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. 26
( 31 .)



>>

·¬ . · = ¬ .
¬ ·
. . . .
·¬ ·¬
¬ ·
·¬ . · ¬ d
¬ ·
»n’2  ¬ . ·  n’2
µn’2 1
 
.

µn’1 1 dn’1 ’ »n’1 Mn
Mn’1
1
Die Matrix ist tridiagonal und wegen µj + »j = 2 diagonal-dominant, also LR-
zerlegbar nach Satz 3.11. Das LGS kann daher mit Algorithmus (3.26) gel¨st o
1
werden. Bei ¨quidistanten Knoten xj gilt µj = »j = 4 , also ist die Matrix sym-
a
metrisch und damit positiv de¬nit.

Fall (5.23)(b): (Hermite Endbedingungen)
Vorgegeben: s (a) = y0 , s (b) = yn .

Aus der Darstellung von s (x) folgt
h1 h1 y1 ’ y0
M0 + M1 = ’ y0
3 6 h1
hn hn yn ’ yn’1
Mn’1 + Mn = yn ’ .
6 3 hn
Mit
1 3 y1 ’ y0
»0 = , d0 = ’ y0 ,
2 h1 h1
1 3 yn ’ yn’1
µn = , d n = yn ’
2 hn hn
erhalten wir ein LGS und den (n + 1) Unbekannten M0 , . . . , Mn :
« « « 
1 »0 M d
·¬ 0 · ¬ 0 ·
¬
¬ µ1 1 »1 ·¬ . · ¬ . ·
·¬ . · ¬ . ·
¬
·¬ . · ¬ . ·
¬ .. .. .. = .
¬ ·¬
. . . ·¬ . · ¬ . ·
¬ . · ¬. ·
¬ ·
µn’1 1 »n’1   .   . 

Mn dn
µn 1
Die Matrix ist ebenfalls tridiagonal und diagonal-dominant, also LR-zerlegbar.
114 Interpolation




Beispiel 5.33. Fur die nicht ¨quidistanten Knoten
a
¨

j xj yj Mj
0 0 0 0.022181
1 8.2 0.5 -0.000665
2 14.7 1.0 -0.010253
3 17.0 1.1 -0.006909
4 21.1 1.2 -0.000613
5 35.0 1.4 -0.000691
6 54.1 1.5 -0.000040
7 104 1.6 -0.000014
8 357 1.7 0.000004
y0 = 0.0012566,
y8 = 0.0001

liefert Algorithmus (3.26) die angegebenen Werte Mj .

Fall (5.23)(c): (Periodische Endbedingungen)
Hier ist
M0 = Mn , da s (a) = s (b)
y0 = yn , da s(a) = s(b).

Die weitere Gleichung s (a) = s (b) ergibt eine Beziehung

µn Mn’1 + Mn + »n Mn+1 = dn ,

wenn man setzt hn+1 = h1 , Mn+1 = M1 , yn+1 = y1 . Fur M1 , . . . , Mn ist das LGS
¨
zu l¨sen
o
« «  « 
1 »1 µ1
M d1
·¬ 1
¬µ ·¬ ·
¬21 »2 ·¬ . .
·¬ ·
·¬ . .
¬ ·¬ ·
·¬ . .
¬ .. .. .. ·=¬ ·.
¬ ·¬
. . . ·¬ ·
·¬ . .
¬ ·¬ ·
. .
¬ µn’1 1 »n’1 ·  . .
 
 
Mn dn
»n µn 1

Die Matrix ist nicht mehr tridiagonal, aber immer noch diagonal-dominant, al-
so LR-zerlegbar. Bei symmetrischen Matrizen kann jedoch das CHOLESKY-
Verfahren (5.3) durch eine kleine zus¨tzliche Betrachtung modi¬ziert werden,
a
auf die wir hier jedoch nicht weiter eingehen.
Interpolation durch Splines 115




