<< Предыдущая

стр. 6
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

Лемма Гейне-Бореля
Вернемся к необходимому условию (3.7) минимума функции I(t). Используя прави-
ла (3.9)-(3.10) и равенства Веб – страница

?Y ?Y Титульный лист
= ?, =? ,
?t ?t
находим
x2 x2
dI ?F ?Y ?F ?Y ?F ?F
· · ·?+ ·?
= + dx = dx .
dt ?Y ?t ?Y ?t ?Y ?Y Страница 33 из 197
x1 x1
Назад
Тогда уравнение (3.7) запишется в виде
Полный экран
x2
?F ?F
·?+ ·? (3.11)
dx = 0 . Закрыть
?y ?y
x1
Выход
причем оно выполняется для произвольной непрерывно дифференцируемой функции
?(x), удовлетворяющей нулевым граничным условиям (3.4).
Преобразуем второе слагаемое, интегрируя по частям
Постановка некоторых . . .
x2 x2
x2
?F ?F d ?F Введение в вариационный метод
· ? dx = ·? ? ? dx .
?y ?y dx ?y Уравнение Эйлера–Лагранжа
x1
x1 x1
Приложения
Обобщения
Замечая, что внеинтегральные члены обращаются в ноль в силу (3.4), приведем
Задачи на условный экстремум
равенство (3.11) к виду
Первое необходимое условие . . .
x2
Семейства экстремалей
?F d ?F
? (3.12)
? dx = 0 . Динамика частиц
?y dx ?y
x1 Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Осталось воспользоваться основной леммой 2.1 и получить уравнение
Лемма Гейне-Бореля
?F d ?F
? (3.13)
= 0. Веб – страница
?y dx ?y
Титульный лист
Это и есть уравнение Эйлера–Лагранжа.
В общем случае, это дифференциальное уравнение относительно y второго по-
рядка:
?2F ? 2 F dy ? 2 F dy
?F
? ? · ? · =0
?y?y dx ?y 2 dx
?y ?x?y
Страница 34 из 197
или
?2F ?2F ?2F ?F Назад
·y + ·y + ? (3.14)
= 0.
?y 2 ?y?y ?x?y ?y
Полный экран
Его решение, удовлетворяющее граничным условиям (3.2), и будет (если только оно
находится однозначно) минимизирующей функцией y(x). Закрыть

Выход
3.4.2. Замечания.
Следует подчеркнуть, что условие I (0) = 0 не является достаточным условием
минимума функции I(t) при t = 0. Это условие может соответствовать и точке мак-
Постановка некоторых . . .
симума и не экстремальной стационарной точке. В принципе, все три эти ситуации
Введение в вариационный метод
могут быть интересны, если нет априорной информации о характере искомой функ-
Уравнение Эйлера–Лагранжа
ции y(x). Исторически сложилось под экстремальными значениями интеграла (3.1)
Приложения
понимать все три ситуации, отвечающие условию (3.7).
Обобщения
Определение 3.1. Экстремальными функциями или экстремалями интеграла (3.1) Задачи на условный экстремум
называются решения уравнения Эйлера–Лагранжа (3.13). Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Как уже отмечалось в разделе 2.2, производная I (0) называется первой вариа-
Динамика частиц
цией функционала I и обозначается ?I[?]:
Проблема минимума . . .
x2
Существование минимума . . .
?F d ?F
?
?I[?] = ? dx . Лемма Гейне-Бореля
?y dx ?y
x1
Веб – страница
Полагая ? = ?y пишут
Титульный лист
x2
?F d ?F
?
?I = ?y dx .
?y dx ?y
x1

Заметим, что функционал ?I линейно зависит от ?y. По аналогии с производной по Страница 35 из 197
Фреше f ,
n
df Назад
= f (x0 ) ? l ,
f (x0 )h = lj hj , df = l|dx ,
dx
j=1 Полный экран

когда производная функции нескольких переменных f отождествляется с вектором Закрыть
(градиентом) l = (l1 , . . . ln ), определяющим f как линейную функцию вектора h,
Выход
так и в вариационном исчислении функцию

