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. 25
( 31 .)



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xn , in denen wir keine Glattheitseigenschaften fordern mußten.
Um dennoch eine eindeutige L¨sung erhalten zu k¨nnen, mussen wir zwei weitere
o o ¨
Bedingungen fordern, die ublicherweise an den Randpunkten verlangt werden.
¨
Hierzu gibt es verschiedenen M¨glichkeiten:
o

(a) Naturliche Endbedingungen:
¨
s (a) = 0, s (b) = 0


(b) Hermite Endbedingungen:
s (a) = f (a), s (b) = f (b)
(5.23)

(c) Periodische Endbedingungen:
s(i) (a) = s(i) (b), i = 0, 1, 2,
falls f periodisch mit
f (i) (a) = f (i) (b), i = 0, 1, 2.

5.4.2.2 Existenz und Eindeutigkeit
Man kann nun zeigen, dass die Interpolationsaufgabe (5.21) zusammen mit einer
der Bedingungen aus (5.23) eindeutig l¨sbar ist. Zus¨tzlich erfullt der interpolie-
o a ¨
rende Spline eine Minimum-Norm-Eigenschaft bzgl. der Norm in C 2 [a, b].
« 1
b 2


:=  (f (x))2 dx , f ∈ C 2 [a, b].
(5.24) f 2
a
110 Interpolation




Fur diese Norm gilt
¨

f = 0 ” f (x) = 0 fur x ∈ [a, b]
¨
2

” f linear in [a, b].

Satz 5.32 (Existenz, Eindeutigkeit und Extremaleigenschaft von Spli-
nes). Sei f ∈ C 2 [a, b]. Dann gibt es genau einen Spline s ∈ S3 (∆), der (5.21)
und eine der Interpolationsbedingungen (5.23) erfullt. Dieser interpolierende Spli-
¨
ne genugt der Minimum-Norm-Bedingung
¨
2 2
’ s 2.
0¤ f ’s =f
2 2 2


Beweis: Mit einem Spline s ∈ S3 (∆) berechnet man fur die Abweichung
¨
d(x) = f (x) ’ s(x) :
b
2
(f (x) ’ s (x))2 dx
f ’s =
2
a
b
2 2
= f ’s ’ 2 d (x)s (x)dx.
2 2
a


Da nur s ∈ C 2 [a, b] gilt, mussen wir fur die partielle Integration aufspalten:
¨ ¨
xj
b n
d (x)s (x)dx = d (x)s (x)dx
j=1 xj’1
a
xj
n
x
(3)
d(x)s(4) (x)dx .
(x)]xj
= [d (x)s (x) ’ d(x)s +
j’1
j=1 xj’1


Nun ist s(4) (x) ≡ 0 auf [xj’1 , xj ]. Die Interpolationsforderungen (5.21), (5.23)
bewirken gerade, dass
n
[d (x)s (x) ’ d(x)s(3) (x)]xj = [d (x)s (x) ’ d(x)s(3) (x)]b = 0
xj’1 a
j=1


in den F¨llen (5.23)(a)-(c). Damit ist die Minimum-Norm-Bedingung
a
2 2 2
0¤ f ’s =f ’s
2 2 2


gezeigt, mit der sich die Eindeutigkeit von s folgendermaßen ergibt:
Ist s ein weiterer interpolierender Spline, so kann man f = s in der letzten
˜ ˜
Ungleichung nehmen:
0 ¤ s ’ s 2 = s 2 ’ s 2.
˜ ˜2
2 2
Interpolation durch Splines 111




Durch Vertauschung von s und s sieht man s ’ s 2 = 0. Also ist s ’ s linear.
˜ ˜ ˜
Wegen s(x) ’ s(x) = 0 fur x = a und x = b muss dann s = s gelten.
˜ ˜
¨
Zum Nachweis der Existenz greifen wir auf die Basis“Darstellung in Satz 5.31
zuruck. Die Interpolationsforderungen stellen ein LGS in (n + 3) Unbekannten
¨
a0 , . . . , a3 , b1 , . . . , bn’1 dar. In den Fallen (5.23)(a)-(c) wird das System homogen,
¨
wenn f ≡ 0 zu interpolieren ist. Dann ist aber s = 0 interpolierender Spline und
¨
nach den obigen Uberlegungen auch der einzige.

