<< Предыдущая

стр. 5
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Доказательство. Рассмотрим функцию ? вида
x

G(t) dt ? C(x ? x1 ) ,
?(x) = Постановка некоторых . . .
x1 Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
где константа C выбрана так, чтобы ?(x2 ) = 0 , т.е.
Приложения
x2 Обобщения
1
C= G(t) dt . Задачи на условный экстремум
x2 ? x1
Первое необходимое условие . . .
x1
Семейства экстремалей
Очевидно, ? удовлетворяет условиям леммы. Заметим, что в силу (2.7)-(2.8) Динамика частиц
Проблема минимума . . .
x2 x2
x2
Существование минимума . . .
[G(x) ? C]? (x) dx = G(x)? (x) dx ? C? = 0.
x1 Лемма Гейне-Бореля
x1 x1

Веб – страница
Ввиду ? (x) = G(x) ? C, находим
Титульный лист
x2

[G(x) ? C]2 dx = 0 .
x1

Этот интеграл может быть равен нулю лишь при условии G(x) = C тождественно
Страница 27 из 197
на [x1 , x2 ].
Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
3. Уравнение Эйлера–Лагранжа
3.1. Постановка вопроса
Постановка некоторых . . .
Полное решение задач, поставленных в разделе 1, требует достаточно продвинутой
Введение в вариационный метод
техники. Ограничим себя пока решением следующего вопроса.
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Пусть известно, что существует дважды непрерывно дифференцируемая функция
Приложения
y(x), которая минимизирует интеграл
Обобщения
x2
Задачи на условный экстремум
(3.1)
I= F (x, y, y ) dx Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
x1
Динамика частиц
и удовлетворяет граничным условиям
Проблема минимума . . .

(3.2)
y(x1 ) = y1 , y(x2 ) = y2 . Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Какому дифференциальному уравнению удовлетворяет y(x)?
Веб – страница
Тем самым мы не ставим на первое место вопрос о существовании миниму-
ма. Также, мы не принимаем в расчет возможность минимизации интеграла (3.1)
Титульный лист
функциями, менее гладкими (например, только кусочно непрерывно дифференциру-
емыми).
Функцию F будем считать дважды непрерывно дифференцируемой.

3.2. Вариация интегрального функционала Страница 28 из 197

Итак, обозначим через y(x) функцию, минимизирующую интеграл (3.1) и удовле- Назад
творяющую граничным условиям (3.2). Для сравнения с y(x) введем однопарамет-
рическое семейство функций Y (x): Полный экран

(3.3)
Y (x) = y(x) + t?(x) , Закрыть

Выход
где ?(x) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая
нулевым граничным условиям

(3.4)
?(x1 ) = ?(x2 ) = 0 , Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
а t — параметр семейства. Заметим, что выбор разных функций ?(x) приводит к
Уравнение Эйлера–Лагранжа
разным однопараметрическим семействам. Если такое семейство уже выделено, за-
Приложения
дание числа t определяет некоторую функцию Y (x) этого семейства. Условия (3.4)
обеспечивают выполнение граничных условий (3.2) для функции Y (x): Обобщения
Задачи на условный экстремум
(3.5)
Y (x1 ) = y1 , Y (x2 ) = y2 . Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Важно отметить, что какое-бы семейство ни бы-
Динамика частиц
ло выделено (т.е. какая бы функция ?(x) ни была
y2 Проблема минимума . . .
фиксирована), минимизирующая функция y(x) ле-
жит в этом семействе и отвечает выбору t = 0. Существование минимума . . .
y(x)
Геометрически мы имеем дело с однопарамет- Лемма Гейне-Бореля
y1
рическим семейством кривых y = Y (x), соединя-
Y (x) Веб – страница
ющих точки P1 (x1 , y1 ) и P2 (x2 , y2 ). Минимизиру-
ющая кривая y = y(x) является членом каждого
x1 x2 Титульный лист
такого семейства, отвечая выбору параметра t = 0.
Отклонение по вертикали любой кривой семейства от минимизирующей дуги равно
t?(x).
Если функция ?(x) фиксирована, можно выбрать диапазон изменения t таким,
чтобы величина вертикального отклонения |t?(x)| была меньше произвольно малого Страница 29 из 197
наперед заданного числа ? > 0 для всех x из интервала [x1 , x2 ]:
Назад
|t| ? |t?(x)| (?x ? [x1 , x2 ]) .
T ?
Полный экран
Действительно, исходя из неравенства
Закрыть
|t?(x)| T ? < ?,
Выход
где
max |?(x)|
?=
x?[x1 ,x2 ]

