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Ziel der Veranstaltung ist die Einfuhrung in verschiedenen Gebiete der numeri-
¨
schen Mathematik, wie z.B.:

• Lineare Gleichungssysteme,

• Interpolation,

• numerische Integration,

• nichtlineare Gleichungssysteme,

• Numerik der Di¬erentialgleichungen.
Einfuhrung 11
¨




Klassischerweise werden in den Vorlesungen Numerische Mathematik 1 und Nu-
merische Mathematik 2 einfache Vorkenntnisse vermittelt, w¨hrend in den Vor-
a
lesungen Numerische Mathematik 3, 4 (die h¨u¬g auch anders genannt werden)
a
Spezialisierungen, Vertiefungen und Erweiterungen behandelt werden. Wichtig
fur alle Vorlesungen zur Numerik sind immer hinreichende Programmierkennt-
¨
nisse!


1.2 Literatur
In der Numerik gibt es eine Fulle ausgezeichneter Bucher, die die verschiedenen
¨ ¨
angesprochenen Thematiken umfangreich beleuchten und daruberhinaus erganzen-
¨ ¨
den Sto¬ vermitteln. Stellvertretend fur andere seien die nachfolgenden Bucher
¨ ¨
erw¨hnt:
a

• Deu¬‚hard/Hohmann: Numerische Mathematik I, Verlag Walter de Gruyter

• Hammerlin/Ho¬mann: Numerische Mathematik, Springer Verlag
¨

• Schwarz: Numerische Mathematik, Teubner Verlag

• Stoer: Numerische Mathematik I, Springer Verlag

• Stoer, Bulirsch: Numerische Mathematik II, Springer Verlag

• Werner: Numerische Mathematik, Vieweg Verlag

• u.v.a.

Es sei erneut erwahnt, dass es sich bei allen Buchern um ausgezeichnete Zusam-
¨ ¨
menstellungen zur Numerik handelt. Das hier zusammengestellte Skript orientiert
sich an mehrerern Buchern und es ist daher keines im besonderen Maße hervor-
¨
zuheben.


1.3 Ein kurzer geschichtlicher Ruckblick
¨
Ausgangspunkt fur numerische Fragestellungen war eine Belebung der Mathema-
¨
tik durch konkrete Fragestellungen aus den Anwendungen. Nicht nur die Existenz,
sondern auch die Bestimmung der L¨sung, z.B. wie bei der Vorhersage von Him-
o
melserscheinungen, traten in das Zentrum mathematischer Fragestellungen.
Ein aus historischer Sicht vorl¨u¬ger H¨hepunkt der Numerik im weitesten
a o
Sinne wurde von Leonhard Euler (1707/Basel“1781/Petersburg) gescha¬en. Euler
12 Einleitung




untersuchte gunstige Verteilungen von Masten auf Segelschi¬en. Fur diese Arbei-
¨ ¨
ten erhielt er den Preis der Pariser Akademie der Wissenschaften im Alter von
nur 20 Jahren; und dies bevor er je den Ozean sah.
In diese Epoche f¨llt auch der erste Entwurf einer Rechenmaschine (1672),
a
von Gottfried Wilhelm Leibniz, die er bereits ein Jahr sp¨ter der Royal Society
a
in London vorfuhrte und die alle vier Grundrechenarten bewaltigte.
¨ ¨




Abbildung 1.3: Gottfried Wilhelm Leibniz und die erste Rechenmaschine.


Die Zeit fur die Numerik war jedoch noch nicht reif und kritisch betrachtet, k¨nnte
o
¨
man sagen, dass die Numerik uber viele Jahrzehnte hinweg nicht der Durchbruch
¨
gelang. Die angewendeten Beweistechniken waren bis ca. 1900 motiviert durch
die praktischen Anwendungen/L¨sungen meist konstruktiv, doch aus numerischer
o
Sicht nicht brauchbar. Als Folge ist daher (nicht uberraschend) zu verzeichnen,
¨
dass einer rein logischen Vorgehensweise der Vorzug gegeben wurde. Der beruhmte
¨
Mathematiker Jacobi ¨ußerte sogar:
a


™Die Mathematik dient einzig und alleine der Ehre des menschlichen Geistes.™

Heute wissen wir, dass diese Aussage nicht richtig ist!
Der eigentliche Aufstieg/Durchbruch der numerischen Mathematik gelang dann
mit dem Aufkommen (moderner) Rechenanlagen. W¨hrend der Anstieg der Re-
a
chengeschwindigkeit bis ca. 1940 um lediglich den Faktor 10 (durch Tricks) gelang,
liegt er heute bei 1015 (Stand 2004) oder h¨her.
o
Einfuhrung 13
¨