5.4.2.3 Geometrische und mechanische Interpretation
Die Extremaleigenschaft des kubischen Splines
b b

(s (x))2 dx ¤ (d (x))2 dx
a a

erlaubt die folgende geometrische und mechanische Interpretation:
Die Krummung k(x) einer Kurve y = f (x) in der (x,y)-Ebene ist gegeben durch
¨

f (x)
k(x) = .
(1 + (f (x))2 )3/2

Unter der Annahme |f (x)| 1 wird die mittlere Gesamtkrummung
¨
b
2
(f (x))2 dx .
k ≈
2
a

Der kubische Spline minimiert also die Norm k 2 unter allen interpolierenden
Funktionen.
Das Biegemoment M (x) eines homogenen, isotropen Stabes, dessen Biegelinie
durch y = f (x) beschrieben wird, ist M (x) = c1 k(x), c1 > 0. Die Biege-Energie
ist dann n¨herungsweise
a
b b

M (x)2 dx ≈ c3 (f (x))2 dx.
E(f ) = c2
a a

Wird ein gebogener Stab durch Lager in ”Interpolationspunkten“ ¬xiert, so wird
die minimale Biege-Energie durch einen kubischen Spline realisiert. Außerhalb
von [a, b], wo der Stab nicht ¬xiert ist, nimmt er die spannungsfreie ”naturliche“
¨
Lage s (x) = 0 an. In diesem Sinne sind die Endbedingungen s (a) = 0, s (b) = 0
in (5.23)(a) als ”naturlich“ zu versehen.
¨
112 Interpolation




5.4.2.4 Die Berechnung von Spline-Funktionen
Zu berechnen sei die Spline-Funktion s(x) mit s(xj ) = yj , j = 0, . . . , n, welche
zus¨tzlich eine der Eigenschaften (a),(b),(c) hat. Wir setzen
a
hj := xj ’ xj’1 , j = 1, . . . , n,
Mj := s (xj ) j = 0, . . . , n, (Momente).
Da s linear in [xj’1 , xj ] ist, gilt
1
s (x) = (Mj (x ’ xj’1 ) + Mj’1 (xj ’ x)), xj’1 ¤ x ¤ xj .
hj
Durch Integration erhalt man fur x ∈ [xj’1 , xj ]
¨ ¨
1
’ xj’1 )2 ’ Mj’1 (xj ’ x)2 ) + aj ,
s (x) = (Mj (x
2hj
1
’ xj’1 )3 + Mj’1 (xj ’ x)3 ) + aj (x ’ xj’1 ) + bj
s(x) = (Mj (x
6hj

mit aj , bj ∈ IR. Fur die Koe¬zienten aj , bj erhalt man aus s(xj’1 ) = yj’1 , s(xj ) =
¨ ¨
yj die Gleichungen
h2
j
Mj’1 + bj = yj’1 ,
6
h2j
Mj + aj hj + bj = yj ,
6
und daraus
h2j
bj = yj’1 ’ Mj’1 ,
6
yj ’ yj’1 hj
aj = ’ (Mj ’ Mj’1 ).
hj 6
Damit ergibt sich
1 yj ’ yj’1 hj hj
s (x’ ) = Mj h2 + aj = + Mj + Mj’1 ,
j
j
2hj hj 3 6
yj+1 ’ yj hj+1 hj+1
s (x+ ) = ’ Mj ’ Mj+1 .
j
hj+1 3 6
Wegen s (x’ ) = s (x+ ) folgt dann
j j

(5.25) µj Mj’1 + Mj + »j Mj+1 = dj , j = 1, . . . , n ’ 1
mit
hj
µj := ,
2(hj + hj+1 )
hj+1 1
»j := , µ j + »j = ,
2(hj + hj+1 ) 2
3 yj+1 ’ yj yj ’ yj’1
dj := ’ .
hj + hj+1 hj+1 hj
Interpolation durch Splines 113




Fall (5.23)(a): (Naturliche Endbedingungen)
¨
Vorgegeben: Werte M0 , Mn

Die ”naturliche“ Bedingung M0 = Mn = 0 ist darin enthalten. Dann stellt (5.25)
¨
ein LGS fur M1 , . . . , Mn’1 dar:
¨
 « M1  «
« 
1 »1 d1 ’ µ1 M0
· ¬ M2 · ¬ d
¬µ ·
·¬ · ¬2
¬21 »2 ·
·¬ . · ¬
¬ ·
·¬ . · ¬ .
¬ ·
.. .. ..

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