенные
Лагранжа, 82
координаты, 163
простейшая, 14
моменты, 166
интеграл Гильберта, 118 окрестность Страница 195 из 197
интегральный функционал, 22 в C 1 , 144
Назад
равномерная, 30
канонические
Полный экран
переменные, 113 поле
уравнения, 107, 113 направлений, 141 Закрыть
катеноид, 13, 48 экстремалей, 141
Выход
преобразование уравнения
каноническое, 172 Гамильтоновы, 168
Лежандра, 113 Лагранжа, 165
принцип условие Постановка некоторых . . .
Гамильтона, 164 Вейерштрасса, необходимое, 135, Введение в вариационный метод
Ферма, 50 137 Уравнение Эйлера–Лагранжа
производная Вейрштрасса–Эрдмана, 98 Приложения
по вектору, 22 Гильберта, 99 Обобщения
по Гато, 22 естественное, 62
Задачи на условный экстремум
по Фреше, 22 Лежандра, необходимое, 135, 139
Первое необходимое условие . . .
первое необходимое, 97
свойство инвариантности, 57 Семейства экстремалей
регулярности, 109
сильный минимум, 144 Динамика частиц
трансверсальности, 63, 66
система Эйлера–Лагранжа, 55 Проблема минимума . . .
Якоби, 122
скобка Пуассона, 168 Якоби, необходимое, 120, 124, 128 Существование минимума . . .
слабый минимум, 144 Лемма Гейне-Бореля
сопряженная точка, 122, 128 функционал, 22
Веб – страница
функция

<< Предыдущая

стр. 31
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>