<< Предыдущая

стр. 4
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

переменной и существенно связана с существованием (евклидовой) нормы в Rn —
модуля вектора |x| = x2 + x2 + . . . + x2 . Функция f называлась дифференцируе-
n
1 2
мой в точке x0 , если существует линейная функция Lx0 ,
h > Lx0 (h) = l1 h1 + l2 h2 + . . . + ln hn
Lx0 :
Страница 20 из 197
где h = (h1 , h2 , . . . hn ) , такая, что
f (x0 + h) ? f (x0 ) = Lx0 (h) + o(|h|) , при |h| > 0 . Назад

Числа l1 , l2 , . . . ln , определяющие функцию Lx0 , конечно, зависят от x0 . Эта линей- Полный экран
ная функция и называется производной функции f в точке x0 :
Закрыть
f (x0 ) = Lx0 ,
Выход
при этом коэффициенты lj совпадают с частными производными:

?f
lj = lj (x0 ) = (x0 ) .
?xj Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Функция, дифференцируемая в этом смысле, автоматически оказывалась непрерыв-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
ной.
Приложения
Вторая возможность ввести понятие производной никак не была связана с нор-
мированностью пространства Rn и использовала только линейность этого простран- Обобщения

ства. Это понятие производной по вектору. Функция f называлась дифференцируе- Задачи на условный экстремум

мой в точке x0 по вектору h, если функция Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
?(t) = f (x0 + th) Динамика частиц
Проблема минимума . . .
одной вещественной переменной t дифференцируема в нуле (т.е. при t = 0), при
Существование минимума . . .
этом значение производной ? (0) называется производной функции f в точке x0 по
Лемма Гейне-Бореля
вектору h и часто обозначается Dh f (x0 ):
Веб – страница
Dh f (x0 ) = ? (0) .
Титульный лист
Второе определение производной значительно менее ограничительное чем первое.
Из дифференцируемости во втором смысле не следует даже непрерывности функции:
функция может быть дифференцируемой по любому вектору в точке x0 и тем не
менее быть разрывной в x0 ; такова, например, функция
Страница 21 из 197
x5
, при (x, y) = (0, 0),
(y?x2 )2 +x8
f (x, y) =
при (x, y) = (0, 0) ,
0, Назад

Полный экран
по отношению к точке x0 = (0, 0). Вместе с тем это понятие весьма полезно при
исследовании функции f на экстремум. Так, если функция имеет в точке x0 экстре-
Закрыть
мум, то и функция ? при любом выборе h имеет экстремум в нуле, а следовательно
Выход
(по теореме Ферма) ? (0) = 0, если только ? дифференцируема в нуле. Иначе говоря,
в точке экстремума x0
?h : Dh f (x0 ) = 0 ,
Постановка некоторых . . .
если только производная по вектору существует.
Введение в вариационный метод
Если функция f дифференцируема в первом смысле (так называемая дифферен-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
цируемость по Фреше), она дифференцируемы и во втором (дифференцируемость по
Приложения
Гато) и ее производная f (производная по Фреше) связана с производной по вектору
(производной по Гато) равенством Обобщения
Задачи на условный экстремум
f (x0 )h = Dh f (x0 ) . Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Рассмотрим теперь произвольное абстрактное множество X и вещественнознач-
Динамика частиц
ную функцию f , заданную на этом множестве:
Проблема минимума . . .

x > f (x) , x?X, f (x) ? R .
f: Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Такие функции называют (вещественными) функционалами. Если X — векторное
Веб – страница
пространство, мы как и в случае вещественной функции нескольких вещественных
переменных можем вести понятие производной по вектору: Титульный лист

Опр.
x0 , h ? X , t ? R.
Dh f (x0 ) = ? (0) , ?(t) = f (x0 + th) ,

Эта производная как и в случае функций Rn > R называется производной по Гато.
В вариационном исчислении роль пространства X играет некоторое множество
Страница 22 из 197
дифференцируемых функций y (т.е. роль векторной переменной x играет функция
y(x)) и в качестве функционала f выступает интегральный функционал I: Назад
x2
Полный экран
y > I(y) =
I: F (x, y, y ) dx .
Закрыть
x1

Выход
Производная по Гато интегрального функционала в вариационном исчислении назы-
вается вариацией функционала и обозначается ?I[?]:

d Постановка некоторых . . .
?I[?] = I(y + t?) ,
dt t=0 Введение в вариационный метод

где дифференцируемая функция ? = ?(x) играет роль вектора h, вдоль которого Уравнение Эйлера–Лагранжа

берется производная. Приложения
Аналогично определяется вторая производная по Гато или вторая вариация ин- Обобщения
тегрального функционала: Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
d2
? 2 I[?] = 2 I(y + t?) . Семейства экстремалей
dt t=0
Динамика частиц
Следует отметить, что не всегда пространство функций y в вариационном исчис- Проблема минимума . . .
лении можно рассматривать как линейное. В действительности, приходится часто Существование минимума . . .
ограничивать пространство функций y и их вариаций ? требованием принадлежно- Лемма Гейне-Бореля
сти функций y + t? (хотя бы при достаточно малых по модулю значениях t) области
Веб – страница
определения функционала I. С этим связано понятие допустимых вариаций ?.
Наконец отметим некоторое отличие современного понятия вариации функцио- Титульный лист
нала от понятия, введенного Лагранжем: вариация в смысле Лагранжа отличается
множителем t:
t2 2 t3 3
?I = t?I[?] + ? I[?] + ? I[?] + . . . .
2! 3!
При этом вариацией функции y вместо ?y = t? удобно называть только функцию ?:
Страница 23 из 197