5.4.2.5 Konvergenzeigenschaften
Entgegen dem Grenzverhalten von Interpolations-Polynomen konvergieren Spline-
Funktionen gegen die Funktion, die sie interpolieren, bei Verfeinerung der Unter-
teilungen ∆. Sei
(m) (m)
< . . . < x(m) = b}
∆m = {a = x0 < x1 nm

eine Folge von Unterteilungen des Intervalls [a, b]. Mit
(m) (m)
∆m := max(xj+1 ’ xj )
j

gilt:
Satz 5.34. Sei f ∈ C 4 [a, b] mit L = f (4) ∞ und sei ∆m eine Zerlegungsfolge
von [a, b] mit
∆m
sup (m) ¤ K < +∞.
(m)
m,j x ’ xj
j+1
Seien sm die zu f geh¨rigen Spline-Funktionen mit
o
sm (ξ) = f (ξ) fur ξ ∈ ∆m ,
¨
sm (x) = f (x) fur x = a, b.
¨

Dann gibt es von ∆m unabh¨ngige Konstanten Ci (¤ 2), so dass fur x ∈ [a, b] gilt
a ¨
|f (i) (x) ’ s(i) (x)| ¤ Ci LK ∆m 4’i
, i = 0, 1, 2, 3.
m

Beweis: Sei
∆ := ∆m = {a = x0 < . . . < xn = b}
eine feste Zerlegung. Fur die Momente Mj = s (xj ) einer Spline-Funktion s(x)
¨
mit s (x) = f (x) fur x = x0 , xn gilt nach (5.25) die Gleichung
¨
AM = d
mit
1
» 0 = µn = ,
2
1 hj+1 1
»j = , µj = ’ »j , j = 1, . . . , n ’ 1
2 hj + hj+1 2
3 y1 ’ y0
d0 = ’ f (x0 ) ,
h1 h1
3 yn ’ yn’1
dn = f (xn ) ’
hn hn
3 yj+1 ’ yj yj ’ yj’1
dj = ’ j = 1, . . . , n ’ 1.
hj + hj+1 hj+1 hj
116 Interpolation




¨
Man zeigt leicht (Ubung), dass die Matrix A die Eigenschaft hat

fur x ∈ IRn .
(5.26) x ¤ 2 Ax ¨
∞ ∞

Fur die Vektoren
¨
F := (f (x0 ), f (x1 ), . . . , f (xn ))T
r := d ’ AF = A(M ’ F )

wird zun¨chst gezeigt
a
3
¤ L ∆ 2.
(5.27) r ∞
8
Beweis von (5.27):
Die Taylor-Entwicklung von f und f um x0 ergibt
1
r0 = d0 ’ f (x0 ) ’ f (x1 )
2
3 f (x1 ) ’ f (x0 ) 1
= ’ f (x0 ) ’ f (x0 ) ’ f (x1 )
h1 h1 2
2 2
h h
= 1 f (4) („1 ) ’ 1 f (4) („2 ) mit „1 , „2 ∈ [x0 , x1 ].
8 4
3
|r0 | ¤ L ∆ 2 .

8
Analog erh¨lt man fur
a ¨
1
rn = dn ’ f (xn’1 ) ’ f (xn )
2
die Abschatzung
¨
3
|rn | ¤ L ∆ 2 .
8
Entsprechend ergibt sich durch die Taylor-Entwicklung um xj fur j = 1, . . . , n’1 :
¨

rj = dj ’ µj f (xj’1 ) ’ f (xj ) ’ »j f (xj+1 )
h3 h3 (4) h3 (4) h3
1 j+1 (4) j j j+1 (4)
= f („1 ) + f („2 ) ’ f („3 ) ’ f („4 )
2(hj + hj+1 ) 4 4 4 2
mit „1 , . . . , „4 ∈ [xj’1 , xj+1 ].

Also
3 h3 + h3 3
j j+1
¤ L ∆ 2.
|rj | ¤ L
8 hj + hj+1 8
Insgesamt gilt
3 2
r ¤L∆

8
Interpolation durch Splines 117




und damit wegen r = A(M ’ F ) und (5.26)
3
¤ L ∆ 2.
(5.28) M ’F ¤2 r
∞ ∞
4
Wir zeigen nun die Behauptung des Satzes fur i = 3:
¨
Fur x ∈ [xj’1 , xj ] ist
¨
Mj ’ Mj’1

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