?F d ?F
L= ? ,
?y dx ?y Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
играющую роль вектора l:
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?I = L|?y ,
Приложения
называют вариационной производной функционала I и пишут Обобщения
Задачи на условный экстремум
?I ?F d ?F
?
= . Первое необходимое условие . . .
?y ?y dx ?y
Семейства экстремалей
n
Здесь ·|· — обозначение для стандартного скалярного произведения как в R , так Динамика частиц
и в пространстве непрерывных вещественных функций на интервале [x1 , x2 ]. Проблема минимума . . .
Мы можем теперь сказать, что экстремали интеграла I появляются как решения Существование минимума . . .
уравнения
Лемма Гейне-Бореля
?I
= 0.
?y Веб – страница

Титульный лист
3.5. Анализ уравнения Эйлера-Лагранжа
Отметим некоторые случаи, когда уравнение Эйлера–Лагранжа допускает пониже-
ние порядка.

3.5.1. F не зависит явно от y Страница 36 из 197

Итак, пусть F = F (x, y ). Тогда уравнение Эйлера–Лагранжа примет вид Назад

d ?F Полный экран
= 0,
dx ?y
Закрыть

Выход
откуда находим первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа

?F
= C1 = Const .
?y Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Это есть дифференциальное уравнение первого порядка для определения y, но не
Уравнение Эйлера–Лагранжа
содержащее явно y. Если это уравнение разрешить относительно производной y ,
Приложения
оно примет простейший для дифференциального уравнения вид
Обобщения
y = ?(x, C1 ) , Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
откуда
Семейства экстремалей
y= ?(x, C1 ) dx . Динамика частиц
Проблема минимума . . .
В случае геодезической на плоскости, где Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
1+y2,
F=
Веб – страница
находим
y Титульный лист
= C1 ,
1+y2
откуда
y =a
и
Страница 37 из 197
y = ax + b .
Постоянные a и b элементарно находятся из граничных условий. Разумеется, это тот Назад
случай, когда нетрудно показать, что прямые линии действительно минимизируют
Полный экран
интеграл (1.2).
Закрыть

Выход
3.5.2. F не зависит явно от x
В этом случае F = F (y, y ) и полезно иметь в виду следующее тождество
Постановка некоторых . . .
d ?F
?F
y Введение в вариационный метод
dx ?y
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?F d ?F ?F ?F ?F Приложения
=y · +y · ? ? ·y ? ·y
?y dx ?y ?x ?y ?y Обобщения

?F d ?F ?F Задачи на условный экстремум
= ?y ? ? . (3.15)
?y dx ?y ?y Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
?F Динамика частиц
Тогда, в силу = 0 и уравнения Эйлера–Лагранжа, находим
?x Проблема минимума . . .

d ?F Существование минимума . . .
?F
y = 0,
dx ?y Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница
откуда получаем первый интеграл уравнения Эйлера–Лагранжа в этом случае
Титульный лист
?F
? F = C1 . (3.16)
y
?y

Это уравнение первого порядка, зависящее только от y и y и не зависящее явно от
x. Если его удается явно разрешить относительно производной
Страница 38 из 197
y = ?(y, C1 ) ,
Назад
мы получаем экстремали в виде
Полный экран
dy
x= .
?(y, C1 ) Закрыть

Выход
d
3.5.3. Случай полной производной F = G(x, y)
dx
В этом случае интеграл I не зависит от выбора функции y:
Постановка некоторых . . .
I = G(x2 , y2 ) ? G(x1 , y1 ) . Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Что это означает для уравнения Эйлера–Лагранжа? Будем считать, что G — дважды
Приложения
непрерывно дифференцируема. В силу
Обобщения
2 2
?G ?G ?G ?G Задачи на условный экстремум
·y и
F= + = ,
?x ?y ?x?y ?y?x Первое необходимое условие . . .

получаем Семейства экстремалей
Динамика частиц
2 2
?F d ?F ?G ?G d ?G Проблема минимума . . .

<< Предыдущая

стр. 6
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>