<< Предыдущая

стр. 8
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

C1 ctg ?
sin C2 cos ? ? cos C2 sin ? ? ? r sin ? ?
=0
2
r2 ? C1
Ax + By + Cz = 0 ,
Страница 45 из 197
где мы положили
C1 Назад
B = ? cos C2 , C=?
A = sin C2 , .
2
r2 ? C1 Полный экран

Таким образом, геодезические лежат в плоскости, проходящей через начало коорди-
Закрыть
нат (центр сферы) и тем самым являются дугами больших кругов.
Выход
4.1.5. Геодезические на поверхности вращения.
y
Найдем геодезические на поверхности
f (x) 0
вращения, заданной уравнением Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
x
a Приложения
b
Обобщения
2 2 2
y + z = f (x) . z Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
Удобные координаты на такой поверхности имеют вид Семейства экстремалей
?
Динамика частиц
?x = u ,
?
Проблема минимума . . .
y = f (u) cos v ,
Существование минимума . . .
?
z = f (u) sin v ,
?
Лемма Гейне-Бореля
где v — полярный угол в плоскости yz. Вычисляя P, Q и R, находим
Веб – страница
2 2
P = 1 + f (u) , Q = 0, R = f (u) .
Титульный лист
Тогда при f (x) = 0 можно воспользоваться результатом пункта (b):
1 + f 2 (u) du
v = C1 .
2
f (u) f 2 (u) ? C1
Страница 46 из 197
4.2. Брахистохрона
Назад
Анализ уравнения Эйлера–Лагранжа, проведенный в параграфе 3.5.2, позволяет ре-
шить и эту задачу, т.к. функция Лагранжа Полный экран

1+y2 Закрыть
F= v ,
y ? y0
Выход
см. (1.14), от x не зависит. Согласно (3.16) найдем первый интеграл:

1+y2
y
?v
y· = C1 .
y ? y0
(y ? y0 )(1 + y 2 ) Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Разрешая это уравнение относительно y , находим Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
y 2 ? (1 + y 2 ) = C1 (y ? y0 )(1 + y 2 ) ?
Обобщения
C1 (y ? y0 )(1 + y 2 ) = 1
2
? Задачи на условный экстремум
2
? C1 (y ? y0 )
1 Первое необходимое условие . . .
y2= ?
2
C1 (y ? y0 ) Семейства экстремалей
Динамика частиц
2a ? (y ? y0 )
dy
= , Проблема минимума . . .
y ? y0
dx
Существование минимума . . .
2
где мы положили 2a = 1/C1 . Таким образом Лемма Гейне-Бореля

v Веб – страница
y ? y0 dy
x= .
2a ? (y ? y0 ) Титульный лист

Для вычисления интеграла удобно воспользоваться заменой
?
y ? y0 = 2a sin2 .
2
Страница 47 из 197
Тогда
Назад
? ? ? d?
tg · 2a · 2 sin cos ·
x=
2 2 22 Полный экран
?
sin2 (1 ? cos?) d? = a(? ? sin ?) + x0 ,
= 2a d? = a Закрыть
2
Выход
где x0 — постоянная интегрирования. Мы пришли к решению в параметрической
форме
x ? x0 = a(? ? sin ?)
Постановка некоторых . . .
y ? y0 = a(1 ? cos ?) .
Введение в вариационный метод
Это и есть кривая наибыстрейшего спуска. Уравнения хорошо известны под назва- Уравнение Эйлера–Лагранжа
нием циклоиды. Можно показать, что выбор постоянных a и x0 позволяет провести Приложения
циклоиду через произвольные две заданные точки. Напомним, что величина y0 не
Обобщения
является произвольной постоянной.
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
4.3. Минимальная поверхность вращения Семейства экстремалей

4.3.1. Катеноид Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Функция Лагранжа в этом случае, см. (1.15), имеет вид
Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
1+y2
F =y
Веб – страница
и также как выше не зависит от x. Первый интеграл дается равенством
Титульный лист
yy
1 + y 2 = C1 ,
y· ?y
1+y2
и тогда

yy 2 ? y(1 + y 2 ) = C1 1+y2 ?
Страница 48 из 197
C1 (1 + y 2 ) = y 2
2
?
Назад
y 2 ? C1 2
2
?
y= 2
C1 Полный экран
C1 dy
x= . Закрыть
2
y 2 ? C1
Выход
Удобно далее положить y = C1 ch t. Напомним, что

et ? e?t
et + e?t
ch t = , sh t = .
2 2 Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Тогда
2
C1sh t dt Уравнение Эйлера–Лагранжа
x= = C1 t + C2 .
C1 sh t Приложения
Обобщения
Положим C1 = b и C2 = a, тогда окончательно
Задачи на условный экстремум
x?a Первое необходимое условие . . .
y = b ch ,
b Семейства экстремалей

— искомая кривая (цепная линия). Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
4.3.2. Огибающая
Лемма Гейне-Бореля
Существует, однако, одна проблема в связи с найденным решением. Оказывается,
если мы фиксируем точку P (x1 , y1 ) и начнем проводить через нее различные цеп- Веб – страница

ные линии найденного вида, т.е. построим, как говорят, пучок экстремалей, то будет
Титульный лист
существовать огибающая этого пучка, т.е. кривая, которая касается каждой кривой
пучка, см. рис. 7. Это означает, что если вторая точка P2 (x2 , y2 ) не лежит на этой
огибающей (как точка типа A), то через нее либо вообще нельзя провести цепную
(точка типа B), либо можно провести целых две цепных (точка типа C), лишь одна
из которых будет действительно доставлять минимум площади поверхности враще-
Страница 49 из 197
ния. В отношении точки типа B можно добавить, что полученный результат вовсе
не означает, что в этом случае минимальной поверхности вращения не существует.
Назад
Просто минимум не доставляется гладкой кривой и такая минимальная поверхность
уже не будет катеноидом. Полный экран

Закрыть

Выход
P1


C Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
A Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
B Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .

Рис. 7: Огибающая семейства цепных линий Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .

4.4. Геометрическая оптика Существование минимума . . .
Лемма Гейне-Бореля
Согласно принципу Ферма, путь света между двумя точками в однородной среде
является отрезком прямой. Ввиду постоянства скорости света в однородной среде, Веб – страница

этот принцип можно выразить словами: путь света между двумя точками в одно-
Титульный лист
родной среде сообщает наименьшее значение времени движения. В неоднородных
средах этот принцип требует минимума для функционала времени

ds
t=
v
? Страница 50 из 197

на пути ? движения светового луча. Здесь ds — элемент длины дуги и v — скорость Назад
света.
Рассмотрим движение светового луча в плоскости xy от точки (x1 , y1 ) до точки Полный экран
(x2 , y2 ). Скорость света описывается функцией v = v(y). Это приводит нас к поиску
Закрыть

Выход
экстремалей функционала
x2
1+y2
t= dx .
v(y)
Постановка некоторых . . .
x1
Введение в вариационный метод
Поскольку функция Лагранжа
Уравнение Эйлера–Лагранжа

1+y2 Приложения
F=
v(y) Обобщения
Задачи на условный экстремум
не зависит явно от x, приходим к первому интегралу движения
Первое необходимое условие . . .

?F Семейства экстремалей
? F = C1 ,
y
?y Динамика частиц
Проблема минимума . . .
т.е.
Существование минимума . . .

<< Предыдущая

стр. 8
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>