находим, что достаточно взять T , удовлетворяющее неравенству Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
?
T< . Уравнение Эйлера–Лагранжа
?
Приложения
Напомним, что ? называется равномерной нормой функции ? на интервале Обобщения
[x1 , x2 ]. Множество функций Y , удовлетворяющих неравенству Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Y ? y < ?,
Семейства экстремалей
называется равномерной ?-окрестностью функции y. Представляя функции Y как Динамика частиц
графики кривых, можно представлять ?-окрестность функции y как часть плоскости, Проблема минимума . . .
покрываемую (выстилаемую) кривыми Y , для которых Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
x ? [x1 , x2 ] ? |Y (x) ? y(x)| < ? ,
Веб – страница
см. рис. (5).
Замещая y и y в интеграле (3.1) на Y и Y соответственно, получаем интеграл Титульный лист

x2

(3.6)
I(t) = F (x, Y, Y ) dx ,
x1

Страница 30 из 197
который при заданной функции ?(x) зависит только от t. Разумеется здесь
Назад
Y = Y (x) = y (x) + t? (x) .
Полный экран
Наоборот, выбор t = 0 эквивалентен замещению Y и Y в (3.6) на y и y , что, как мы
знаем, приводит к минимуму интеграла I, в данном случае — к минимуму интеграла Закрыть
I(t).
Выход
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
y2 2? Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
y(x)
Проблема минимума . . .
y1 Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Y (x)
Веб – страница

Титульный лист




x1 x2

Страница 31 из 197
Рис. 5: Окрестность кривой y(x)
Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
Итак, задача свелась к обычной задаче на минимум функции I(t) одной ве-
щественной переменной, причем в данном случае мы заранее знаем, что минимум
достигается при t = 0, откуда по теореме Ферма
Постановка некоторых . . .
(3.7)
I (0) = 0 . Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Далее нам придется воспользоваться правилами дифференцирования интеграла,
Приложения
зависящего от параметра, а также правилами дифференцирования сложной функции
Обобщения
нескольких переменных. Напомним их.
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
3.3. Экскурс в дифференциальное исчисление
Семейства экстремалей
3.3.1. Дифференцирование интеграла по параметру. Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Если
x2 (t) Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
I = I(t) = f (x, t) dx ,
x1 (t) Веб – страница

где f , x1 , x2 — гладкие (непрерывно дифференцируемые) функции, то Титульный лист

x2 (t)
dI dx2 dx1 ?f
? f (x1 , t) (3.8)
= f (x2 , t) + dx .
dt dt dt ?t
x1 (t)

Страница 32 из 197
В частности, когда пределы интегрирования не зависят от параметра,
Назад
x2
dI ?f
(3.9)
= dx . Полный экран
dt ?t
x1
Закрыть

Выход
3.3.2. Цепное правило.
Если функция u = f (x, t) задана как сложная
? Постановка некоторых . . .
?u = F (x, y, z) ,
?
Введение в вариационный метод
y = Y (x, t) ,
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?
z = Y (x, t) ,
?
Приложения

где все функции считаются гладкими, то Обобщения
Задачи на условный экстремум
?u ?f ?F ?Y ?F ?Y
· · (3.10)
= = + . Первое необходимое условие . . .
?t ?t ?y ?t ?z ?t Семейства экстремалей
Динамика частиц
3.4. Уравнение Эйлера–Лагранжа Проблема минимума . . .

3.4.1. Вывод уравнения Существование минимума . . .

<< Предыдущая

стр. 5
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>