<< Предыдущая

стр. 9
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>

y2 1+y2
? = C1 , Лемма Гейне-Бореля
v
1+y2
v
откуда Веб – страница
1
(4.2)
=C, Титульный лист
1+y2
v
здесь мы положили C = ?C1 . Экстремали будут иметь вид

Cv dy
v
x= .
1 ? C 2 v2 Страница 51 из 197

Отметим, что формально равенство (4.2) ведет к хорошо известному закону прелом- Назад
ления Снеллиуса
sin ?1 sin ?2 Полный экран
= .
v1 v2
Закрыть

Выход
?2
v = v2
?2
Постановка некоторых . . .

y=0 Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Приложения
v = v1
?1 Обобщения
Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .

Рис. 8: Закон Снеллиуса Семейства экстремалей
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
Существование минимума . . .
Действительно, если y = 0 — граница раздела двух однородных сред, так что
Лемма Гейне-Бореля

v1 , y < 0, Веб – страница
v(y) =
v2 , y > 0,
Титульный лист
то в каждой среде тангенс угла наклона экстремали (т.е. y = tg ?), согласно (4.2),
является постоянным, при этом
1
sin ? = cos ? = ,
1 + tg2 ? Страница 52 из 197

см. рис. 8, что ведет к равенству Назад

sin ? Полный экран
=C.
v
Закрыть

Выход
5. Обобщения
5.1. Случай нескольких искомых функций
Постановка некоторых . . .
Получим дифференциальные уравнения, которым должны удовлетворять дважды
Введение в вариационный метод
непрерывно дифференцируемые функции y(x), . . . z(x), чтобы быть экстремалями
Уравнение Эйлера–Лагранжа
интеграла
x2 Приложения

(5.1) Обобщения
I= F (x, y, . . . , z, y , . . . , z ) dx .
Задачи на условный экстремум
x1
Первое необходимое условие . . .
Обозначим через y(x) , . . . , z(x) функции, доставляющие интегралу I наимень-
Семейства экстремалей
шее (наибольшее) значение и построим однопараметрическое семейство сравнимых
Динамика частиц
функций
Проблема минимума . . .
Y (x) = y(x) + t?(x) , . . . Z(x) = z(x) + t?(x) ,
Существование минимума . . .
где ?(x), . . . ?(x) — произвольные непрерывно дифференцируемые функции, удовле-
Лемма Гейне-Бореля
творяющие граничным условиям
Веб – страница
?(x1 ) = 0 , ?(x1 ) = 0 ,
... Титульный лист
?(x2 ) = 0 , ?(x2 ) = 0 .

Замещая в интеграле I экстремальные функции y, . . . , , z сравнимыми функциями,
получим функцию одной вещественной переменной t
x2
Страница 53 из 197
I(t) = F (x, Y, . . . , Z, Y , . . . , Z ) dx ,
x1 Назад

где Y , . . . Z обозначают производную по x. При t = 0 интеграл I получает свое Полный экран
экстремальное значение и, следовательно, его вариация ?I равна нулю:
Закрыть
I (0) = 0 .
Выход
Ввиду
?Y ?Z
= ?,... , =? ,
?t ?t
находим (согласно (3.9) и (3.10)) Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
x2
Уравнение Эйлера–Лагранжа
?F ?F ?F ?F
· ? + ... + ·? + · ? + ... + · ? dx .
I (t) = Приложения
?Y ?Z ?Y ?Z
x1 Обобщения
Задачи на условный экстремум
При t = 0
Первое необходимое условие . . .
x2
Семейства экстремалей
?F ?F ?F ?F
· ? + ... + ·? + · ? + ... + · ? dx = 0 .
I (0) = Динамика частиц
?y ?z ?y ?z
Проблема минимума . . .
x1
Существование минимума . . .
Выбор ?, . . . ? — произволен. Положим все вариации, кроме ?, равными нулю, тогда
Лемма Гейне-Бореля
x2
?F ?F Веб – страница
·?+ · ? dx = 0 .
?y ?y
Титульный лист
x1