1.4 Was ist Numerik?
Wir erinnern an das Scherwindbeispiel und stellen einige Dinge fest:
Die Anwendung mathematischer L¨sungsmethoden auf realistische Aufgabenstel-
o
lungen der Praxis erfordert fast immer den Einsatz eines Rechners. Die Anforde-
rungen an die Numerik sind dabei vielschichtig:

• Entwicklung von Verfahren zur Konstruktion von L¨sungen, meist N¨he-
o a
rungsl¨sungen mathematischer Aufgabenstellungen
o

• E¬ziente Implementierung auf Rechenanlagen

• Auswahl geeigneter Verfahren

• Aussagen uber Gute der Approximation
¨ ¨

In diesem Zusammenhang ist die Kette
Problemstellung ’’ Physikalisches Modell ’’ Mathematisches Modell ’’
Mathematische/numerische L¨sung ’’ Diskussion der Ergebnisse
o

wichtig, die i.A. mehrfach durchlaufen werden muß.
Aus praktischer Sicht hat man hierbei insbesondere das schwierige Problem,
dass mathematische Modell m¨glichst gut an die Realit¨t anzupassen:
o a

Modell ≈ Realit¨t
a

In dieser Vorlesung werden wir uns genau mit den oben genannten Punkten
beschaftigen.
¨


1.5 Motivationsbeispiel
Wir wollen nachfolgend ein konkretes Problem betrachten und gleichzeitig auf
eine besondere Problematik aufmerksam machen.

Beispiel 1.2. Es soll das Integral
1
xn
In = dx, n ∈ IN ∪ {0} = IN0
x+5
0

fur i = 0, 1, 2, . . . , 20 berechnet werden. Wir stellen fest:
¨

• Elementare Integration versagt
(dennoch: analytische Methoden stets zuerst versuchen!)
14 Einleitung




• numerische Quadraturverfahren nicht geeignet, da zu aufwendig fur das spe-
¨
zielle Problem (’’ Auswahl geeigneter Verfahren)
• L¨sung: Kombination von analytischer Vorarbeit und numerischer Durchfuhrung
o ¨
Fur die Zahlen In kann schnell eine Rekursionsvorschrift angegeben werden:
¨
1
dx 6
= [ln|x + 5|]1 = ln ≈ 0.182321556...
I0 = 0
x+5 5
0
1 1
x x+5 5
I1 = dx = ’ dx = 1 ’ 5 I0
x+5 x+5 x+5
0 0

Allgemeiner erhalten wir fur n ’ n + 1:
¨
1 1 1
n
xn
x n
In+1 = (x + 5 ’ 5)dx = x dx ’ 5 dx
x+5 x+5
0 0 0
1
(1.1) In+1 = ’ 5In
n+1
6
Ausgehend von I0 = ln 5 k¨nnen wir somit theoretisch alle Werte In berechnen.
o
In der rechentechnischen Realisierung erhalten wir jedoch bereits nach wenigen
Schritten unbrauchbare Ergebnisse. Mit einem Taschenrechner ergibt sich dann
etwa (taschenrechnerspezi¬sch) folgendes Bild:

I1 = 0.08839... I11 = 0.01377...
I2 = 0.05803... I12 = 0.01445... (Widerspruch zur Monotonie)
. .
. .
. .
I10 = 0.01542... I14 = 0.04814...
I15 = ’0.17404... (Widerspruch zum Vorzeichen)
Wir wollen die Gute der berechneten L¨sung etwas genauer analysieren und stel-
o
¨
len fest:
xn
1. Fur x ∈ [0, 1] : ≥ 0 =’ ∀n : In ≥ 0.
¨ x+5

xn+1 xn
2. Fur x ∈]0, 1[ : xn+1 < xn =’ < =’ In+1 < In .
¨ x+5 x+5

Somit ist (In ), n ∈ IN0 streng monton fallend und wegen In ≥ 0 nach unten
beschr¨nkt, also konvergent. Wegen
a
1
1
xn’1 dx =
In < , ∀n ≥ 1
n
0
Einfuhrung 15
¨




folgt
lim In = 0,
n’∞

was sich leider mit unseren numerischen Erfahrungen nicht deckt.
Wir wagen einen weiteren Versuch und gehen das Problem von hinten an (Ruckw¨rts-
a
¨
rekursion):
Es ist
1 1 1 1
I10 +5I9 = =’ I10 = ’5I9 < ’5I10 =’ I10 <

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