?y = ? . Назад

Остановимся вначале на элементарных аспектах теории вариационного исчисле- Полный экран
ния. При этом мы постоянно будем использовать ту или иную форму следующей
основной леммы. Закрыть

Выход
2.3. Основная лемма
2.3.1. Основной вариант
Лемма 2.1. [Основная] Пусть G(x) — фиксированная непрерывная функция, опре- Постановка некоторых . . .
деленная на интервале [x1 , x2 ]. Если Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x2
Приложения
(2.1)
?(x)G(x) dx = 0
Обобщения
x1 Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
при произвольном выборе непрерывно дифференцируемой функции ?(x), удовле-
Семейства экстремалей
творяющей условиям
(2.2)
?(x1 ) = ?(x2 ) = 0 , Динамика частиц
Проблема минимума . . .
то функция G(x) тождественно равна нулю на интервале [x1 , x2 ]:
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?x ? [x1 , x2 ] : (2.3)
G(x) = 0 .
Веб – страница
Доказательство. Воспользуемся стандартным рассуждением от противного. Пред-
полагая, что условие (2.3) нарушается, приведем пример функции ?(x), удовлетво- Титульный лист
ряющей граничным условиям (2.2) и такой, что условие (2.1) нарушается.
Итак, пусть x0 ? (x1 , x2 ) и G(x0 ) = 0 . Можно
x1 a x0 b x2
считать, для определенности, что G(x0 ) > 0. Так
как G — непрерывная функция, существует целая окрестность точки x0 , скажем
(a, b), в которой G(x) > 0: Страница 24 из 197

x ? (a, b) ? (x1 , x2 ) ? G(x) > 0 . Назад

Положим Полный экран
2 2
(x ? a) (x ? b) , x ? (a, b),
?(x) = Закрыть
x ? (a, b) .
0, /
Выход
Функция ?(x) имеет непрерывную производную и на концах интервала [x1 , x2 ] об-
ращается в ноль, но
x2 b
Постановка некоторых . . .
2 2
(x ? a) (x ? b) G(x) dx > 0 ,
?G dx = Введение в вариационный метод
x1 a Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
что противоречит (2.1). Остается заметить, что если G(x) = 0 внутри интервала
Обобщения
[x1 , x2 ], то в силу непрерывности она обращается в ноль и на его концах.
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
2.3.2. Обобщение по гладкости
Семейства экстремалей
Для некоторых приложений основная лемма требуется в несколько модифициро- Динамика частиц
ванной форме. Например, требуется, чтобы интеграл (2.1) исчезал для каждой два- Проблема минимума . . .
жды непрерывно дифференцируемой функции, удовлетворяющей граничным усло- Существование минимума . . .
виям (2.2). Утверждение (2.3) остается в силе, но функцию ?(x) надо выбрать в Лемма Гейне-Бореля
следующем виде:
(x ? a)3 (x ? b)3 , x ? (a, b), Веб – страница
?(x) =
x ? (a, b) .
0, / Титульный лист

Аналогично, основная лемма остается в силе, если требовать от ?(x) производных
любого заданного порядка.

2.3.3. Обобщение на кратные интегралы
Страница 25 из 197
Пусть D — замкнутая и ограниченная область с гладкой границей ?D на плоско-
Назад
сти xy и G(x, y) — непрерывная функция, заданная в этой области. Исчезновение
двойного интеграла
Полный экран
(2.4)
?(x, y)G(x, y) dxdy = 0
Закрыть
D

Выход
для каждой непрерывно дифференцируемой функции ?, исчезающей на границе
области
(2.5)
?(x, y) = 0
?D
Постановка некоторых . . .
с необходимостью влечет за собой также исчезновение G всюду на области Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?(x, y) ? D : (2.6)
G(x, y) = 0 .
Приложения
Доказательство этого варианта основной леммы, в сущности, не отличается от до- Обобщения
казательства основного варианта. Задачи на условный экстремум
Далее, эта двумерная форма основной леммы может быть модифицирована на Первое необходимое условие . . .
случай существования непрерывных частных производных функции ? произвольного Семейства экстремалей
порядка. Динамика частиц
Очевидно расширение основной леммы на многократные интегралы. Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
2.3.4. Лемма Дюбуа–Реймона Лемма Гейне-Бореля

Приведем еще один вариант основной леммы, который нацелен на более тонкий Веб – страница
вариационный анализ.
Титульный лист
Лемма 2.2 (Дюбуа–Реймон). Пусть G(x) — непрерывная функция на [x1 , x2 ].
Если
x2

(2.7)
? (x)G(x) dx = 0
x1
Страница 26 из 197
для каждой непрерывно дифференцируемой функции ?, удовлетворяющей гра-
ничным условиям (2.2) Назад
(2.8)
?(x1 ) = ?(x2 ) = 0 ,
Полный экран
то функция G постоянна:
(2.9)
G(x) = Const . Закрыть

Выход

<< Предыдущая

стр. 4
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>