<< Предыдущая

стр. 7
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

? ·y ? ·
= + 2
?y dx ?y ?y?x ?y dx ?y Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?2G ?2G ?2G ?2G
·y ? ? · y = 0,
= + Веб – страница
?y?x ?y 2 ?y 2
?x?y
Титульный лист
т.е. уравнение Эйлера–Лагранжа выполняется тождественно.
Естествен вопрос: каков общий случай тождественного выполнения уравнения
Эйлера–Лагранжа? Воспользуемся раскрытой записью, см. (3.14)

?2F ?2F ?2F ?F
·y + ·y + ? = 0. Страница 39 из 197
?y 2 ?y?y ?x?y ?y
зависят только от x,y,y Назад

Очевидно, что необходимо выполнение условия Полный экран

?2F Закрыть
= 0,
?y 2
Выход
т.е. F может быть лишь линейной функцией от y :

F = P (x, y) + Q(x, y) · y .
Постановка некоторых . . .
В этом случае
Введение в вариационный метод
?F d ?F ?P ?Q dQ Уравнение Эйлера–Лагранжа
? ·y ?
= +
?y dx ?y ?y ?y dx Приложения
Обобщения
?P ?Q ?Q ?Q ?P ?Q
·y ? ? ·y = ?
= + . Задачи на условный экстремум
?y ?y ?x ?y ?y ?x Первое необходимое условие . . .

Уравнение Эйлера–Лагранжа в этом случае имеет вид Семейства экстремалей
Динамика частиц
?P ?Q
? = 0, Проблема минимума . . .
?y ?x
Существование минимума . . .
но это и есть условие того, что F — полная производная, при этом Лемма Гейне-Бореля

?G ?G Веб – страница
P= , Q= .
?x ?y
Титульный лист
Итак, мы получили необходимое и достаточное условие тождественного выпол-
нения уравнения Эйлера–Лагранжа:
d
F= G(x, y) .
dx
Страница 40 из 197
Из этого наблюдения получается полезное следствие.
Назад
Теорема 3.2. Пусть
Полный экран
x2 x2

F (x, y, y ) dx и J =
I= H(x, y, y ) dx , Закрыть
x1 x1
Выход
где F и H — дважды непрерывно дифференцируемые функции. Уравнения
Эйлера–Лагранжа для интегралов I и J эквивалентны тогда и только тогда,
когда
d
H ?F = Постановка некоторых . . .
G(x, y) .
dx Введение в вариационный метод
Доказательство. Уравнение Эйлера–Лагранжа для интеграла J отличается от Уравнение Эйлера–Лагранжа
уравнения Эйлера–Лагранжа для интеграла I на уравнение Эйлера–Лагранжа для Приложения
J ?I, функцией Лагранжа для которого будет разность H ?F (следствие линейности Обобщения
интегрального функционала I относительно функции Лагранжа F ). Но последнее Задачи на условный экстремум
уравнение выполняется тождественно тогда и только тогда, когда разность H ? F Первое необходимое условие . . .
является полной производной.
Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля

Веб – страница

Титульный лист




Страница 41 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
4. Приложения
4.1. Геодезические
Постановка некоторых . . .
4.1.1. Уравнение Эйлера
Введение в вариационный метод
Вернемся к задаче о геодезической на поверхности. В соответствии с (1.12) Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
P + 2Qv + Rv 2 ,
F=
Обобщения
где P, Q, R — заданные функции координат (u, v) на поверхности и предполагается, Задачи на условный экстремум
что минимизирующая дуга задается равенством v = v(u). Отождествляя u с x и v с Первое необходимое условие . . .
y, находим Семейства экстремалей
?Q
?P ?R 2
?v ? 2 ?v v + ?v v d Q + Rv Динамика частиц
? (4.1)
= 0.
du P + 2Qv + Rv 2
2 P + 2Qv + Rv 2 Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
4.1.2. Частный случай, первый вариант Лемма Гейне-Бореля

В специальном случае Веб – страница

P = P (u) , Q = Q(u) , R = R(u) Титульный лист

уравнение (4.1) ведет к первому интегралу
Q + Rv
= C1 .
P + 2Qv + Rv 2
Страница 42 из 197
Если Q = 0, что соответствует ортогональной сетке координат (u, v), находим
C 2P Назад
? v2= 2 1 2
R2 v 2 = C1 (P + Rv 2 )
2
?
R ? C1 R
v Полный экран
P du
v = C1 . Закрыть
2
R2 ? C1 R
Выход
Константа C1 и постоянная интегрирования должны определяться из граничных
условий.

4.1.3. Частный случай, второй вариант Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Пусть теперь Уравнение Эйлера–Лагранжа
Q = 0, P = P (v) , R = R(v) .
Приложения
Тогда функция Лагранжа не зависит от независимой переменной u и в силу (3.16) Обобщения
Rv Задачи на условный экстремум
v ·v P + Rv 2 = C1 ,
?
P + Rv 2 Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
откуда находим
Динамика частиц
P 2 ? C1 P
2
C1 (P + Rv 2 ) = P 2
2
? v2= ? Проблема минимума . . .
2
C1 R
v Существование минимума . . .
R dv Лемма Гейне-Бореля
u = C1 .
2
P 2 ? C1 P
Веб – страница
Результат, конечно, ожидаемый, поскольку по сравнению с предыдущим пунктом
Титульный лист
просто поменялись ролями u и v.

4.1.4. Геодезические на сфере.
Рассмотрим сферу радиуса r
x2 + y 2 + z 2 = r2 . Страница 43 из 197


В сферических координатах оно принимает вид, см. рис. 6. Назад
?
?x = r sin ? cos ? , Полный экран
?
y = r sin ? sin ? ,
Закрыть
?
z = r cos ? .
?
Выход
Мы отождествим u с ? и v с ?. Тогда в согласии с (1.9) находим
z
Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
? Приложения
Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Семейства экстремалей
Динамика частиц
y Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
?
Веб – страница


x Титульный лист



Рис. 6: Сферические координаты

Страница 44 из 197

Назад

Полный экран

Закрыть

Выход
?x 2 ?y 2 ?z 2
P= + +
?? ?? ??
= r2 sin2 ? sin2 ? + r2 sin2 ? cos2 ? = r2 sin2 ? ,
Постановка некоторых . . .
Q = 0,
Введение в вариационный метод
?x 2 ?y 2 ?z 2
R= + + Уравнение Эйлера–Лагранжа
?? ?? ??
Приложения
= r cos ? cos ? + r cos2 ? sin2 ? + r2 sin2 ? = r2 .
2 2 2 2
Обобщения
Задача свелась к случаю (с) данного пункта. Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
r d? d ctg ?
= ?C1
? = C1 Семейства экстремалей
2
C1
4 2
2
r4 C1 r2
sin ? ? r2 ?
sin ? Динамика частиц
2?
sin
Проблема минимума . . .
d(C1 ctg ?) C1 ctg ?
=? = ? arcsin + C2 , Существование минимума . . .
r2 ? C1 ? C1 ctg2 ? 2
2 2 r2 ? C1
Лемма Гейне-Бореля
откуда
Веб – страница
C1 ctg ?
sin(C2 ? ?) = ?
2 Титульный лист
r2 ? C1

<< Предыдущая

стр. 7
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>