Отсюда, как в одномерном случае, интегрируя по частям во втором слагаемом и
используя граничные условия, получаем
x2
?F d ?F Страница 54 из 197
? · ? , dx = 0 .
?y dx ?y
x1 Назад

В силу основной леммы Полный экран
?F d ?F
? = 0.
?y dx ?y Закрыть

Выход
Аналогично поступаем в остальных случаях. Получаем систему дифференциальных
уравнений Эйлера–Лагранжа
?F d ?F ?F d ?F
? ? (5.2)
= 0,... , = 0. Постановка некоторых . . .
?y dx ?y ?z dx ?z Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Отметим тождество
Приложения
d ?F ?F Обобщения
y· + ... + z · ?F
dx ?y ?z Задачи на условный экстремум
Первое необходимое условие . . .
?F d ?F ?F d ?F
=y · +y · + ... + z · +z · Семейства экстремалей
?y dx ?y ?z dx ?z
Динамика частиц
Проблема минимума . . .
?F ?F ?F ?F ?F
? ? · y ? ... ? ·z ? · y ?... ? ·z Существование минимума . . .
?x ?y ?z ?y ?z Лемма Гейне-Бореля

?F d ?F ?F d ?F ?F Веб – страница
= ?y ? ? ... ? z ? ? .
?y dx ?y ?z dx ?z ?x
Титульный лист
Если F не зависит явно от x, получаем первый интеграл системы (5.2):
?F ?F
y· + ... + z · ? F = C1 . (5.3)
?y ?z
Страница 55 из 197
5.2. Параметрическое представление
Назад
В некоторых задачах поиск экстремалей интеграла
Полный экран
x2

I= F (x, y, y ) dx Закрыть
x1
Выход
в явном виде y = y(x) может быть чрезмерно ограничительным. В этом случае
следует перейти к параметрическому представлению

x = x(? ) , Постановка некоторых . . .
? ? [?1 , ?2 ] .
y = y(? ) , Введение в вариационный метод
Уравнение Эйлера–Лагранжа
Тогда (в предположении x = 0)
?
Приложения
?2
Обобщения
y
?
I= F x, y, x d?
? Задачи на условный экстремум
x
?
?1 Первое необходимое условие . . .
(5.4)
?2
Семейства экстремалей
= G(x, y, x, y) d? ,
?? Динамика частиц
?1 Проблема минимума . . .

где Существование минимума . . .
dx dy y
? Лемма Гейне-Бореля
· x.
x=
? , y=
? , G = F x, y, ?
d? d? x
?
Веб – страница
Система Эйлера–Лагранжа примет вид
?G d ?G ?G d ?G Титульный лист
? ? (5.5)
= 0, = 0.
?x d? ? x
? ?y d? ? y
?
Возникает естественный вопрос, на сколько серьезные изменения при этом про-
изошли по сравнению с исходным уравнением Эйлера–Лагранжа? Подвергнем полу-
ченную систему небольшому анализу в этом направлении. Заметим, что
Страница 56 из 197
?G ?F ?G ?F y
? ?F
· x, · ? 2 ·x+F =F ?y
= ? = ? , Назад
?x ?x ?x
? ?y x
? ?y
и (ввиду тождества (3.15)) Полный экран

d ?G d ?G dx d ?F ?F d ?F ?F Закрыть
· F ?y ?
= =x
? =x y
? + ,
d? ? x
? dx ? x
? d? dx ?y ?y dx ?y ?x
Выход
откуда (ввиду y = y · x)
? ?
?G d ?G ?F d ?F
? ?
=y
? .
?x d? ? x
? ?y dx ?y Постановка некоторых . . .
Введение в вариационный метод
Аналогично

<< Предыдущая

стр. 9
(из 32 стр.)

ОГЛАВЛЕНИЕ

Следующая >>